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时间复杂度和空间复杂度理解

news 来源：原创 2025/5/24 3:42:15

空间复杂度和时间复杂度是算法分析中两个重要的概念，用于评估算法的性能。在前端 JavaScript 中，时间复杂度用于评估算法在最坏情况下的运行时间；空间复杂度描述了算法在执行过程中所需的内存空间的增长率，它包括算法所需的临时空间和输入数据所需的空间；理解时间复杂度和空间复杂度有助于选择更高效的算法和数据结构。

常见时间复杂度

O(1) - 常数时间复杂度
- 无论输入大小如何，算法所需的时间是固定的
  
  例如：访问数组的某个元素。
```
const arr = [1, 2, 3];
console.log(arr[1]); // O(1)
```

O(log n) - 对数时间复杂度

每次操作都将问题规模减少一半

例如：二分查找

function binarySearch(arr, target) {let left = 0;let right = arr.length - 1;while (left <= right) {const mid = Math.floor((left + right) / 2);if (arr[mid] === target) return mid;if (arr[mid] < target) left = mid + 1;else right = mid - 1;}return -1;
}

O(n) - 线性时间复杂度

随着输入规模的增加，运行时间线性增加

例如：遍历数组

function sum(arr) {let total = 0;for (let num of arr) {total += num; // O(n)}return total;
}

O(n log n) - 线性对数时间复杂度

通常出现在高效的排序算法中，如归并排序和快速排序

function mergeSort(arr) {if (arr.length <= 1) return arr;const mid = Math.floor(arr.length / 2);const left = mergeSort(arr.slice(0, mid));const right = mergeSort(arr.slice(mid));return merge(left, right);
}function merge(left, right) {const result = [];while (left.length && right.length) {if (left[0] < right[0]) {result.push(left.shift());} else {result.push(right.shift());}}return result.concat(left, right);
}

O(n^2) - 平方时间复杂度

通常出现在嵌套循环中

例如：冒泡排序或选择排序

function bubbleSort(arr) {const n = arr.length;for (let i = 0; i < n; i++) {for (let j = 0; j < n - i - 1; j++) {if (arr[j] > arr[j + 1]) {[arr[j], arr[j + 1]] = [arr[j + 1], arr[j]];}}}return arr;
}

O(2^n) - 指数时间复杂度
- 输入大小增加时，运行时间以指数方式增加，通常出现在解决组合问题的递归算法中
```
function fibonacci(n) {if (n <= 1) return n;return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2); // O(2^n)
}
```

常见空间复杂度

分析空间复杂度时，需要考虑以下几个方面：

基本数据类型：原始类型（如数字、字符串、布尔值）占用固定大小的内存。
数据结构：使用的数组、对象等数据结构会影响空间复杂度。例如，数组的大小和对象的属性数量会直接影响所需的内存。
递归：递归调用时，每次调用都会在调用栈中占用一定的空间，因此递归的空间复杂度通常与递归的深度有关。
辅助空间：在某些算法中可能会使用额外的存储空间（例如，临时数组、哈希表等），这部分空间也需要计算在内。

O(1)：常数空间复杂度。算法所需的空间不随输入规模而变化

在数组中查找元素而不使用额外的存储空间

function containsDuplicate(arr) {// 使用两个嵌套循环，但不使用额外的数组或对象for (let i = 0; i < arr.length; i++) {for (let j = i + 1; j < arr.length; j++) {if (arr[i] === arr[j]) {return true; // 找到重复元素}}}return false; // 没有找到重复元素
}// 示例用法
const numbers = [1, 2, 3, 4, 5, 1];
console.log(containsDuplicate(numbers)); // 输出: true

空间复杂度 O(1)：这个函数只使用了几个基本的变量（i 和 j），不依赖于输入数组的大小，因此其空间复杂度为 O(1)。
时间复杂度：虽然这个例子在时间复杂度上是 O(n²)，但在空间上它并没有使用额外的空间。

O(n)：线性空间复杂度。算法的空间需求与输入规模成正比

数组反转

// 空间复杂度：O(n)，因为需要一个新的数组来存储反转后的结果
function reverseArray(arr) {let reversed = [];for (let i = arr.length - 1; i >= 0; i--) {reversed.push(arr[i]);}return reversed;
}

递归求和

// 空间复杂度：O(n)，因为每次递归调用都会占用栈空间，最多会有 n 层
function sum(n) {if (n === 0) return 0;return n + sum(n - 1);
}

O(n^2)：平方空间复杂度。常见于需要二维数据结构（如矩阵）的情况
- 输入大小增加时，运行时间以指数方式增加，通常出现在解决组合问题的递归算法中
```
function fibonacci(n) {if (n <= 1) return n;return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2); // O(2^n)
}
```

如何计算或者判断时间复杂度和空间复杂度？

如何计算时间复杂度：

识别基本操作：
- 确定算法中最频繁执行的操作（例如，循环、递归）。
分析控制结构：
- 循环：每个循环的复杂度通常是O(n)，其中n是循环次数。
- 嵌套循环：外层循环为O(n)，内层循环也为O(n)，则总复杂度为O(n²)。
- 递归：使用递归树或主定理进行分析。
简化表达：
- 忽略常数项和低阶项，保留最高阶项。

示例：

// 时间复杂度 O(n)
function linearSearch(arr, target) {for (let i = 0; i < arr.length; i++) {if (arr[i] === target) return i;}return -1;
}// 时间复杂度 O(n^2)
function bubbleSort(arr) {for (let i = 0; i < arr.length; i++) {for (let j = 0; j < arr.length - i - 1; j++) {if (arr[j] > arr[j + 1]) {// 交换[arr[j], arr[j + 1]] = [arr[j + 1], arr[j]];}}}
}

如何计算空间复杂度：

固定空间：
- 计算算法中使用的固定大小的变量、常量和输入输出。
动态空间：
- 计算依赖于输入规模的额外空间（如数组、对象、递归栈等）。
总空间：
- 将固定空间和动态空间相加，得出总空间复杂度。

示例：

// 空间复杂度 O(1)
function findMax(arr) {let max = arr[0]; // 使用一个额外的变量for (let i = 1; i < arr.length; i++) {if (arr[i] > max) {max = arr[i];}}return max;
}// 空间复杂度 O(n)
function createCopy(arr) {let copy = []; // 新数组，空间复杂度O(n)for (let i = 0; i < arr.length; i++) {copy[i] = arr[i];}return copy;
}

时间复杂度和空间复杂度理解

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示例：

如何计算空间复杂度：

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