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深入理解计算机中的补码、反码、原码

news 来源：原创 2025/5/18 2:55:07

问题：

我们每天用的钟表，其实只有1~12这12个数字，但我们日常会说13点、17点之类的。
问：13点在钟表上哪个位置？
答：很简单嘛，1点的位置。
你不觉得奇怪吗，为啥13点会和1点在同一个位置？换言之，13和1有啥关系，17和5有啥关系？
计算机里为啥要用加法替代减法？
- 当然是加法电路设计比减法电路设计简单了，加法电路详见CPU之图解算数逻辑单元ALU
怎么用加法替代减法？

一、基本概念

1.0、余数(remainder)

在算术中，当两个整数相除的结果不能以整数商表示时，余数便是其“余留下的量”。当余数为零时，被称为整除。
即：被除数 / 除数 = 商……余数，用数学表示：
a = qd + r, 0 <= r < d，其中a为被除数，q为商(quotient)，d为除数(divisor)，r为余数(remainder)。
举例：当除数为4时，任何正数除以4时，余数总在0, 1, 2, 3中；

0 / 4 = 0 …… 0
1 / 4 = 0 …… 1
2 / 4 = 0 …… 2
3 / 4 = 1 …… 3
4 / 4 = 1 …… 0
5 / 4 = 1 …… 1
6 / 4 = 1 …… 2
7 / 4 = 1 …… 3
8 / 4 = 2 …… 0
……

如上，被除数从0开始递增时，余数会在0, 1, 2, 3中一直循环下去，这就是同余

现在我们考虑除数为10时，则余数在0~9这10个数字中出现；把这10个数字同样置于圆盘中，如上图所示。
在0-9这10个数字的圆盘中，再也不会有其它数字了，也就是我们限定了我们的数字范围为0~9，数字个数(记为模)为10。
给定圆盘上任一个数字作为起始点（记为 src），任一个数字为 终止点（记为dest），我们考虑从src出发，如何到达dest，可以 前进（记为 + ），可以后退（记为 - ）。
举例：

src = 3，dest = 4;

前进1步（+1），即 3 + 1 = 4；
后退9步（-9），即 3 - 9 = 4；

src = 3，dest = 3;

前进0步（+0），即 3 + 0 = 3；
后退(9+1)步（-(9+1)），即 3 - ( 9 + 1) = 4；// 因为我们限定了数字范围为0~9，所以写成（9 + 1）

src = 5，dest = 9;

前进4步（+4），即 5 + 4 = 9；
后退6步（-6），即 5 - 6 = 9；

通过上面的例子，发现了吗？

对于确定的起止点（如src = 3，dest = 4），不管前进或者后退，我们都可以到达，也就是说前进（1步）等价于后退（9步），
前进步数和后退步数之和为模（10），模意味着啥？
模意味着走了一圈，一个轮回，起点走一圈，又回到了起点

1.1、补数(complement)

定义：对于给定的进位制，相加后能使自然数 a 的位数增加 1 的最小的数。
说人话：就是前面前进和后退的步数等价的组合（如1和9、2和8、3和7、4和6），也即可以组成模（如10）的组合。
即：

当 a = 1时，a只有1位数字（即个位）要想将a变成2（1+1）位数字10（十位、个位），需要增加9。
所以 9是1的补数；当然1也是9的补数，即1、9互为补数；
同理：2、8互为补数；
3、7互为补数；
4、6互为补数；

问： 36的补数是多少？
答：64

根据上面定义，我们知道对于整数a，a的补数 = 模 - a（a>=0）;
补数有啥用？
还是回到之前我们0~9这10个数字的圆盘上来，我们来算小学生都会的10以内的加减法：

一顿操作猛如虎，一看结果：直呼OMG,

正如上图所示：减掉一个数，等价于加上这个数的补数。
这里有个重要的前提：数字是有范围的（上面我们限定了0~9这10个数字）

1.2、减法

根据我们上面的结论：当数字是有范围的，则对于这个范围内的数字，减掉一个数，等价于加上这个数的补数，我们可以用加法替代减法，进一步：减去一个正数相当于加上这个正数对应的负数。
还是回到我们前面提到的圆盘上来，我们把这条结论实践下：

我们先在坐标轴上标出0~9这10个数字范围，然后移动这个范围框，使框内正负数个数大致相等，如下图所示，数字范围变成了-5 ~ 4这10个数字。
将坐标轴上的数字范围同步映射到圆盘上。
此时，圆盘上数字的运算可以用圆盘外相对应的数字进行替代，即圆盘上的数字范围已经改变了，由之前的0 ~ 9 变成了现在的 -5 ~ 4 。

