加法原理：做一件事情，有 \(n\) 类办法，第 \(1\) 类办法有 \(m_1\) 种方法，第 \(2\) 类办法有 \(m_2\) 种方法，第 \(n\) 类办法有 \(m_n\) 种方法，则完成这件事情的办法有 \(m_1+m_2+\cdots+m_n\) 种。
加法原理属于分类计数原理，分类需要包含所有情况，类与类之间不会产生重复。
乘法原理：做一件事情，需要分 \(n\) 个步骤，第 \(1\) 步有 \(m_1\) 种方法，第 \(2\) 步有 \(m_2\) 种方法，第 \(n\) 步有 \(m_n\) 种方法，则完成这件事情的方法有 \(m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_n\) 种。
乘法原理属于分步计数原理，分步应注意如果各步依次独立完成，整个事件也应完成。
计算题：将 \(3\) 个相同的红球和 \(3\) 个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装 \(2\) 个球，则不同的装法总数是？
答案
用 R 指代红球，用 B 指代黑球，将三个不同的袋分别命名为 a,b,c，则一旦 a 和 b 中的球确定，c 中的球自然就被确定，因此考虑 a 和 b 中放了什么即可。
选择题：小明希望选到形如“省A·LLDDD”的车牌号。车牌号在“·”之后的 5 位号码中，前 2 位必须是大写英文字母，后 3 位必须是阿拉伯数字（L 代表 A 到 Z，D 代表 0 至 9，两个 L 和三个 D 之间可能相同也可能不同）。请问总共由多少个可供选择的车牌号。
- A. 20280
- B. 52000
- C. 676000
- D. 1757600
答案
\(26 * 26 * 10 * 10 * 10 = 676000\)，答案选 C。
排列是指从 \(n\) 个不同的元素中取出 \(m \ (m \le n)\) 个元素排成一列的方案数，用符号 \(A_n^m\) 来表示，排列数的计算公式为：\(A_n^m = n (n-1) (n-2) \cdots (n-m+1) = \dfrac{n!}{(n-m)!}\)。
排列数的性质：\(A_n^m = n A_{n-1}^{m-1}\)，$A_n^m = m A_{n-1}^{m-1} + A_{n-1}^m $。
选择题：在一场比赛中，有 10 名选手参加，前三名将获得金、银、铜牌。若不允许并列，且每名选手只能获得一枚奖牌，则不同的颁奖方式共有多少种？
- A. 120
- B. 720
- C. 504
- D. 1000
答案
B。这是一个典型的排列问题，因为奖牌（金、银、铜是不同的），所以选手的获奖顺序至关重要。
可以分步计算：
- 金牌：10 名选手中的任意一位可能获得金牌。
- 银牌：金牌得主确定后，还剩下 9 名选手，他们中的任意一位可能获得银牌。
- 铜牌：金、银牌得主都确定后，还剩下 8 名选手，他们中的任意一位可能获得铜牌。
根据乘法原理，将每个位置的可能性相乘，即可得到总的颁奖方式数：\(总方式数 = 10(金牌选择) \times 9(银牌选择) \times 8(铜牌选择) = 720\)。所以，共有 720 种不同的颁奖方式。
选择题：0, 1, 2, 3, 4 中选取 4 个数字，能组成多少个不同四位数（注：最小的四位数是 1000，最大的四位数是 9999）
- A. 96
- B. 18
- C. 120
- D. 84
答案
答案是 A。这是一个排列问题，可以分步计算每个位置上可能有多少种选择。一个四位数有四个位置：千位、百位、十位、个位。
因为是四位数，所以千位不能是 0。因此，千位只能从 1, 2, 3, 4 这 4 个数字中选择。
千位已经用掉了一个数字，现在还剩下 4 个数字（包括 0），所以百位有 4 种选择。
千位和百位已经用掉了两个不同的数字，现在还剩下 3 个数字，所以十位有 3 种选择。
千、百、十位用掉了三个不同的数字，现在还剩下 2 个数字，所以个位有 2 种选择。
根据乘法原理，将每个位置的可能性相乘，即可得到总共能组成的四位数个数：\(4 \times 4 \times 3 \times 2 = 96\)。所以，总共可以组成 96 个不同的四位数。
组合是指从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m \ (m \le n)\) 个元素，不考虑顺序，其方案数就是组合数，用符号 \(C_n^m\) 来表示，组合数的计算公式为：\(C_n^m = \dfrac{A_n^m}{A_m^m} = \dfrac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)}{m!} = \dfrac{n!}{m!(n-m)!}\)。
组合数的性质：\(C_n^0 = C_n^n = 1\)，\(C_n^m = C_n^{n-m}\)，\(C_n^m = C_{n-1}^m + C_{n-1}^{m-1}\)，\(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \cdots + C_n^n = 2^n\)。
选择题：共有 8 人选修了程序设计课程，期末大作业要求由 2 人组成的团队完成。假设不区分每个团队内 2 人的角色和作用，请问共有多少种可能的组队方案？
