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【机器学习】支持向量机（SVM）

news 来源：原创 2025/7/5 1:23:01

一、支持向量机基本概念

1.1 定义

1.2 支持向量：距离超平面最近的样本点，决定了超平面的位置。

二、线性支持向量机

2.1 硬间隔支持向量机

2.2 软间隔支持向量机

三、非线性支持向量机

3.1 核函数

3.2 常用核函数

3.2.1 线性核：等价于线性SVM，适合线性可分数据。

3.2.2 多项式核：适合数据具有多项式关系，参数c>=0控制常数项，d控制多项式阶数

3.2.3 高斯核（RBF核）：适合复杂非线性数据，参数控制映射的局部性。

3.2.4 Sigmoid核：类似神经网络激活函数，参数,c控制形状

四、实战：SVM垃圾邮件分类器实现

4.1 项目分析

4.2 代码实现

4.3 结果显示（可视化）

一、支持向量机基本概念

1.1 定义

SVM是一种基于统计学习理论的监督学习模型，旨在找到一个最优超平面，将不同类别的数据点分隔开，同时最大化分类间隔（Margin）

具体来说：

在线性可分时，在原空间寻找两类样本的最优分类超平面。
在线性不可分时，加入松弛变量并通过使用非线性映射将低维度输入空间的样本映射到高维度空间使其变为线性可分，这样就可以在该特征空间中寻找最优分类超平面。

1.2 支持向量：距离超平面最近的样本点，决定了超平面的位置。

二、线性支持向量机

线性支持向量机假设数据是线性可分的，目标是找到一个超平面 $w^{T}x+b=0$ ，将不同类别的数据点分隔开，并最大化分类间隔。

2.1 硬间隔支持向量机

适用场景：数据完全线性可分，无噪声干扰。

目标：找到一个超平面，使得所有数据点被正确分类，且到最近数据点（支持向量）的间隔最大。

（1）超平面： $w^{T}+b=0$

（2）间隔：数据点 $x_{i}$ 到超平面的距离为 $\frac{|w^T x_i + b|}{||w||}$ 。

支持向量是距离超平面最近的点，满足： $w^T x_i + b = \pm 1$

（3）最大化间隔等价于使 $\frac{1}{||w||}$ 最大，即最小化 $||w||^{2}$

优化目标：最小化法向量范数的平方 $\min_{w, b} \frac{1}{2} \|w\|^2$

约束条件：确保所有数据点被正确分类且位于间隔边界之外 $y_i (w^T x_i + b) \geq 1, \quad \forall i$

其中 $x_{i}$ 是数据点， $y_i \in \{ +1, -1 \}$ 是类别标签，w是法向量，b是偏置

拉格朗日对偶问题：

引入拉格朗日乘子𝛼𝑖≥0，构造拉格朗日函数：

$L(w, b, \alpha) = \frac{1}{2} \|w\|^2 - \sum_i \alpha_i [y_i (w^T x_i + b) - 1]$

对w和b求偏导并令其为0：

$\frac{\partial L}{\partial w} = w - \sum_i \alpha_i y_i x_i = 0 \implies w = \sum_i \alpha_i y_i x_i$

$\frac{\partial L}{\partial b} = -\sum_i \alpha_i y_i = 0 \implies \sum_i \alpha_i y_i = 0$

代回拉格朗日函数，得到对偶问题： $\max_{\alpha} \sum_i \alpha_i - \frac{1}{2} \sum_i \sum_j \alpha_i \alpha_j y_i y_j (x_i^T x_j)$
约束条件： $\sum_i \alpha_i y_i = 0, \quad \alpha_i \geq 0$

求解方法：使用序列最小优化（SMO）算法等方法求解 $\alpha_i$ ，然后计算w和b。

预测：对于新数据点x，分类决策函数为： $f(x) = \text{sign} \left( \sum_i \alpha_i y_i (x_i^T x) + b \right)$