1.3、补码

看到这里，不知道你是否认可前面的推导结论？
不认可？不认可就对了。聪明的你一定发现了上面的计算的问题：
1 - 5 = -4，在我们映射后变成了 1 + 5 = 6 但 -4 不等于 6？虽然圆盘上6确实对应**-4**，但我们需要的是正确的结果-4，怎么将6转换成-4?
在这里插入图片描述

好了，为了后面好叙述，我们先给实际求值结果记为原码，映射后的结果记为补码。我们先分析下实际的求值结果和映射后的结果：
- 发现原码为0和正数时，补码正确，即原码为0和正数时，原码等于补码；
- 原码为负数时，补码错误，即原码为负数时，原码不等于补码。

问题来了？原码为负数时，补码（如6）怎么转换成原码（如-4）？
答: 谜底就在谜面上，你直接看圆盘不就好了，圆盘上都标注了，圆盘内外侧的数字就是我们原码和补码的映射表。
问题又来了？圆盘上的映射怎么来的？
答：通过补数变换得到的，即原码为负数时，补码 + |原码| = 模，也即原码为负数时，补数 + |原码| = 模，在1.1小节中，我们提到了 a的补数 = 模 - a（a>=0）;，

综上：原码为负数时，补码 + |原码| = 模

二、二进制里的花花世界

宏观世界搞定了，看看微观世界，十进制搞完了，看看二进制。
二进制我们以1Byte(8bit)研究，1 Byte 可以表示256个数（2⁸），即模为256

2.1 原码

1 Byte 范围的内数字为0~255这256个数字。将其置于圆盘上如下：
在这里插入图片描述

2.2 补码

调整数字范围使其映射到 -128~127 这256个数字：
调整圆盘范围，即原码写到圆盘上，补码写到圆盘外，如下：

2.3 补码和原码转换

原码和补码怎么转换呢？
通过1.3节，我们知道如下结论：

原码为0和正数时，原码等于补码
原码为负数时，补码 + |原码| = 模
还记得我们在1.3 小节文末得到的结论吗？原码为负数时，补码 + |原码| = 模，我们变换下这个等式，即原码为负数时，补码 = 模 - |原码|，按照公式我们计算下：

至此，二进制的原码和补码转换我们也已搞定，即：
原码为0和正数时，原码等于补码
原码为负数时，补码 = 模 - |原码|

2.4 反码

不知道你绕晕了吗？还记得我们的初心吗？怎么用加法替代减法？
2.3 节说原码为负数时，补码 = 模 - |原码|，这玩呢？前面这么多推理就是想用加法替代减法，结果搞了半天回到了原点，还使得计算减法，自己替代自己吗？替代了个寂寞……

不急，稍安勿躁，且听下面道来。

2.4.1 模

细想下 ：补数的定义，使得当前数的位数增加1位：

假设二进制下，当前为8位，问要使得增加的数最小时，怎么才能使得位数增加1位呢，即由原来的8位变成9位？

答：增加的数为1时最小，此时当前8位数达到了最大，那就是0b 1111 1111，即0b 1111 1111 + 0b 0000 0001 = 0b 1 0000 0000

所以我们找到了二进制8位数即将跳变成9位的临界值，即当前8位数的最大值0b 1111 1111；
二进制时，一个数变成最大的最快方式，当然是加上该数按位取反后的值。即 0b 1111 1111 - 0b 0000 0001 = 0b 1111 1110，看到了吗，0b 1111 1110正好等于0b 0000 0001按位取反的值，那就叫它反码吧，即原码为负数时，反码为原码数据位按位取反，注意这里是数据位，最高位为符号位“为使得定义一致和完整，我们补充：原码为0和正数时，原码等于反码。
我们来求下模
如上图所示，原码为负数时，模 (256) = 8bit最大值 + 1 ， 8bit最大值 = 原码的绝对值 + 反码，结合之前的 原码为负数时，补码 = 模 - |原码| 得到：

至此，1 Byte 的数据我们通过补码的形式用加法替代了减法。计算机语言内的整数类型比如java的 int (4Byte)、long(8Byte) 都是如此。

三、总结

为了使用加法替代加法，我们先后引入了补数、模、原码、补码、反码等概念：

圆盘代表数字是有范围的，该范围的大小即为模，并且会首尾相连。计算机1 Byte、4Byte、8Byte天然会限定数据的范围。数据范围限定后，数据一直累计下去一定会产生数据溢出（即进位丢失），从而结束当前轮回，开始下一轮回；
圆盘内的数字是原码，圆盘外的数字是补码，补码也是模内的无符号整数。注意，反码 + 1只是求得补码的一种方式，并非补码的定义；
原码为0和正数时，原码等于反码等于补码；
原码为负数时，反码为原码数据位按位取反。

问题：