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音频进阶学习八——傅里叶变换的介绍

news 来源：原创 2025/6/19 11:18:59

文章目录

前言
一、傅里叶变换
- 1.傅里叶变换的发展
- 2.常见的傅里叶变换
- 3.频域
二、欧拉公式
- 1.实数、虚数、复数
- 2.对虚数和复数的理解
- 3.复平面
- 4.复数和三角函数
- 5.复数的运算
- 6.欧拉公式
三、积分运算
- 1.定积分
- 2.不定积分
- 3.基本的积分公式
- 4.积分规则
- - 线性
  - 替换法
  - 分部积分法
- 5.定积分计算实例
- 6.简单描述积分在CFT作用
总结

前言

之前的一系列文章中，我们介绍了信号的分类、系统、以及在时域上对于序列的分析工具卷积公式和差分方程。

由于很多信号的处理从时域上并不能很好、快速的处理，并且基于分析我们得到一个结论，信号的波形可以分解为多个不同频率正弦波的组成，而这个分解的工具就是傅里叶变换。

本章中，会先对傅里叶变换做一个总的介绍，同时，因为学习傅里叶变化需要一定的数学知识，所以本章内容会先介绍傅里叶变换，然后再介绍关于傅里叶变换公式中的数学知识欧拉公式和积分方程。

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一、傅里叶变换

1.傅里叶变换的发展

傅里叶级数这个名字是由18世纪法国数学家傅里叶提出的，最开始是用于对热过程解析，但其研究“任意”的周期函数通过一定的分解，都能够表示为正弦和余弦信号的线性组合方式。

而后1829年，狄利赫里给出了傅里叶级数的收敛条件。

二十世纪初，傅里叶的思想被推广到非周期函数，成为了傅里叶变换，可以将任意信号分解成一系列正弦和余弦函数的和。但是此时傅里叶变换存在一些问题，对于非周期函数和时变信号，傅里叶变换无法处理。

直到20世纪70年代，引入的小波信号，解决了这些问题。

傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，而后离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出，才最终通过计算机对于信号能够做快速的处理。

2.常见的傅里叶变换

连续傅里叶变换（Continuous Fourier Transform, CFT）

公式
$F(\omega)=\int^{\infty}_{-\infty}f(t)e^{-jwt}dt\\ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}F(\omega)e^{-jwt}dw$
定义：连续时间信号 $f (t)$ 和频域 $F(\omega)$ 互转
应用场景：连续信号频谱分析

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）

公式
$\sum^{N-1}_{n=0}x[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}, \quad k=0,1,2,..,N-1 \\ x[n] = \frac{1}{N}\sum^{N-1}_{k=0}X[k]e^{j\frac{2\pi}{N}kn}$
定义：离散信号频域转换
应用场景：数字信号处理（音频计算机处理）

短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform, STFT）

公式：
$STFT(t,\omega)=\int^{\infty}_{-\infty}f(\tau)\omega(\tau-t)e^{-jw\tau}d\tau$
定义：在信号的时间维度上使用滑动窗口，分段计算傅里叶变换
应用场景：非平稳信号分析（如语音处理、地震波分析）

离散时间傅里叶变换（Discrete-Time Fourier Transform, DTFT）

公式：
$X[\omega]=\sum^{\infty}_{n=-\infty}x[n]e^{-jwn}$
定义：离散时间信号的频谱分析
应用场景：数字信号的理论分析

傅里叶级数

公式：
$a_0+\sum^{\infty}_{n=0}(a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)) \quad or\\ f(t)=\sum^{\infty}_{n=0}c_ne^{jn\omega_0t}$
定义: 将周期信号分解为多个正弦和余弦函数的线性组合。
应用场景: 信号周期性分析

小波变换（Wavelet Transform, WT）（多种不做展示）

定义: 一种局部化的傅里叶分析，使用小波函数代替正弦波进行信号分析。
特点: 提供多分辨率分析。
应用场景: 数据压缩、信号去噪、特征提取。

快速余弦/正弦变换（Fast Cosine/Sine Transform, FCT/FST）

定义: 傅里叶变换的特化形式，仅保留正弦或余弦部分。
应用场景: 压缩算法（如JPEG）、解决偏微分方程。

3.频域

我们说傅里叶变换是将时域转成了频域，那么频域到底是什么？在音频基础文章中，我们有一张对于时域和频域图像的解释图：
在这里插入图片描述
在时域图形中很好理解，这是一个二维坐标轴，横轴表示时间，纵轴表示的波形，那么通过傅里叶变换我们得到的频域图是什么样子呢？这里使用Adobe audition软件做展示：

