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Ch9 形态学图像处理

news 来源：原创 2025/7/3 22:32:35

Ch9 形态学图像处理

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四大算子相应性质。

腐蚀、膨胀、开闭之间的含义、关系

文章目录

Ch9 形态学图像处理
- 预备知识(Preliminaries)
- 膨胀和腐蚀(Dilation and Erosion)
- - 腐蚀
  - 膨胀
  - 膨胀与腐蚀的对偶关系
- 开闭操作(Opening and Closing)
- - 开运算
  - 闭运算
  - 性质

在二值图像中，所讨论的集合是二维整数空间

\mathbb{Z}^{2}

中的成员。

\mathbb{Z}^{2}

空间中，集合的每个元素都是一个二维向量(元组)，元组的坐标是图像中目标(前景)像素的坐标。

灰度数字图像可以表示为各个集合，这些集合的分量位于 $\mathbb{Z}^{3}$ 空间中：前两个值是坐标，第三个值对应离散灰度值。

在图像处理中，我们使用两类像素集合的形态学：目标元素和结构元(SE)。目标定义为前景像素集合，结构元按照前景像素和背景像素确定。

预备知识(Preliminaries)

集合的元素关系

设 $A$ 是 $\mathbb{Z}^{2}$ 中的一个集合。如果 $a=(a_{1},a_{2})$ 是 $A$ 的一个元素，那么我们写作 $a\in A$ 。

类似地，如果 $a$ 不是 $A$ 的元素，我们写作 $a\notin A$ 。

没有元素的集合称为空集，用符号 $\varnothing$ 表示。

集合间的关系

如果集合 $A$ 的每个元素也是集合 $B$ 的元素，那么 $A$ 被称为 $B$ 的子集，记为 $A\subseteq B$ 。

两个集合 $A$ 和 $B$ 的并集，记为 $A\cup B$ ，是属于 $A$ 、 $B$ 或两者的所有元素的集合。

两个集合 $A$ 和 $B$ 的交集，记为 $A\cap B$ ，是属于 $A$ 和 $B$ 两者的所有元素的集合。

两个集合 $A$ 和 $B$ 如果没有共同元素，则称它们是不相交或互斥的。在这种情况下， $A\cap B=\varnothing$ 。

集合的运算

集合 $A$ 的补集是不包含在 $A$ 中的元素的集合， $A^{c}=\{\omega|\omega\notin A\}$ 。

两个集合 $A$ 和 $B$ 的差，记为 $A - B$ ，定义为 $B=\{\omega|\omega\in A,\omega\notin B\}=A\cap B^{c}$ 。

集合的变换：反射和变换都是相对于集合的原点定义的。

集合 $B$ 的反射，记为 $\hat{B}$ ，定义为 $\hat{B}=\{\omega|\omega = -b,b\in B\}$ 。

集合 $A$ 通过点 $z=(z_{1},z_{2})$ 的平移，记为 $A)_{z}$ ，定义为 $(A)_{z}=\{c|c = a + z,a\in A\}$ 。

膨胀和腐蚀(Dilation and Erosion)

膨胀扩展集合的组成部分、腐蚀缩小集合的组成部分。

腐蚀

一些通俗的解释：腐蚀的过程可以想象成图像中的目标“收缩”或“缩小”。具体来说，只有当结构元 B 完全覆盖在 A 的某个部分时，位置 z 才会被保留在腐蚀后的集合 $\ominus B$ 中。

对于 $\mathbb{Z}^{2}$ 中的集合 $A$ 和 $B$ ， $A$ 被 $B$ 腐蚀（erosion），记为 $A\ominus B$ ，定义为：
$A\ominus B=\{z|(B)_{z}\subseteq A\}$
B是结构元。即 $A$ 被 $B$ 腐蚀是所有点 $z$ 的集合，使得 $B$ 平移 $z$ 后包含于 $A$ 。

集合A元素是图像I的前景像素，背景显示白色。©中的虚线边界内的实线边界是B的原点的位移界限。在这个界限内， $(B)_z\subseteq A$ .