2.2 软间隔支持向量机

适用场景：数据近似线性可分，存在噪声或少量误分类点。

核心思想：引入松弛变量 $\xi_i \geq 0$ ,允许部分数据点位于间隔内或被误分类，通过惩罚参数C平衡间隔最大化与误分类最小化。

优化目标：最小化法向量范数的同时，控制误分类的惩罚 $\min_{w, b, \xi} \frac{1}{2} \|w\|^2 + C \sum_i \xi_i$

约束条件：允许数据点偏离正确分类的间隔 $y_i (w^T x_i + b) \geq 1 - \xi_i, \quad \xi_i \geq 0, \quad \forall i$

其中，C>0是惩罚参数， $\xi_i \geq 0$ 是松弛变量，表示数据点偏离正确分类的程度

几何意义：

𝜉𝑖=0：数据点正确分类且在间隔外。

0<ξi≤1：数据点在间隔内但分类正确。

ξi>1：数据点被误分类。

C 控制间隔大小与误分类的权衡：C 越大，惩罚误分类越多，模型更严格；C 越小，允许更多误分类，间隔更大。

拉格朗日对偶问题：

构造拉格朗日函数：

$L(w, b, \xi, \alpha, \mu) = \frac{1}{2} \|w\|^2 + C \sum_i \xi_i - \sum_i \alpha_i [y_i (w^T x_i + b) - 1 + \xi_i] - \sum_i \mu_i \xi_i$

对w，b， $\xi$ 求偏导并令其为0： $w = \sum_i \alpha_i y_i x_i, \quad \sum_i \alpha_i y_i = 0, \quad \alpha_i + \mu_i = C$
代回得到对偶问题： $\max_{\alpha} \sum_i \alpha_i - \frac{1}{2} \sum_i \sum_j \alpha_i \alpha_j y_i y_j (x_i^T x_j)$
约束条件： $\sum_i \alpha_i y_i = 0, \quad 0 \leq \alpha_i \leq C$

求解方法：使用序列最小优化（SMO）算法等方法求解 $\alpha_i$ ，然后计算w和b。

预测：对于新数据点x，分类决策函数为： $f(x) = \text{sign} \left( \sum_i \alpha_i y_i (x_i^T x) + b \right)$

三、非线性支持向量机

当数据线性不可分时（例如，数据点在二维空间呈环形或交叉分布），通过核函数将数据映射到高维空间，使其在高维空间中线性可分。

3.1 核函数

核心思想：

显式映射到高维空间计算复杂，核函数通过计算低维空间的内积 𝐾(𝑥𝑖,𝑥𝑗)=𝜙(𝑥𝑖)𝑇𝜙(𝑥𝑗)替代高维计算。
核函数满足Mercer条件（正定性），确保对偶问题的凸性。

数学表述：

对偶问题与软间隔SVM一致，但用核函数替换内积 $\max_{\alpha} \sum_i \alpha_i - \frac{1}{2} \sum_i \sum_j \alpha_i \alpha_j y_i y_j K(x_i, x_j)$

约束条件： $\sum_i \alpha_i y_i = 0, \quad 0 \leq \alpha_i \leq C$

决策函数： $f(x) = \text{sign} \left( \sum_i \alpha_i y_i K(x_i, x) + b \right)$

3.2 常用核函数

3.2.1 线性核：等价于线性SVM，适合线性可分数据。

$K(x_i, x_j) = x_i^T x_j$

3.2.2 多项式核：适合数据具有多项式关系，参数c>=0控制常数项，d控制多项式阶数

$K(x_i, x_j) = (x_i^T x_j + c)^d$

3.2.3 高斯核（RBF核）：适合复杂非线性数据，参数 $\gamma$ 控制映射的局部性。

$K(x_i, x_j) = \exp(-\gamma \|x_i - x_j\|^2)$

$\gamma$ 越大，模型越倾向于拟合局部数据（可能过拟合）；
$\gamma$ 越小，模型更平滑。

3.2.4 Sigmoid核：类似神经网络激活函数，参数 $\gamma$ ,c控制形状

$K(x_i, x_j) = \tanh(\gamma x_i^T x_j + c)$

四、实战：SVM垃圾邮件分类器实现

4.1 项目分析

任务：构建一个垃圾邮件分类器，用于区分垃圾邮件（y=1）和非垃圾邮件（y=0）。

方法：使用支持向量机（SVM）分类器，尝试不同的核函数（线性核、多项式核、RBF核）。

数据：

vocab.txt：词汇表，包含1899个单词及其索引。
emailSample1.txt：示例邮件，用于测试特征提取。
spamTrain.mat 和 spamTest.mat：预处理后的训练和测试数据集，包含1899维二值特征向量和标签。