我们可以看到频域图的横轴是频率，纵轴是该频率占有的功率/幅度（图像中是转为了db来展示）

二、欧拉公式

在上面各种傅里叶变换公式中，可以看到基本上每个公式都包含 $e^{jwt},\int,\omega$ 这些符号，对于 $\omega$ 我们之前在音频基础学习中有介绍，单位圆转一圈的时间为一个周期，那么频率 $f=\frac {1}{t}$ ，此时转过的弧度为 $2\pi$ ，而角频率 $\omega=\frac{2\pi}{t}$ 。

而对于 $e^{jwt}$ ,它其实描述的是某一个点在复平面上的位置，是根据欧拉公式得到的，在之前的文章中，我们使用单位脉冲分解可以表示信号，现在，我们使用复数来看一下复指数信号。

1.实数、虚数、复数

虚数：在数学里,将平方是负数的数定义为纯虚数
实数：有理数和无理数的总称；其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数
复数： $z=a+bi, \{a、b∈R，a≠0、b≠0\}$ ，其中 $i^2 = -1$ 是指虚数单位，当 $\neq 0$ 时 $z$ 是纯虚数，当 $a\neq0,b=0$ 时， $z$ 是实数

2.对虚数和复数的理解

发展历史
复数最早出现于公元1世纪希腊数学家海伦，而给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（1596~1650）发表出来的。
刚开始复数的出现不被人们理解，就像 $4 - 3$ 人们可以很好理解，那么 $3 - 4$ 呢？这到底是什么意思？你怎么能从 4 头奶牛中拿走 3 头奶牛？你怎么能比没有少呢？于是出现了可以跟踪方向的+、-号，那么就可以理解为你还欠我一头奶牛没给我。
在数学家的目标中，数学体系的一部分就是要确保每个方程都有解，如果 $i^2 > 0$ 很好理解，那么 $i^2 = -1$ 该怎么理解呢，于是就出现了无法在一维实数线上找到对应值的数——虚数。
几何意义
首先思考一个问题，什么样的 $i$ 乘上自身可以等于-1？

假如我们想从位置A逆时针旋转90°到位置B，再从位置B逆时针旋转90°到位置C，那么是不是 $1*（逆时针旋转90°)^2 = -1$ ，是不是把复数在几何中当作旋转这种想法让人非常吃惊？

3.复平面

复平面是用来表示复数的一个二维坐标系，和实数二位坐标系类似，复平面同样有两个轴，只不过一个是实轴，一个是虚轴，如下图：
在这里插入图片描述
前面我们说过 $i$ 是代表位置A逆时针旋转了90°到达了位置B
复数 $z = a + bi$ 在复平面上的含义有：

实部 $a$ ：代表复数在实轴上的位置。
虚部 $b$ ：代表复数在虚轴上的位置
复数 $z$ ：表示复平面上的一个点，或者说是一个从原点到平面上某个位置的向量

从上图我们可以得到 $z = 1 + 1 * i$ ，之前我们说过 $i$ 在几何种表示逆时针旋转90°，我们可以看到 $1 + 1 * i$ 的表示为逆时针旋转45°，注意看 $z$ 在复平面上的位置。

4.复数和三角函数

三角函数的理解

在音频基础学习二——声音的波形中，提到了所有的波通过傅里叶变化可以成为正弦波的叠加，反过来，正弦波的叠加最终变为了我们实际数字信号的音频波。

而三角函数作为将角度和弧度联系的数学工具，在单位圆1中，可以把 $\sin \theta$ 看作竖轴的坐标， $\cos \theta$ 看作横轴的坐标即 $\sin\alpha = CD, 位置E = \cos\alpha=AD$
在这里插入图片描述

那么如果这个平面是复平面，那么 $z=\cos\alpha + \sin\alpha i$

极坐标

极坐标是复数 $z$ 的另外一种表示方式，使用角度 $\theta$ 和模长 $r$ 进行表示，替换了实轴和虚轴的坐标，其实就是上面的公式 $z=\cos\alpha + \sin\alpha i$ ，只是这个公式只有在半径为1的时候才正确，正确的表达方式应该是 $r(\cos\theta+i \sin\theta)$ ，此时 $r$ 为了便于区分，不叫作半径，叫做模长.

5.复数的运算

加法
复数的加法和物理中实数的加法类似，例如下图，有AB和AC的力，那么最终力是多少？

AB分解为AE和AF， AC分解为AG和AH，那么最终力AD就是AE+AG， AH+AF，即 $z = (3 + 1 * i) + (1 + 3 * i) = (4 + 4 * i)$
乘法
假如现在有 $z = (3 + 1*i) * (1+1*i) = 3* 1 + 3 * i + 1* i + i^2 = 2+4i$ ，那么这个有什么意义呢，如下图：

上文我们说过 $1 + 1 * i$ 的表示为逆时针旋转45°，而上面的最终极坐标的位置也是移动了45°，事实上复数的乘法代表了：模长的拉长（下文中解释），以及极坐标的旋转。

