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R square 的计算方法和一点思考

news 来源：原创 2025/6/19 10:38:15

模型的性能评价指标有几种方案：RMSE（平方根误差）、MAE（平均绝对误差）、MSE(平均平方误差)、R2_score

其中，当量纲不同时，RMSE、MAE、MSE难以衡量模型效果好坏。这就需要用到R2_score；

这里注意，使用 r2 是平行的对比不同因子/品种的；即两个shape 一样的样本集，若同个样本集，进行样本切分成不同长度的数据，则会有其他的问题，这个放最后去解释！！！！

先看看 r2 怎么算的

使用 $\hat{y}$ 表示预测值，y表示真实值， $\bar{y}$ 表示真实值的平均值；则有

回归平方和： $ssr = \sum_{i=1}^{n}(\hat{y} - \bar{y})^{2}$

表示预测值与平均值的误差，反映相关程度的偏差平方和。

残差平方和： $sse = \sum_{i=1}^{n}(y - \hat{y})^{2}$

表示预测值与真实值的误差，反映模型拟合程度

总离差平方和： $sst = \sum_{i=1}^{n}(y - \bar{y})^{2}$

表示平均值与真实值的误差，反映与数学期望的偏离程度

$R2 = 1 - \frac{sse}{sst}$

$R2 = 1 - \frac{\sum_{i=1}^{n}(y - \hat{y})^{2}}{\sum_{i=1}^{n}(y - \bar{y})^{2}}$

进一步变形得到

$R2 = 1 - \frac{\sum_{i=1}^{n}(y - \hat{y})^{2}/n}{\sum_{i=1}^{n}(y - \bar{y})^{2}/n} = 1 - \frac{RMSE}{Var}$

分子就变成了常用的评价指标均方误差MSE，分母就变成了方差。

对于 R2 可以通俗地理解为使用均值作为误差基准，看预测误差是否大于或者小于均值基准误差。

R2_score = 1：样本中预测值和真实值完全相等，没有任何误差，表示回归分析中自变量对因变量的解释越好。

R2_score = 0：此时分子等于分母，样本的每项预测值都等于均值。

R2_score < 0：R2_score不是r的平方，也可能为负数(分子>分母)，模型等于盲猜，还不如直接计算目标变量的平均值。

代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sklearn import datasets, linear_model
from sklearn.metrics import r2_score
#导入数据
diabetes_X, diabetes_y = datasets.load_diabetes(return_X_y=True)
diabetes_X = diabetes_X[:, np.newaxis, 2]
#划分测试集验证集
diabetes_X_train = diabetes_X[:-20]
diabetes_X_test = diabetes_X[-20:]
diabetes_y_train = diabetes_y[:-20]
diabetes_y_test = diabetes_y[-20:]
# 创建线性回归模型
regr = linear_model.LinearRegression()
# 训练模型
regr.fit(diabetes_X_train, diabetes_y_train)
# 预测
diabetes_y_pred = regr.predict(diabetes_X_test)## r2 = mean_squared_error(y_test,y_preditc)/ np.var(y_test)# 模型评价
print('r2_score: %.2f'% r2_score(diabetes_y_test, diabetes_y_pred))# 绘制预测效果图
plt.scatter(diabetes_X_test, diabetes_y_test,  color='black')
plt.plot(diabetes_X_test, diabetes_y_pred, color='blue', linewidth=3)
plt.xticks(())
plt.yticks(())
plt.show()

注意：

1. r2 一般用在线性模型中（非线性模型也可以用）

2. r2 不能完全反映模型预测能力的高低,比如实际观测的自变量取值范围很窄（即var很小/分母很小），此时计算出来的 r2 值很大，但这并不代表模型在样本外应用时的效果很好；

3. 数据集的样本越大，r2 越大。因此，不同数据集的模型结果比较起来会有误差，这也是开头提到的问题，如果不同模型使用的因子数据不同，但是数据条数一致，即 shape1 = (10000,5) 和 shape2 = (10000,8);

针对这种情况，可以使用 Adjusted R square（校正决定系数），对非显著变量给出惩罚

$R_{adj}^{2} = 1 - (1 - R^{2})\frac{n-p-1}{n-1}$

n 是样本个数，p是变量的个数。

ps：关于 shape1 = (1000,5) 和 shape2 = (100,5)这种情况， r2 可能不合适作为评价指标，可以考虑RMSE（标准化的）去作为评价指标，或者有人有更好的方案可以讨论一下，我也很想学习！！！！！

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