【数据结构与算法:八、排序】
第8章 排序
排序是计算机科学中最基本且最常用的操作之一。本章详细介绍了排序算法的概念、分类、每种算法的定义、图示、代码实现及其应用场景。
8.1 基本概念和排序方法概述
8.1.1 排序的基本概念
排序是指将一组无序的记录按照某种指定的顺序重新排列的过程。
排序的目标:
- 按照关键字值重新排列记录。
- 提高后续数据处理(如查找或分析)的效率。
排序分类:
- 内部排序:数据全部加载到内存中进行排序。
- 外部排序:数据量过大,需借助外存完成排序。
8.1.2 内部排序方法的分类
- 插入排序:通过逐步将元素插入已排序部分实现排序,如直接插入排序、折半插入排序、希尔排序。
- 交换排序:通过元素交换实现排序,如冒泡排序、快速排序。
- 选择排序:每次选择最小(或最大)元素放到正确位置,如简单选择排序、堆排序。
- 归并排序:将数据分解成子序列,排序后合并。
- 基数排序:按照关键字的各个位依次进行排序。
8.1.3 待排序记录的存储方式
- 顺序存储:使用数组存储,便于随机访问。
- 链式存储:使用链表存储,适合动态数据插入和删除。
8.1.4 排序算法效率的评价指标
- 时间复杂度:算法运行时间的增长率。
- 空间复杂度:算法占用的额外内存空间。
- 稳定性:排序后值相同的记录是否保持原相对顺序。
- 适应性:算法能否高效处理特定数据分布。
8.2 插入排序
8.2.1 直接插入排序
定义
直接插入排序是一种简单的排序算法,它将当前元素与已排序部分的元素逐一比较,找到正确位置插入。
图示
步骤
- 从第二个元素开始,将其与前面的元素逐一比较。
- 找到插入位置,将当前元素插入。
- 重复以上过程,直到排序完成。
代码实现
def insertion_sort(arr):for i in range(1, len(arr)):key = arr[i]j = i - 1while j >= 0 and arr[j] > key:arr[j + 1] = arr[j]j -= 1arr[j + 1] = keyreturn arr# 示例
arr = [5, 3, 4, 1, 2]
print(insertion_sort(arr)) # 输出: [1, 2, 3, 4, 5]
时间复杂度
- 最好情况: O ( n ) O(n) O(n)(已排序)。
- 最坏情况: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)(完全逆序)。
- 平均情况: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。
8.2.2 折半插入排序
定义
折半插入排序是对直接插入排序的改进,通过二分查找插入位置,减少比较次数。
图示
假设要插入元素 k e y key key:
已排序部分: [1, 3, 5, 7]
插入元素: 4
折半查找后插入: [1, 3, 4, 5, 7]
代码实现
def binary_insertion_sort(arr):for i in range(1, len(arr)):key = arr[i]low, high = 0, i - 1while low <= high:mid = (low + high) // 2if arr[mid] > key:high = mid - 1else:low = mid + 1for j in range(i, low, -1):arr[j] = arr[j - 1]arr[low] = keyreturn arr# 示例
arr = [5, 3, 4, 1, 2]
print(binary_insertion_sort(arr)) # 输出: [1, 2, 3, 4, 5]
8.2.3 希尔排序
定义
希尔排序是基于插入排序的改进算法,通过分组对元素排序后逐渐减小组间间隔,最终完成排序。
图示
分组和排序:
原数组:5 3 4 1 2
间隔 = 3: 5 | 1 4 | 2 3
间隔 = 1: 1 2 3 4 5
代码实现
def shell_sort(arr):n = len(arr)gap = n // 2while gap > 0:for i in range(gap, n):temp = arr[i]j = iwhile j >= gap and arr[j - gap] > temp:arr[j] = arr[j - gap]j -= gaparr[j] = tempgap //= 2return arr# 示例
arr = [5, 3, 4, 1, 2]
print(shell_sort(arr)) # 输出: [1, 2, 3, 4, 5]
8.3 交换排序
8.3.1 冒泡排序
定义
冒泡排序通过多次遍历数组,每次将当前未排序部分的最大元素移到末尾。
图示
代码实现
def bubble_sort(arr):n = len(arr)for i in range(n):for j in range(0, n - i - 1):if arr[j] > arr[j + 1]:arr[j], arr[j + 1] = arr[j + 1], arr[j]return arr# 示例
arr = [5, 3, 4, 1, 2]
print(bubble_sort(arr)) # 输出: [1, 2, 3, 4, 5]
8.3.2 快速排序
定义
快速排序通过选择一个“基准”元素,将数组分为小于和大于基准的两部分,递归排序。
图示
原数组:5 3 4 1 2
基准:3
左:[1, 2] 基准:[3] 右:[5, 4]
合并:1 2 3 4 5
代码实现