可视化：通过PCA降维到2D，绘制SVM的决策边界，展示不同核函数的分类效果。

4.2 代码实现

import numpy as np
import scipy.io
import re
import os
from sklearn.svm import SVC
from sklearn.decomposition import PCA
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib# 设置 Matplotlib 支持中文显示
matplotlib.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
matplotlib.rcParams['axes.unicode_minus'] = False# 步骤 1：加载词汇表
def load_vocabulary(vocab_file):"""从 vocab.txt 加载词汇表（单词到索引的映射）。"""if not os.path.exists(vocab_file):raise FileNotFoundError(f"文件 {vocab_file} 不存在，请检查路径或文件是否正确。")vocab = {}with open(vocab_file, 'r', encoding='utf-8') as f:for line in f:index, word = line.strip().split()vocab[word] = int(index)return vocab# 步骤 2：将邮件转换为特征向量
def process_email(email_content, vocab):"""将邮件文本转换为 1899 维二值特征向量。"""feature_vector = np.zeros(len(vocab))email_content = email_content.lower()email_content = re.sub(r'[^\w\s]', '', email_content)words = email_content.split()for word in words:if word in vocab:feature_vector[vocab[word] - 1] = 1return feature_vector# 步骤 3：加载训练和测试数据
def load_mat_data(train_file, test_file):"""加载 spamTrain.mat 和 spamTest.mat。"""if not os.path.exists(train_file):raise FileNotFoundError(f"文件 {train_file} 不存在，请检查路径。")if not os.path.exists(test_file):raise FileNotFoundError(f"文件 {test_file} 不存在，请检查路径。")train_data = scipy.io.loadmat(train_file)test_data = scipy.io.loadmat(test_file)X_train = train_data.get('X', train_data.get('Xtest'))y_train = train_data.get('y', train_data.get('ytest')).ravel()X_test = test_data.get('X', test_data.get('Xtest'))y_test = test_data.get('y', test_data.get('ytest')).ravel()return X_train, y_train, X_test, y_test# 步骤 4：训练和评估 SVM
def train_svm(X_train, y_train, X_test, y_test, kernel='linear', **kwargs):"""训练 SVM 分类器并评估准确率。"""clf = SVC(kernel=kernel, **kwargs)clf.fit(X_train, y_train)train_accuracy = clf.score(X_train, y_train)test_accuracy = clf.score(X_test, y_test)return clf, train_accuracy, test_accuracy# 步骤 5：可视化 2D 决策边界（美化版）
def plot_decision_boundary(X, y, clf, kernel_name):"""使用 PCA 降维到 2D 并绘制美化的决策边界。"""# PCA 降维到 2Dpca = PCA(n_components=2)X_2d = pca.fit_transform(X)# 训练 2D 分类器params = clf.get_params()clf_2d = SVC(**params)clf_2d.fit(X_2d, y)# 创建网格h = 0.05  # 增大步长，减少计算量并平滑边界x_min, x_max = X_2d[:, 0].min() - 1, X_2d[:, 0].max() + 1y_min, y_max = X_2d[:, 1].min() - 1, X_2d[:, 1].max() + 1xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h), np.arange(y_min, y_max, h))# 预测网格点类别Z = clf_2d.