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SGD、BGD、MBGD 之间的区别

news 来源：原创 2025/6/21 12:09:49

文章目录

  • SGD（Stochastic Gradient Descent，随机梯度下降）
  • BGD（Batch Gradient Descent，批量梯度下降）
  • MBGD（Mini-Batch Gradient Descent，小批量梯度下降）

前置：Epoch、Batch、Step 之间的关系

它们的本质区别在于每次更新使用的样本数量（batch size）。

SGD（Stochastic Gradient Descent，随机梯度下降）

定义：每次参数更新使用单个样本计算梯度（batch_size = 1 1 1）。

参数更新：

θ : = θ − η ∇ θ ℓ ( f θ ( x i ) , y i ) \theta := \theta - \eta \nabla_\theta \ell(f_\theta(x_i), y_i) θ:=θ−η∇θ​ℓ(fθ​(xi​),yi​)

其中：

  • θ \theta θ：模型的参数向量。
  • η \eta η：学习率（learning rate）。
  • ℓ ( ⋅ , ⋅ ) \ell(\cdot,\cdot) ℓ(⋅,⋅)：损失函数。
  • f θ ( x i ) f_\theta(x_i) fθ​(xi​)：当前参数 θ \theta θ 对第 i i i 个样本 x i x_i xi​ 的前向预测输出。
  • ( x i , y i ) (x_i, y_i) (xi​,yi​)：第 i i i 个训练样本及其对应的标签 y i y_i yi​。
  • ∇ θ ℓ ( f θ ( x i ) , y i ) \nabla_\theta \ell(f_\theta(x_i), y_i) ∇θ​ℓ(fθ​(xi​),yi​)：损失函数 ℓ \ell ℓ 关于参数 θ \theta θ 的梯度。
  • : = := :=：赋值符号，表示将右侧的结果更新到左侧变量中（即用新的 θ \theta θ 替换旧的 θ \theta θ）。

BGD（Batch Gradient Descent，批量梯度下降）

定义：每次参数更新都使用整个训练集计算梯度（batch_size = N N N）。

参数更新：

θ : = θ − η ∇ θ J ( θ ) \theta := \theta - \eta \nabla_\theta J(\theta) θ:=θ−η∇θ​J(θ)

其中：

  • θ \theta θ：模型的参数向量。

  • η \eta η：学习率。

  • J ( θ ) J(\theta) J(θ)：整个数据集的平均损失函数，定义为：

    J ( θ ) = 1 N ∑ i = 1 N ℓ ( f θ ( x i ) , y i ) J(\theta) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \ell(f_\theta(x_i), y_i) J(θ)=N1​i=1∑N​ℓ(fθ​(xi​),yi​)

    其中 N N N 是数据集中的样本总数。

  • ∇ θ J ( θ ) \nabla_\theta J(\theta) ∇θ​J(θ)：损失函数 J ( θ ) J(\theta) J(θ) 关于参数 θ \theta θ 的梯度。

MBGD（Mini-Batch Gradient Descent，小批量梯度下降）

定义：每次参数更新使用一小批样本（mini-batch）计算梯度（batch_size = B B B）。

参数更新：

  1. 将训练集划分为若干 mini-batch：

    B 1 , B 2 , … , B K \mathcal{B}_1, \mathcal{B}_2, \dots, \mathcal{B}_K B1​,B2​,…,BK​

    其中每个 B k \mathcal{B}_k Bk​ 包含 B B B 个样本，即：

    B k = { ( x k 1 , y k 1 ) , ( x k 2 , y k 2 ) , … , ( x k B , y k B ) } \mathcal{B}_k = \{(x_{k_1}, y_{k_1}), (x_{k_2}, y_{k_2}), \dots, (x_{k_B}, y_{k_B})\} Bk​={(xk1​​,yk1​​),(xk2​​,yk2​​),…,(xkB​​,ykB​​)}

  2. 在第 k k k 个 mini-batch 上定义平均损失函数：

    J B k ( θ ) = 1 B ∑ ( x k j , y k j ) ∈ B k ℓ ( f θ ( x k j ) , y k j ) J_{\mathcal{B}_k}(\theta) = \frac{1}{B} \sum_{(x_{k_j},y_{k_j}) \in \mathcal{B}_k} \ell(f_\theta(x_{k_j}), y_{k_j}) JBk​​(θ)=B1​(xkj​​,ykj​​)∈Bk​∑​ℓ(fθ​(xkj​​),ykj​​)

  3. 利用该 mini-batch 的平均损失对参数进行更新：

    θ : = θ − η ∇ θ J B k ( θ ) \theta := \theta - \eta \nabla_\theta J_{\mathcal{B}_k}(\theta) θ:=θ−η∇θ​JBk​​(θ)

其中：

  • θ \theta θ：模型的参数向量。
  • η \eta η：学习率。
  • B B B：mini-batch 的大小。
  • B k \mathcal{B}_k Bk​：第 k k k 个 mini-batch，包含 B B B 个样本。
  • ∇ θ J B k ( θ ) \nabla_\theta J_{\mathcal{B}_k}(\theta) ∇θ​JBk​​(θ)：损失函数 J B k ( θ ) J_{\mathcal{B}_k}(\theta) JBk​​(θ) 关于参数 θ \theta θ 的梯度。

其实，SGD 和 BGD 只是 MBGD 中不同 batch_size 下的特例，切换方法只需要修改 batch_size 的值：

  • SGD：batch_size = 1，即每次只使用 1 个样本计算梯度。
  • BGD：batch_size = N，即每次使用整个数据集计算梯度。
  • MBGD：batch_size = B（1 < B < N），即每次使用 mini-batch 计算梯度。。

举例说明：

假设我们有 100 个样本的训练数据集（N=100），使用以下不同 batch size 训练 2 个 epoch：

  • SGD (batch_size=1)：每次更新参数使用 1 个样本，更新 200 次（2 个 epoch，100 个样本）。
  • BGD (batch_size=100)：每次使用 100 个样本，更新 2 次（2 个 epoch，每个 epoch 1 次）。
  • MBGD (batch_size=20)：每次使用 20 个样本，更新 10 次（2 个 epoch，100 个样本分成 5 个 batch，每个 epoch 更新 5 次，2 epoch 共 10 次）。

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