def quick_sort(arr):if len(arr) <= 1:return arrpivot = arr[0]left = [x for x in arr[1:] if x < pivot]right = [x for x in arr[1:] if x >= pivot]return quick_sort(left) + [pivot] + quick_sort(right)# 示例
arr = [5, 3, 4, 1, 2]
print(quick_sort(arr)) # 输出: [1, 2, 3, 4, 5]
8.4 选择排序
8.4.1 简单选择排序
定义
简单选择排序是一种直接的排序方法,基本思想是:每次从未排序部分中找到最小元素,与未排序部分的第一个元素交换。
图示
假设排序数组 [5, 3, 4, 1, 2]
:
- 第1趟:找到最小值 1,交换到第1位。
- 第2趟:找到次小值 2,交换到第2位。
- 重复直到数组排序完成。
最终过程:
原数组: [5, 3, 4, 1, 2]
第一步: [1, 3, 4, 5, 2]
第二步: [1, 2, 4, 5, 3]
第三步: [1, 2, 3, 5, 4]
第四步: [1, 2, 3, 4, 5]
代码实现
def selection_sort(arr):n = len(arr)for i in range(n):# 假设当前最小值的索引min_index = ifor j in range(i + 1, n):if arr[j] < arr[min_index]:min_index = j# 交换最小值与当前值arr[i], arr[min_index] = arr[min_index], arr[i]return arr# 示例
arr = [5, 3, 4, 1, 2]
print(selection_sort(arr)) # 输出: [1, 2, 3, 4, 5]
时间复杂度
- 最好、最坏、平均情况: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。
- 特点:简单实现,但效率较低。
8.4.2 树形选择排序
定义
树形选择排序使用树形结构(胜者树)来选出最小元素并进行排序,适用于大规模数据。
思路:
- 构造一棵胜者树,其中每个非叶子节点存储两子节点中较小的值。
- 通过调整树结构,快速找到次小值。
8.4.3 堆排序
定义
堆排序是一种利用堆这种特殊树形结构的选择排序算法。堆是一棵完全二叉树,其中每个节点的值都大于(或小于)其子节点的值。
图示
- 构造初始堆:
原数组: [5, 3, 4, 1, 2]
初始大顶堆: [5, 3, 4, 1, 2]
- 取出堆顶元素(最大值),与最后一个元素交换。
- 调整剩余元素形成新的大顶堆。
代码实现
def heapify(arr, n, i):largest = i # 初始化最大值为根节点left = 2 * i + 1 # 左子节点right = 2 * i + 2 # 右子节点# 检查左子节点if left < n and arr[left] > arr[largest]:largest = left# 检查右子节点if right < n and arr[right] > arr[largest]:largest = right# 如果最大值不是根节点,交换并递归调整if largest != i:arr[i], arr[largest] = arr[largest], arr[i]heapify(arr, n, largest)def heap_sort(arr):n = len(arr)# 构造大顶堆for i in range(n // 2 - 1, -1, -1):heapify(arr, n, i)# 逐步取出堆顶元素for i in range(n - 1, 0, -1):arr[i], arr[0] = arr[0], arr[i]heapify(arr, i, 0)return arr# 示例
arr = [5, 3, 4, 1, 2]
print(heap_sort(arr)) # 输出: [1, 2, 3, 4, 5]
时间复杂度
- 构造堆: O ( n ) O(n) O(n)。
- 排序: O ( n log n ) O(n \log n) O(nlogn)。
8.5 归并排序
8.5.1 定义
归并排序是一种基于分治思想的排序算法,将数组递归分割为多个子序列,分别排序后再合并。
8.5.2 图示
原数组: [5, 3, 4, 1, 2]
分割: [5, 3, 4] 和 [1, 2]
分割: [5], [3, 4], [1], [2]
合并: [3, 4], [1, 2]
合并: [1, 2, 3, 4, 5]
8.5.3 代码实现
def merge_sort(arr):if len(arr) <= 1:return arrmid = len(arr) // 2left = merge_sort(arr[:mid])right = merge_sort(arr[mid:])return merge(left, right)def merge(left, right):result = []i = j = 0while i < len(left) and j < len(right):if left[i] < right[j]:result.append(left[i])i += 1else:result.append(right[j])j += 1result.extend(left[i:])result.extend(right[j:])return result# 示例