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])Z = Z.reshape(xx.shape)# 创建画布并设置大小plt.figure(figsize=(10, 8), dpi=100)# 绘制决策边界（使用更柔和的配色）plt.contourf(xx, yy, Z, levels=[-1, 0, 1], colors=['#A3BFFA', '#FECACA'], alpha=0.5)plt.contour(xx, yy, Z, levels=[0], colors='gray', linestyles='--', linewidths=2)# 绘制数据点（分别绘制两类，添加标签用于图注）spam = y == 1non_spam = y == 0plt.scatter(X_2d[non_spam, 0], X_2d[non_spam, 1], c='#3B82F6', s=30, alpha=0.6, edgecolors='white',label='非垃圾邮件')plt.scatter(X_2d[spam, 0], X_2d[spam, 1], c='#EF4444', s=30, alpha=0.6, edgecolors='white', label='垃圾邮件')# 设置标题和标签（增大字体，调整样式）plt.title(f'SVM 决策边界 ({kernel_name})', fontsize=16, pad=15)plt.xlabel('主成分 1', fontsize=14)plt.ylabel('主成分 2', fontsize=14)# 添加图注plt.legend(loc='upper right', fontsize=12, frameon=True, shadow=True)# 添加网格线plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)# 调整刻度字体plt.tick_params(axis='both', which='major', labelsize=12)# 设置边框样式ax = plt.gca()ax.spines['top'].set_linewidth(1.5)ax.spines['right'].set_linewidth(1.5)ax.spines['left'].set_linewidth(1.5)ax.spines['bottom'].set_linewidth(1.5)# 保存图像plt.savefig(f'decision_boundary_{kernel_name.lower()}.png', bbox_inches='tight')plt.close()# 主函数
def main():# 文件路径vocab_file = 'D:/Desktop/Code/ML/ML/SVM/svm_data/data/vocab.txt'train_file = 'D:/Desktop/Code/ML/ML/SVM/svm_data/data/spamTrain.mat'test_file = 'D:/Desktop/Code/ML/ML/SVM/svm_data/data/spamTest.mat'email_file = 'D:/Desktop/Code/ML/ML/SVM/svm_data/data/emailSample1.txt'# 检查文件是否存在for file in [vocab_file, email_file, train_file, test_file]:if not os.path.exists(file):print(f"错误：文件 {file} 不存在，请检查路径。")return# 加载词汇表vocab = load_vocabulary(vocab_file)print(f"词汇表大小: {len(vocab)}")# 处理示例邮件with open(email_file, 'r', encoding='utf-8') as f:email_content = f.read()sample_features = process_email(email_content, vocab)print(f"示例邮件特征向量维度: {sample_features.shape}")# 加载训练和测试数据X_train, y_train, X_test, y_test = load_mat_data(train_file, test_file)print(f"训练数据维度: {X_train.shape}, 测试数据维度: {X_test.shape}")# 定义核函数和参数kernels = [('线性核', {'kernel': 'linear', 'C': 1.0}),('多项式核', {'kernel': 'poly', 'degree': 3, 'C': 1.0}),('RBF核', {'kernel': 'rbf', 'gamma': 'scale', 'C': 1.0})]# 训练并评估 SVMfor kernel_name, params in kernels:print(f"\n正在训练 {kernel_name} 的 SVM 模型...")clf, train_acc, test_acc = train_svm(X_train, y_train, X_test, y_test, **params)print(f"{kernel_name} - 训练集准确率: {train_acc:.4f}, 测试集准确率: {test_acc:.4f}")plot_decision_boundary(X_train, y_train, clf, kernel_name)print(f"决策边界图已保存为 'decision_boundary_{kernel_name.lower()}.png'")if __name__ == "__main__":main()

4.3 结果显示（可视化）

【机器学习】支持向量机（SVM）

目录一、支持向量机基本概念 1.1 定义 1.2 支持向量：距离超平面最近的样本点，决定了超平面的位置。二、线性支持向量机 2.1 硬间隔支持向量机 2.2 软间隔支持向量机三、非线性支持向量机 3.1 核函数 3.2 常用核函数 3.2.1 线性核&#xff1a…...

