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【C++动态规划前缀和】3250. 单调数组对的数目 I|1897

news 来源：原创 2025/5/9 6:57:19

本文涉及知识点

C++动态规划
C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例包括课程视频

LeetCode3250. 单调数组对的数目 I

给你一个长度为 n 的正整数数组 nums 。
如果两个非负整数数组 (arr1, arr2) 满足以下条件，我们称它们是单调数组对：
两个数组的长度都是 n 。
arr1 是单调非递减的，换句话说 arr1[0] <= arr1[1] <= … <= arr1[n - 1] 。
arr2 是单调非递增的，换句话说 arr2[0] >= arr2[1] >= … >= arr2[n - 1] 。
对于所有的 0 <= i <= n - 1 都有 arr1[i] + arr2[i] == nums[i] 。
请你返回所有单调数组对的数目。
由于答案可能很大，请你将它对 10⁹ + 7 取余后返回。
示例 1：
输入：nums = [2,3,2]
输出：4
解释：
单调数组对包括：
([0, 1, 1], [2, 2, 1])
([0, 1, 2], [2, 2, 0])
([0, 2, 2], [2, 1, 0])
([1, 2, 2], [1, 1, 0])
示例 2：
输入：nums = [5,5,5,5]
输出：126
提示：
1 <= n == nums.length <= 2000
1 <= nums[i] <= 50

动态规划

m = max(nums[i])

动态规划的状态表示

dp[i][j]表示：处理完nums[0…i-1]后，nums1[i-1]以j结尾的方案数。空间复杂度：O(nm)

动态规划的填表顺序

枚举前置状态。i = 0 to n-1 j = 0 to m

动态规划的转移方程

j1 = max( j,nums[i]-pre2) to nums[i]
pre2 = nums2[i-1]
单个状态的时间复杂度是：O(m)，总时间复杂度是：O(nmm)

动态规划的初始值

pre2 = 50,dp[0][0]=1,前天dp全部是0。

动态规划的返回值

dp.back()的和

代码

核心代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD){}C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const{return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);}C1097Int& operator+=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int& operator-=(const C1097Int& o){m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator-(const C1097Int& o){return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);}C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const{return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;}C1097Int& operator*=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const{return *this * o.PowNegative1();}C1097Int& operator/=(const C1097Int& o){*this /= o.PowNegative1();return *this;}bool operator==(const C1097Int& o)const{return m_iData == o.m_iData;}bool operator<(const C1097Int& o)const{return m_iData < o.m_iData;}C1097Int pow(long long n)const{C1097Int iRet = 1, iCur = *this;while (n){if (n & 1){iRet *= iCur;}iCur *= iCur;n >>= 1;}return iRet;}C1097Int PowNegative1()const{return pow(MOD - 2);}int ToInt()const{return m_iData;}
private:int m_iData = 0;;
};class Solution {public:int countOfPairs(vector<int>& nums) {const int N = nums.size();const int M = *max_element(nums.begin(), nums.end());vector<vector<C1097Int<> >> dp(N + 1, vector<C1097Int<>>(M + 1));dp[0][0] = 1;int pre = 50;for (int i = 0; i < N; i++) {for (int j = 0; j <= M; j++) {const int j2 = pre - j;for (int k = max(j, nums[i] - j2); k <= nums[i]; k++) {dp[i + 1][k] += dp[i][j];}}pre = nums[i];}auto ans = accumulate(dp.back().begin(), dp.back().end(), C1097Int<>());return ans.ToInt();}};

单元测试

vector<int> nums;TEST_METHOD(TestMethod1){nums = { 2, 3, 2 };auto res = Solution().countOfPairs(nums);AssertEx(4, res);}TEST_METHOD(TestMethod2){nums = { 5,5,5,5 };auto res = Solution().countOfPairs(nums);AssertEx(126, res);}

前缀和优化

nums[i+1][j] = nums[i][j1…j2] 的前置状态是nums[i][x]，则：
x <= j && ( pre - x) >= (nums[i]-j) && x >=0 && nums[j]-j >=0 $\rightarrow$
x <= pre - nums[i]+j && x <=j && x >= 0

代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD){}C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const{return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);}C1097Int& operator+=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int& operator-=(const C1097Int& o){m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator-(const C1097Int& o){return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);}C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const{return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;}C1097Int& operator*=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const{return *this * o.PowNegative1();}C1097Int& operator/=(const C1097Int& o){*this /= o.PowNegative1();return *this;}bool operator==(const C1097Int& o)const{return m_iData == o.m_iData;}bool operator<(const C1097Int& o)const{return m_iData < o.m_iData;}C1097Int pow(long long n)const{C1097Int iRet = 1, iCur = *this;while (n){if (n & 1){iRet *= iCur;}iCur *= iCur;n >>= 1;}return iRet;}C1097Int PowNegative1()const{return pow(MOD - 2);}int ToInt()const{return m_iData;}
private:int m_iData = 0;;
};class Solution {public:int countOfPairs(vector<int>& nums) {const int N = nums.size();const int M = *max_element(nums.begin(), nums.end());vector<vector<C1097Int<> >> dp(N + 1, vector<C1097Int<>>(M + 1));dp[0][0] = 1;int pre = 50;for (int i = 0; i < N; i++) {vector<C1097Int<>> preSum(1);for (int j = 0; j <= nums[i]; j++) {preSum.emplace_back(preSum.back() + dp[i][j]);		const int j2 = min(pre - nums[i] + j, j);if (j2 < 0)continue;dp[i + 1][j] += preSum[j2+1];}pre = nums[i];}auto ans = accumulate(dp.back().begin(), dp.back().end(), C1097Int<>());return ans.ToInt();}};

扩展阅读

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。