arr = [5, 3, 4, 1, 2]
print(merge_sort(arr)) # 输出: [1, 2, 3, 4, 5]
8.5.4 时间复杂度
- 分割: O ( log n ) O(\log n) O(logn)。
- 合并: O ( n ) O(n) O(n)。
- 总复杂度: O ( n log n ) O(n \log n) O(nlogn)。
8.6 基数排序
8.6.1 定义
基数排序是一种非比较排序算法,将数据根据关键字的个位、十位、百位等进行多轮排序。
8.6.2 图示
排序数组 [329, 457, 657, 839, 436, 720, 355]
:
- 按个位排序:[720, 355, 436, 657, 457, 329, 839]
- 按十位排序:[329, 720, 436, 839, 355, 457, 657]
- 按百位排序:[329, 355, 436, 457, 657, 720, 839]
8.6.3 代码实现
def radix_sort(arr):max_num = max(arr)exp = 1 # 从个位开始while max_num // exp > 0:counting_sort(arr, exp)exp *= 10def counting_sort(arr, exp):n = len(arr)output = [0] * ncount = [0] * 10# 统计计数for i in range(n):index = (arr[i] // exp) % 10count[index] += 1# 累计计数for i in range(1, 10):count[i] += count[i - 1]# 排序输出for i in range(n - 1, -1, -1):index = (arr[i] // exp) % 10output[count[index] - 1] = arr[i]count[index] -= 1for i in range(n):arr[i] = output[i]# 示例
arr = [329, 457, 657, 839, 436, 720, 355]
radix_sort(arr)
print(arr) # 输出: [329, 355, 436, 457, 657, 720, 839]
8.7 外部排序
8.7.1 外部排序的定义与基本概念
定义
外部排序是指数据量远大于内存容量时,通过将数据分块处理的方式,在内存和外存之间协调完成的排序方法。其基本思想是:
- 将数据划分为若干个适合内存大小的块,在内存中分别排序后存储到外存。
- 通过多路归并算法,将各已排序块合并为一个有序文件。
特点
- 适用场景:大规模数据排序(数据无法一次性装入内存)。
- 核心操作:分块排序 + 归并。
- 关键问题:提高内存与外存之间的数据交换效率。
8.7.2 外部排序的基本方法
外部排序主要包含以下核心步骤:
- 分块排序:将数据划分成多个“适合内存大小的子文件”,每个子文件在内存中排序后存入外存。
- 归并排序:使用多路归并算法将子文件合并为一个整体。
8.7.3 核心算法
1. 多路平衡归并
定义
多路平衡归并是一种在外存排序过程中常用的合并技术,利用多个缓冲区同时读取多个已排序块,通过逐步合并最终生成一个有序结果。
算法步骤
- 从外存中选取 k k k 个已排序块(假设总共分为 k k k 块)。
- 为每个块设置一个输入缓冲区,每次从缓冲区中读取当前块的最小值。
- 将最小值写入输出缓冲区;当缓冲区为空时从对应的块中继续读取。
- 重复上述过程直到所有块归并完成。
图示
假设有 4 个已排序块,内容如下:
块1: [2, 6, 9]
块2: [1, 5, 7]
块3: [3, 4, 8]
块4: [0, 10, 11]
归并过程:
- 初始化:从每个块中读取首元素,选最小值 0 0 0(块4)。
- 移动块4指针,写入输出缓冲区并继续归并。
- 逐步归并得到最终排序结果:
输出结果: [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]
代码实现
import heapqdef multiway_merge(sorted_blocks):"""多路平衡归并实现:param sorted_blocks: 已排序的子块(列表列表):return: 归并后的结果"""heap = []result = []# 初始化最小堆,存储 (值, 块索引)for i, block in enumerate(sorted_blocks):if block:heapq.heappush(heap, (block[0], i, 0)) # (值, 块索引, 块内元素索引)# 归并过程while heap:val, block_index, element_index = heapq.heappop(heap)result.append(val) # 将最小值加入结果# 如果块中还有数据,将下一元素压入堆if element_index + 1 < len(sorted_blocks[block_index]):next_val = sorted_blocks[block_index][element_index + 1]heapq.heappush(heap, (next_val, block_index, element_index + 1))return result# 示例
sorted_blocks = [[2, 6, 9],[1, 5, 7],[3, 4, 8],[0, 10, 11]
]print(multiway_merge(sorted_blocks))