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编程日记 2025/7/2 15:25:28

【Java微服务组件】异步通信P2—Kafka与消息

欢迎来到啾啾的博客🐱。记录学习点滴。分享工作思考和实用技巧，偶尔也分享一些杂谈💬。欢迎评论交流，感谢您的阅读😄。目录引言Kafka与消息生产者发送消息到Kafka批处理发送设计消息的幂等信息确保消息送达acks配置…...

编程日记 2025/6/27 23:26:20

AI数字人一体机和智慧屏方案：开启智能交互新纪元

在当今这个信息化飞速发展的时代，AI技术正以前所未有的速度改变着我们的生活方式和工作模式。特别是在人机交互领域，AI数字人的出现不仅极大地丰富了用户体验，也为各行各业提供了前所未有的创新解决方案。本文将重点介绍由广州深声科技有限公…...

编程日记 2025/7/3 14:55:37

10-码蹄集600题基础python篇

题目如上： 这题就是ASCII的转换，直接使用ord就可以下面是代码： def main():#code here# a1,a2input().split(",")# print(f"The ASCII code of {a1} is {ord(a1)}")# print(f"The ASCII code of {a2} is {ord(a2…...

编程日记 2025/7/2 23:46:31

给几张图片和一段文字,怎么制作成带有语音的视频---php

想用PHP将图片和文字转换成带有语音的视频，想做自动化的视频生成，比如用于广告、演示或者其他需要多媒体处理的场景。接下来考虑PHP本身的能力。PHP主要是用于服务器端的脚本语言，不太擅长处理多媒体内容，比如视频和语音合成。所…...

编程日记 2025/7/2 23:14:22

vue3中RouterView配合KeepAlive实现组件缓存

KeepAlive组件缓存为什么需要组件缓存代码展示缓存效果为什么不用v-if 为什么需要组件缓存业务需求：一般是列表页面通过路由跳转到详情页，跳转回来时，需要列表页面展示上次展示的内容代码展示 App.vue入口 <script setup lang"…...

编程日记 2025/7/2 21:24:20

NIFI的处理器：ExecuteGroovyScript 2.4.0

ExecuteGroovyScript是常用的处理器之一，用于执行GroovyScript脚本。该脚本负责处理传入的流文件（例如传输到SUCCESS或删除）以及由该脚本创建的任何流文件。如果处理不完整或不正确，会话将被回滚。属性值-失败处理策略 Failure …...

编程日记 2025/6/27 23:01:40

安全可控的AI底座：灯塔大模型应用开发平台全面实现国产信创兼容适配认证

国产信创产品兼容适配认证是为了支持和推动国产信息技术产品和服务的发展而设立的一种质量标准和管理体系。适配认证旨在确保相关产品在安全性、可靠性、兼容性等方面达到一定的标准，以满足政府和关键行业对信息安全和自主可控的需求。北京中烟创新科技有限公司&a…...

编程日记 2025/7/3 21:15:45

.NET外挂系列：5. harmony 中补丁参数的有趣玩法（下）

一：背景 1. 讲故事开局一张表，故事全靠编，为了能够承上启下，先把参数列表放出来。参数名说明__instance访问非静态方法的实例（类似 this）。__result获取/修改返回值，要想修改用 ref。__res…...

编程日记 2025/7/3 14:40:50

Spring Boot 登录实现：JWT 与 Session 全面对比与实战讲解

Spring Boot 登录实现：JWT 与 Session 全面对比与实战讲解 2025.5.21-23:11今天在学习黑马点评时突然发现用的是与苍穹外卖jwt不一样的登录方式-Session，于是就想记录一下这两种方式有什么不同在实际开发中，登录认证是后端最基础也是最重要…...

编程日记 2025/7/3 21:47:48

vscode离线安装组件工具vsix

1.外网下载vsix 网址为：Open VSX Registry 2.输入需要下载的组件 3.下载组件 4.安装 5.选择安装文件 6.安装完成...

编程日记 2025/7/2 18:14:23

Vue大数据量前端性能优化策略

文章目录前言Vue大数据量前端性能优化策略1. 虚拟列表的使用方式及优势2. 列表和图表的懒加载技术3. Web Worker 在图表数据预处理中的应用4. 图表渲染优化技巧5. 分批渲染技术实现方法（如 requestIdleCallback）6. 其他可行的 Vue 层优化策略前言 Vue…...