(d)是一个加长的结构元，它腐蚀的结果如(e)所示，是一条线。

膨胀

膨胀的过程可以想象成图像中的目标“扩展”或“增长”。具体来说，结构元 B 在图像 A 上滑动，当结构元的某部分与 A 重叠时，将该位置 z 添加到膨胀后的集合 $\oplus B$ 中。

当 $A$ 和 $B$ 是 $\mathbb{Z}^{2}$ 中的集合时， $A$ 被 $B$ 膨胀（dilation），记为 $A\oplus B$ ，定义为:
$A\oplus B=\{z|(\hat{B})_{z}\cap A\neq\varnothing\}$
这个等式基于获取 $B$ 关于原点的反射并将这个反射平移 $z$ 。 $A$ 被 $B$ 膨胀就是所有位移 $z$ 的集合，使得 $\hat{B}$ 和 $A$ 至少有一个元素重叠，即：
$A\oplus B = \{z|[( \hat{B})_{z}\cap A]\subseteq A\}$

膨胀与腐蚀的对偶关系

膨胀和腐蚀在集合补集和反射方面是相互对偶的，即:
$(A\ominus B)^{c}=A^{c}\oplus\hat{B}\\ (A\oplus B)^c=A^c\ominus \hat B$
上式表明：B对A的腐蚀是 $\hat B$ 对 $A^c$ 的膨胀的补集，vice versa。当结构元相对于其原点对称的时候，有 $\hat B=B$ , 因此对偶性特别有用。

证明如下：
$\begin{align} (A\ominus B)^{c}&=\{z|(B)_{z}\subseteq A\}^{c}\\ &=\{z|(B)_{z}\cap A^{c}=\varnothing\}^{c}\\ &=\{z|(B)_{z}\cap A^{c}\neq\varnothing\}\\ &=A^{c}\oplus\hat{B}\\\\ (A\oplus B)^c&=\{z|(\hat{B})_{z}\cap A\neq\varnothing\}^c\\ &=\{z|(\hat{B})_{z}\cap A=\varnothing\}\\ &=\{z|(\hat{B})_{z}\subseteq A^c\}\\ &=A^c\ominus \hat B \end{align}$

开闭操作(Opening and Closing)

开运算常用于平滑物体的轮廓、断开狭窄的狭颈、消除细长的突出物；
闭运算同样平滑轮廓，但会弥合狭窄的断裂和细长的沟壑、消除小孔、填补轮廓中的缝隙。

开运算

集合 $A$ 被结构元素 $B$ 的开运算（opening），记为 $A\circ B$ ，定义为：
$A\circ B=(A\ominus B)\oplus B$
即 $A$ 被 $B$ 的开运算就是 $A$ 被 $B$ 腐蚀后再被 $B$ 膨胀的结果。

闭运算

集合 $A$ 被结构元素 $B$ 的闭运算（closing），记为 $A\cdot B$ ，定义为：
$A\cdot B=(A\oplus B)\ominus B$
即 $A$ 被 $B$ 的闭运算就是 $A$ 被 $B$ 膨胀后再被 $B$ 腐蚀的结果。

开运算的另一种定义:
$A\circ B=\bigcup\{(B)_z|(B)_z\subseteq A\}$
开运算和闭运算在集合补集和反射方面是相互对偶的，即：
$(A\cdot B)^c=(A^c\circ\hat{B})\\ (A\circ B)^c=(A^c\cdot\hat{B})$
证明：
$$
\begin{align}(A\circ B)^c&=\left[(A\ominus B)\oplus B\right]^c\
&=(A\ominus B)^c\ominus \hat B\
&=A^c\oplus \hat B\ominus \hat B\
&=(A^c\cdot \hat B)\\

(A\cdot B)^c&=\left[(A\oplus B)\ominus B\right]^c\
&=(A\oplus B)^c\oplus \hat B\
&=A^c\ominus \hat B\oplus \hat B\
&=(A^c\circ\hat{B})
\end{align}
$$

性质

开运算的性质：

$A\circ B$ 是 $A$ 的子集（子图像）。
如果 $C$ 是 $D$ 的子集，那么 $C\circ B$ 是 $D\circ B$ 的子集。
$(A\circ B)\circ B = A\circ B$

闭运算的性质：

$A$ 是 $A\cdot B$ 的子集（子图像）。
如果 $C$ 是 $D$ 的子集，那么 $C\cdot B$ 是 $D\cdot B$ 的子集。
$(A\cdot B)\cdot B = A\cdot B$

由开闭运算的第三个性质可知，对一个集合多次进行开运算或闭运算，在操作一次后就不再有效果。

此图展示了用于得到开运算和闭运算结果的形态学运算。

$D$ 的子集，那么 $C\cdot B$ 是 $D\cdot B$ 的子集。

$(A\cdot B)\cdot B = A\cdot B$

由开闭运算的第三个性质可知，对一个集合多次进行开运算或闭运算，在操作一次后就不再有效果。

[外链图片转存中…(img-5c57BwfX-1735225214230)]

此图展示了用于得到开运算和闭运算结果的形态学运算。