# 输出: [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]
2. 置换-选择排序
定义
置换-选择排序是一种用于生成初始分块的算法,其通过维护一个最小堆实现。它能够在生成块的同时尽可能延长块的长度,从而减少后续归并的块数。
算法步骤
- 将内存缓冲区填满,形成一个最小堆。
- 从堆中取出最小值,写入当前块。
- 将下一个数据项插入堆中(若大于堆顶),否则写入下一个块。
- 继续上述过程直到所有数据处理完。
图示
假设排序输入:[5, 1, 7, 3, 9, 2],缓冲区大小为3:
- 初始化堆:[1, 5, 7]。
- 取出最小值 1 1 1,加入当前块。
- 插入新元素 3 3 3,堆调整为:[3, 5, 7]。
- 重复,最终分为块:[1, 3, 5], [7, 9, 2]。
代码实现
import heapqdef replacement_selection_sort(data, buffer_size):"""置换-选择排序生成初始分块:param data: 输入数据:param buffer_size: 缓冲区大小:return: 分块列表"""blocks = []buffer = []block = []# 初始化缓冲区for i in range(min(buffer_size, len(data))):heapq.heappush(buffer, data.pop(0))while buffer:# 将堆顶元素写入当前块smallest = heapq.heappop(buffer)block.append(smallest)if data:next_element = data.pop(0)if next_element >= smallest:heapq.heappush(buffer, next_element)else:# 启动新块blocks.append(block)block = [next_element]# 当堆为空时将最后一块加入结果if not buffer and block:blocks.append(block)return blocks# 示例
data = [5, 1, 7, 3, 9, 2]
buffer_size = 3
print(replacement_selection_sort(data, buffer_size))
# 输出: [[1, 3, 5], [7, 9, 2]]
3. 最佳归并树
定义
最佳归并树是一种优化归并过程的技术,目标是通过构造一棵最优二叉树,尽可能减少归并次数或读取外存次数。
特点
- 优化目标:尽量使所有子块的读取均匀分布。
- 应用场景:多路归并时提高效率。
算法步骤
- 根据子块的大小构造一棵哈夫曼树。
- 将每个块作为叶子节点,根据权值(块大小)构造最优树。
- 按树结构顺序读取数据进行归并。
8.7.4 总结
外部排序是一种解决大规模数据排序问题的关键技术,其核心是 分块排序 和 归并排序 的结合。
- 多路平衡归并:通过多路堆优化归并效率。
- 置换-选择排序:延长初始块长度,减少归并次数。
- 最佳归并树:在多路归并中减少外存读取次数。
外部排序的应用广泛,如数据库排序、日志分析等,其算法实现兼顾了时间复杂度和内存使用效率。
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文章目录 下载从官网下载安装包 下载后双击解压出文件夹安装文件名修改为 mongodb配置data存放位置和日志log的存放位置启动方式一方式二方式二:输入mongo报错以及解决办法 本人电脑 m2 pro,属于 arm 架构 下载 官网地址: mongodb官网 怎么查看自己电脑应该下载哪个版本,输入…...
【Linux】sed编辑器
一、基本介绍 sed编辑器也叫流编辑器(stream editor),它是根据事先设计好得一组规则编辑数据流。 交互式文本编辑器(如Vim)中,可以用键盘命令交互式地插入、删除或替换文本数据。 sed编辑器是根据命令处理…...
unity3d-搞个场景漫游如何实现Alpha
要处理两个问题: 如何设置地面人不掉下去 方法一、 游戏物体加刚体,将游戏物体和地面加collider。如果是地形,可以使用 Terrain Collider;如果是简单的平面,可以添加 Box Collider 或者 Mesh Collider(如果…...
概率基本概念 --- 离散型随机变量实例
条件概率&独立事件 随机变量 - 离散型随机变量 - 非离散型随机变量 连续型随机变量奇异性型随机变量 概率表示 概率分布函数概率密度函数概率质量函数全概率公式贝叶斯公式 概率计算 数学期望方差协方差 计算实例 假设有两个离散型随机变量X和Y,它们代…...
oscp备考 oscp系列——Kioptix Level 1靶场 古老的 Apache Vuln
目录 前言 1. 主机发现 2. 端口扫描 3. 指纹识别 4. 目录扫描 5. 漏洞搜索和利用 前言 oscp备考,oscp系列——Kioptix Level 1靶场 Kioptix Level 1难度为简单靶场,主要考察 nmap的使用已经是否会看输出,以及是否会通过应用查找对应漏…...
【简博士统计学习方法】3. 统计学习方法的三要素
3. 统计学习方法的三要素 3.1 监督学习的三要素 3.1.1 模型 假设空间(Hypothesis Space):所有可能的条件概率分布或决策函数,用 F \mathcal{F} F表示。 若定义为决策函数的集合: F { f ∣ Y f ( X ) } \mathcal{F…...