编程日记 2025/7/2 13:03:07

Hass-Panel - 开源智能家居控制面板

文章目录 ▎项目介绍：预览图▎主要特性安装部署Docker方式正式版Home Assistant Addon方式详细安装方式1. Home Assistant 插件安装（推荐）2. Docker 安装命令功能说明 ：3. Docker Compose 安装升级说明Docker Compose 版本升级功…...

编程日记 2025/7/3 1:21:59

iPaaS集成平台技术选型关注哪些指标？

在数字化转型进程中，企业系统间的数据孤岛问题日益凸显。根据IDC调研，85%的IT决策者将“系统集成效率”列为业务创新的关键瓶颈。iPaaS（集成平台即服务）凭借其敏捷性、低代码特性和智能化能力，已成为企业构建数字生态的…...

编程日记 2025/6/27 23:10:02

JavaScript性能优化实战（14）：跨端JavaScript性能优化

在当今多端开发的时代，JavaScript已经突破了浏览器的界限，广泛应用于移动应用、桌面应用、小程序等各类环境。然而，不同平台的运行时环境存在差异，为JavaScript性能优化带来了新的挑战和思考维度。目录 React Native性能优化最佳实践Electron应用性能优化策略混合应用中J…...

编程日记 2025/6/27 23:23:22

多通道经颅直流电刺激器产品及解决方案特色解析

前记团队在多通道经颅直流电刺激这个技术方向，一路深耕。在服务了不少客户之后，为了方便后续的产品和方案推广。我们弄出来了产品和方案两种形态。标准产品是为了给用户演示以及一些常规的实验使用。方案则是为了满足不同方向的科研用户的需求。这两者相…...

编程日记 2025/7/3 9:47:54

Quasar 使用 Pinia 进行状态管理

官方文档：使用 Pinia 进行状态管理 |Quasar 框架视频教程：quasar框架store-状态管理库pinia介绍_哔哩哔哩_bilibili 使用 Quasar CLI 创建一个新的store quasar new store date --format jsPinia存储模板详解解基本结构解析 import { defineStore,…...

编程日记 2025/6/27 23:26:55

计算机网络--第一章（下）

1.计算机网络的分层结构 1.1 分层结构网络体系结构描述的是，计算机网络有几层，有什么功能，用的什么协议。水平方向的关系， 协议，说的是对等实体间通信需要遵守的规则。用于约束，这个约束的方向是水平的。…...

编程日记 2025/6/27 22:59:38

Veo 3 可以生成视频，并附带配乐

谷歌最新的视频生成 AI 模型 Veo 3 可以创建与其生成的剪辑相配的音频。周二，在谷歌 I/O 2025 开发者大会上，谷歌发布了 Veo 3。该公司声称，这款产品可以生成音效、背景噪音，甚至对话，为其制作的视频增添配乐。谷歌表…...

编程日记 2025/6/27 23:28:59

一、支持向量机基本概念

1.1 定义

1.2 支持向量：距离超平面最近的样本点，决定了超平面的位置。

二、线性支持向量机

2.1 硬间隔支持向量机

2.2 软间隔支持向量机

三、非线性支持向量机

3.1 核函数

3.2 常用核函数

3.2.1 线性核：等价于线性SVM，适合线性可分数据。

3.2.2 多项式核：适合数据具有多项式关系，参数c>=0控制常数项，d控制多项式阶数

3.2.3 高斯核（RBF核）：适合复杂非线性数据，参数 控制映射的局部性。

3.2.4 Sigmoid核：类似神经网络激活函数，参数,c控制形状

四、实战：SVM垃圾邮件分类器实现

4.1 项目分析

4.2 代码实现

4.3 结果显示（可视化）

相关文章：

3.2.3 高斯核（RBF核）：适合复杂非线性数据，参数 $\gamma$ 控制映射的局部性。

3.2.4 Sigmoid核：类似神经网络激活函数，参数 $\gamma$ ,c控制形状