6.欧拉公式

欧拉公式（Euler’s formula）是复分析中的一个重要公式，它展示了复指数函数和三角函数之间的关系。公式的形式为（推导过程太复杂不进行赘述，有兴趣可以自己百度看）：
$e^{i\theta} = \cos\theta + i*\sin\theta$
我们根据欧拉公式得到复数的表示形式为：
$e^{i\theta}$
假设有两个复数：

$z_1 = 2 * e^{i30°}$ ：表示模长为2，角度为30°
$z_2 = 3 * e^{i45°}$ ：表示模长为3，角度为45°
$z_1* z_2 = 2 * 3 *e^{i(30°+45°)} = 6*e^{i75°}$ ：表示模长为6，角度为75°

三、积分运算

1.定积分

定积分是微积分中的一种运算，它可以用来计算一个函数在某个区间上的“总和”，例如面积、体积或累积量。它的表达方式为：
$\int_a^bf(x)dx = F(b)-F(a)$

$f (x)$ ：是被积函数
$a, b$ :是积分的上下限
$d x$ :表示对于 $x$ 的积分
$F (x)$ ：是 $f (x)$ 的原函数，即 $F^{'} (x) = f (x)$

2.不定积分

不定积分是求一个函数的原函数的过程，结果是一个包含常数项 $C$ 的函数。它的表达方式为：
$\int f(x)dx = F(x)+C$

$F (x)$ ：是 $f (x)$ 的原函数$
$C$ ：是积分常数

注意：虽然定积分和不定积分看起来只是没有了上下限，且在 $F (a) - F (b)$ 时，积分常数 $C$ 被相减消失，但是两者有本质的区别，前者用于计算函数区间上的面积（是数值），后者是寻找原函数的，是函数。

3.基本的积分公式

被积函数 $f (x)$	原函数 $\int f(x)dx$
$x^n,n\neq1$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
$\frac{1}{x}$	$\ln\mid x\mid+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x,a>0$	$\frac{a^x}{\ln a}+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$sec^x$	$\tan x+C$
$csc^x$	$-\cot x+C$
$\sec x \tan x$	$\sec x +C$
$\csc x\cot x$	$-\csc x+C$

4.积分规则

线性

积分同样具有线性，即满足叠加和齐次性

$\int[f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$
$\int c*f(x)dx=c*\int f(x)dx$

替换法

对于复合函数，可以通过变量替换（u-substitution）来简化积分。例如：
$\int (2x)e^{x^2}dx$
令 $u=x^2,du=2xdx$ ，则
$\int e^udu=e^u+C=e^{x^2}+C$

分部积分法

分部积分法用于积分两个函数的乘积，公式为：
$\int udv=uv-\int vdu$
例如：
$\int xe^xdx$
令 $u=x,dv=e^xdx,du=dx,v=e^x$ ，则：
$\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x+C$

5.定积分计算实例

例如，现在有函数 $f(x) = x^2$ ，那么求 $\in[1,2]$ 时的面积：
在这里插入图片描述

定积分的理解：
假设我们把区间 $[a, b]$ 分割成 $n$ 等份，即 $\Delta x=\frac{b-a}{n},\quad x_0=a,x_1 = a+\Delta,x_2=a+2\times\Delta,...,x_n=b$ ，此时当 $n$ 趋向无穷大时， $f(x_0) = f(x_1)$ ，所以面积就变成了 $n$ 个面积的累加和，就有：
$\int_a^bf(x)dx = \lim_{n\rightarrow\infty}\sum^n_{i=1}f(x_i)\Delta x$
结合积分公式得结果
$\int_1^2x^2dx=F(2)-F(1)=\frac{2^{2+1}}{2+1}-\frac{1^{2+1}}{2+1}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\approx 2.33$

6.简单描述积分在CFT作用

对于连续时间傅里叶变换
$F(\omega)=\int^{\infty}_{-\infty}f(t)e^{-jwt}dt$
$f (t)$ 是时域信号， $F (W)$ 是对应的频域信号，积分的作用是将 $f (t)$ 和 $e^{-jwt}$ 做点积，用来测量 $f (t)$ 在频率 $W$ 上的投影。换句话说，积分计算了信号在特定频率下的权重（即幅值和相位）。

具体详细过程受文章篇幅影响，在之后的文章中给出详细解释。

总结

在本篇文章中，先介绍了对于傅里叶变换的历史、傅里叶变换的多个公式，以及对于公式中所需要的数学知识做了详细的介绍。结合图形的方式理解欧拉公式中，复指数函数和三角函数的关系，使用复指数函数来表述信号。同时介绍了积分的运算知识，简单描述了积分在傅里叶变换中的作用。

在一篇文章中，将深入解析傅里叶变换公式以及它的应用。

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