UnionTech OS Server 20 网页无法访问yum源地址
统信yum地址 https://euler-packages.chinauos.com/server-euler/fuyu/1060/everything/sw_64/Packages/ 浏览器访问401报错无权限,查看linux uos环境下yum配置的用户名和密码 cat /etc/yum/vars/auth_* 然后自己组装生成Basic Authorization def generate_basic_…...
WPF区域导航+导航参数使用+路由守卫+导航日志
背景:使用ContentControl控件实现区域导航是有Mvvm框架的WPF都能使用的,不限于Prism 主要是将ContenControl控件的Content内容在ViewModel中切换成不同的用户控件 下面是MainViewModel: private object body;public object Body {get { retu…...
jvm基础
jvm的基本结构 类加载器(ClassLoader):加载class文件到内存中进行使用。 运行时数据区(Runtime Data Area):这是JVM在运行Java程序期间管理的内存区域,包括方法区(Meta…...
kaggle竞赛:纽约出租车行程时间NYC Taxi Trip Duration
1.引言 作为一名(坦白说有点懒的)图像处理方向的研究生,说实话最近新开一个坑,可能是因为要寒假了比较无聊,这次带来的系列是kaggle数据处理竞赛的经典例题:纽约出租车行程时间问题。希望大家多多支持&…...
Python提取目标Json键值:包含子嵌套列表和字典
目标:取json中所有的Name、Age字典 思路:递归处理字典中直接包含子字典的情况, import jsondef find_targ_dicts(data,key1,key2):result {}if isinstance(data, dict):if key1 in data and key2 in data: # 第一层字典中包含key1和key2re…...
<div>{{ $t(“collectionPlan“) }}</div> 中的$t是什么
$t是Vue I18n插件提供的一种方法,用于根据当前应用的语言环境来获取相应的翻译文本。 以下是一个简单的示例,展示如何在Vue I18n中定义消息: const i18n new VueI18n({locale: en, // 设置默认语言messages: {en: {collectionPlan: Collec…...
医学图像分析工具01:FreeSurfer || Recon -all 全流程MRI皮质表面重建
FreeSurfer是什么 FreeSurfer 是一个功能强大的神经影像学分析软件包,广泛用于处理和可视化大脑的横断面和纵向研究数据。该软件由马萨诸塞州总医院的Martinos生物医学成像中心的计算神经影像实验室开发,旨在为神经科学研究人员提供一个高效、精确的数据…...
win32汇编环境,在对话框中画五边形与六边形
;运行效果 ;win32汇编环境,在对话框中画五边形与六边形 ;展示五边形与六边形的画法 ;将代码复制进radasm软件里,直接编译可运行.重要部分加备注。 ;下面为asm文件 ;>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>&g…...
小白学Pytorch
小白学Pytorch 发现一个比较好的教程,对于自己来说比较合适,适合从零开始的教程。 1、搭建一个简单的网络 https://www.cnblogs.com/PythonLearner/p/13587092.html 搭建网络这步说的比较清楚: 我们使用nn包中的Sequential搭建网络&#…...
[A-25]ARMv8/v9-GIC的系统架构(中断的硬件基础)
ver0.1 前言 我们在观看很多的影视剧过程中,尤其是军旅体裁类型的布景中,经常会看见高级干部的办公桌上都会有几部电话机。这样的电话可不能小看,重要的事情尤其是突发和紧急的情况都要通过这几部电话第一时间通知给决策者。这几部电话,必须举报几个特点:及时性好、稳定…...
毕业项目推荐:基于yolov8/yolov5的行人检测识别系统(python+卷积神经网络)
文章目录 概要一、整体资源介绍技术要点功能展示:功能1 支持单张图片识别功能2 支持遍历文件夹识别功能3 支持识别视频文件功能4 支持摄像头识别功能5 支持结果文件导出(xls格式)功能6 支持切换检测到的目标查看 二、数据集三、算法介绍1. YO…...
学习threejs,导入AWD格式的模型
👨⚕️ 主页: gis分享者 👨⚕️ 感谢各位大佬 点赞👍 收藏⭐ 留言📝 加关注✅! 👨⚕️ 收录于专栏:threejs gis工程师 文章目录 一、🍀前言1.1 ☘️THREE.AWDLoader AWD模型加…...
C# 事件
目录 1、事件模型的5个组成部分2、使用内置委托类型声明事件2.1 EventHandler2.1.1 ?2.1.2 this2.1.3 使用匿名函数和lamda表达式2.1.3.1 匿名函数2.1.3.2 lamda表达式 2.1.4 异常处理 2.2 EventHandler<TEventArgs> 3、使用自定义委托类型声明事件3.1 事件的…...