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【2024 Optimal Control 16-745】【Lecture 3 + Lecture4】minimization.ipynb功能分析

news 来源：原创 2025/7/25 8:27:07

主要功能-最小化问题

  1. 目标函数分析:

    • 定义函数 f ( x ) f(x) f(x) 及其一阶、二阶导数。
    • 使用绘图工具可视化函数的形状。

  2. 实现数值优化:

    • 使用牛顿法寻找函数的极值点，结合一阶和二阶导数加速收敛。
    • 使用正则化牛顿法解决二阶导数矩阵可能不正定的问题。

  3. 可视化过程:

    • 在优化过程中，动态标记初始点和更新点，直观展示牛顿法的优化轨迹。

环境设置和包导入

import Pkg; Pkg.activate(@__DIR__); Pkg.instantiate()using LinearAlgebra
using ForwardDiff
using PyPlot

定义目标函数及其导数

function f(x)return x.^4 + x.^3 - x.^2 - x
end
  • 定义函数 f ( x ) = x 4 + x 3 − x 2 − x f(x) = x^4 + x^3 - x^2 - x f(x)=x4+x3−x2−x，这是目标函数。
function ∇f(x)return 4.0*x.^3 + 3.0*x.^2 - 2.0*x - 1.0
end
  • 定义 f ( x ) f(x) f(x) 的一阶导数：
    ∇ f ( x ) = 4 x 3 + 3 x 2 − 2 x − 1 \nabla f(x) = 4x^3 + 3x^2 - 2x - 1 ∇f(x)=4x3+3x2−2x−1
function ∇2f(x)return 12.0*x.^2 + 6.0*x - 2.0
end
  • 定义 f ( x ) f(x) f(x) 的二阶导数：
    ∇ 2 f ( x ) = 12 x 2 + 6 x − 2 \nabla^2 f(x) = 12x^2 + 6x - 2 ∇2f(x)=12x2+6x−2

绘制目标函数

x = LinRange(-1.75, 1.25, 1000)
  • 生成区间 [ − 1.75 , 1.25 ] [-1.75, 1.25] [−1.75,1.25] 上的 1000 个均匀点，用于绘图。
p = plot(x, f(x))
  • 绘制函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ − 1.75 , 1.25 ] [-1.75, 1.25] [−1.75,1.25] 上的曲线。
    在这里插入图片描述

定义牛顿法单步更新

function newton_step(x0)xn = x0 - ∇2f(x0)\∇f(x0)
end
  • 定义牛顿法的单步更新公式：
    x new = x old − ( ∇ 2 f ( x old ) ) − 1 ∇ f ( x old ) x_{\text{new}} = x_{\text{old}} -{\left(\nabla^2 f(x_{\text{old}})\right)}^{-1} \nabla f(x_{\text{old}}) xnew​=xold​−(∇2f(xold​))−1∇f(xold​)

使用牛顿法寻找极值点

xguess = 0.0
  • 初始猜测点 x guess = 0 x_{\text{guess}} = 0 xguess​=0。
plot(x, f(x))
plot(xguess, f(xguess), "rx")
  • 绘制目标函数，并在初始点 x guess x_{\text{guess}} xguess​ 标记一个红叉。
    在这里插入图片描述
xnew = newton_step(xguess[end])
xguess = [xguess xnew]
plot(x, f(x))
plot(xguess, f(xguess), "rx")
  • 使用牛顿法计算新的 x new x_{\text{new}} xnew​，并更新 x guess x_{\text{guess}} xguess​。
  • 再次绘制目标函数并标记新的点。
    • 这个代码块可以反复运行，进行 x g u e s s x_{guess} xguess​迭代
      在这里插入图片描述

检查二阶导数在 x = 0 x = 0 x=0 的值

∇2f(0.0)
  • 计算 ∇ 2 f ( x ) \nabla^2 f(x) ∇2f(x) 在 x = 0 x = 0 x=0 的值，判断此处的二阶导数是否正定。结果为-2，不是正定的
    在这里插入图片描述

定义正则化牛顿法

function regularized_newton_step(x0)β = 1.0H = ∇2f(x0)while !isposdef(H)H = H + β*Iendxn = x0 - H\∇f(x0)
end
  • 实现正则化牛顿法，解决二阶导数矩阵 ∇ 2 f ( x ) \nabla^2 f(x) ∇2f(x) 可能不是正定的问题。
    • 步骤:
      1. 初始化 β = 1.0 \beta = 1.0 β=1.0 和 Hessian 矩阵 H = ∇ 2 f ( x ) H = \nabla^2 f(x) H=∇2f(x)。
      2. 如果 H H H 不是正定（isposdef(H) 返回 false），则将 β I \beta I βI 加入 H H H，直到 H H H 正定。
      3. 使用修正后的 H H H 计算牛顿更新公式：
        x new = x old − H − 1 ∇ f ( x old ) x_{\text{new}} = x_{\text{old}} - H^{-1} \nabla f(x_{\text{old}}) xnew​=xold​−H−1∇f(xold​)

使用正则化牛顿法寻找极值点

xguess = 0.0
plot(x, f(x))
plot(xguess, f(xguess), "rx")
  • 再次初始化 x guess x_{\text{guess}} xguess​ 并绘制初始点。
    在这里插入图片描述
xnew = regularized_newton_step(xguess[end])
xguess = [xguess xnew]
plot(x, f(x))
plot(xguess, f(xguess), "rx")
  • 使用正则化牛顿法计算新的点 x new x_{\text{new}} xnew​ 并更新 x guess x_{\text{guess}} xguess​。
  • 再次绘制目标函数并标记新的点。
    • 这个代码块可以反复运行，进行 x g u e s s x_{guess} xguess​迭代

在这里插入图片描述

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