- A. 28
- B. 32
- C. 56
- D. 64
答案
这是典型的组合问题。需要从 8 个人中选出 2 个人组成一个团队，由于不区分角色，所以顺序无关。
计算公式为组合数 \(C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)\)，其中 \(n\) 是总人数，\(k\) 是团队的人数。
\(C(8, 2) = 8! / (2! * (8-2)!) = 8! / (2! * 6!) = 8*7/(1*2) = 28\)
所以答案选 A。
在标准的集合中，所有元素都是唯一的，例如 \(\{ A,B,C \}\)。
而可重集则允许元素重复出现。例如，单词 MISSISSIPPI 中的字母构成的可重集是 \(\{ M:1, I:4, S:4, P:2 \}\)。
可重集排列问题就是计算一个可重集中的所有元素能组成多少种不同的排列。例如，用单词 MISSISSIPPI 中的所有字母，可以组成多少个不同的字符串？
方法一：除法原理
这是最常用、直接的方法。其核心思想是“先当作全部不同，再除以重复的部分”。
暂时忽略重复元素，假设集合中 \(n\) 个元素都是独一无二的。那么，全排列的数量就是 \(n!\)。
而在上一步中，对相同的元素进行了不必要的区分。例如，4 个 S 被当成了 \(S_1, S_2, S_3, S_4\)，它们自身有 \(4!\) 种排列。但实际上这些排列都是同一种情况（都是 SSSS）。因此，需要用总数除以每组相同元素的内部排列数 \(n_i !\) 来消除这种重复计算。
假设总元素个数为 \(n\)，其中第 1 种元素有 \(n_1\) 个，第 2 种有 \(n_2\) 个，……，第 \(k\) 种有 \(n_k\) 个。排列总数等于 \(n! / (n_1! \times n_2! \times \cdots \times n_k!)\)。
比如上面这个问题，总字母数 \(n=11\)，其中每个字母 \(n_1 = 1, n_2 = 4, n_3 = 4, n_4 = 2\)，那么 \(11! / (1! \times 4! \times 4! \times 2!) = 34650\)。
方法二：组合数模型
这种方法将问题看成是“为元素选择位置”的过程。
想象有 \(n\) 个空位排成一排。任务是决定把哪种元素放在哪些位置上。
- 第一步：从 \(n\) 个空位中，为 \(n_1\) 个第一种元素选择 \(n_1\) 个位置
- 第二步：从剩下的空位中，为 \(n_2\) 个第二种元素选择 \(n_2\) 个位置
- 第三步：以此类推，直到所有元素都放好位置。
- 根据乘法原理，将每一步的选择数相乘，就是总的排列数。
排列总数等于 \(C(n, n_1) \times C(n - n_1, n_2) \times C(n-n_1-n_2, n_3) \times \cdots \times C(n_k, n_k)\)，其中 \(C(n,k)\) 是组合数，表示从 \(n\) 个元素中选 \(k\) 个的方案数。
对于上面的问题，\(C(11,1) \times C(10,4) \times C(6,4) \times C(2,2) = 34650\)。
选择题：设一个三位数 \(n = \overline{abc}\)，其中 a,b,c 均为 1~9 之间的整数，若以 a,b,c 作为三角形的三条边可以构成等腰三角形（包括等边），则这样的 n 有多少个？
- A. 81
- B. 120
- C. 165
- D. 216
答案
C。
需要分两种情况讨论：等边三角形和非等边的等腰三角形。
情况一：构成等边三角形
三条边（即三个数字）完全相等，形式为 \(\{ x,x,x \}\)。此时只要 \(x \gt 0\) 就满足三角形的基本条件，由于 \(x\) 的取值是 1 到 9，此条件恒成立。那么这种情况下有 9 个方案。
情况二：构成非等边的等腰三角形
三条边中有两条相等，另一条不相等，形式为 \(\{ x,x,y \}\)，其中 \(x \ne y\)。这时要满足三角形的基本条件，需要 \(x+y \gt x\) 并且 \(x+x \gt y\)，也就是 \(0 \lt y \lt 2x\)。
- 当 \(x=1\) 时，\(y \lt 2\)，同时 \(x \ne y\)，所以有 0 种。
- 当 \(x=2\) 时，\(y \lt 4\)，可以是 1,3（不能是 2），所以有 2 种。
- 当 \(x=3\) 时，\(y \lt 6\)，可以是 1,2,4,5，所以有 4 种。
- 当 \(x=4\) 时，\(y \lt 8\)，可以是 1,2,3,5,6,7，所以有 6 种。
- 当 \(x=5 \dots 9\) 时，\(y\) 可以是除了 \(x\) 外的任意数，各自都有 8 种。
有效边长组合总数等于 \(0+2+4+6+8 \times 5 = 12 + 40 = 52\) 种。
对于每一种 \(\{ x,x,y \}\) 的组合（例如 \(\{ 2,2,1 \}\)），可以排列成 3 个不同的三位数 \(n\)（例如 221, 212, 122），也就是 \(3!/2!\)。因此，非等边的等腰三角形有 \(52 \times 3 = 156\) 种方案。
总计
将两种情况的数量相加得到 165 种。
