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CQF预备知识：一、微积分简介 —— 基本术语详解

news 来源：原创 2025/7/7 0:11:33

文中内容仅限技术学习与代码实践参考，市场存在不确定性，技术分析需谨慎验证，不构成任何投资建议。

📖 数学入门全解

本教程为复习课程，旨在帮助读者复习数学知识。教程涵盖以下四个主题：

  • 微积分
  • 线性代数
  • 微分方程
  • 概率与统计

1.1 基本术语详解

一、数学符号简写与逻辑符号

  1. 存在量词（ ∃ \exists ∃）

    • 表示“存在至少一个”。例如： ∃ x ∈ N \exists x \in \mathbb{N} ∃x∈N 表示“存在一个自然数 x x x”。

  2. 蕴含符号（ ⟶ \longrightarrow ⟶）

    • 通常表示“如果…则…”（逻辑蕴含），但根据上下文可能表示“给出”某个条件。例如： x > 2 ⟶ x 2 > 4 x > 2 \longrightarrow x^2 > 4 x>2⟶x2>4 表示“若 x > 2 x > 2 x>2，则 x 2 > 4 x^2 > 4 x2>4”。

  3. 等价关系（ ≡ \equiv ≡）

    • 表示两个命题完全等价。例如： a ≡ b ( m o d m ) a \equiv b \pmod{m} a≡b(modm) 表示“ a a a 和 b b b 模 m m m 同余”。

  4. 全称量词（ ∀ \forall ∀）

    • 表示“对所有”。例如： ∀ x ∈ R , x 2 ≥ 0 \forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0 ∀x∈R,x2≥0 表示“所有实数的平方非负”。

  5. 使得（ s . t s.t s.t 或 : : :）

    • 用于定义条件。例如： ∃ x ∈ Z s . t . x > 5 \exists x \in \mathbb{Z} \ s.t. \ x > 5 ∃x∈Z s.t. x>5 表示“存在整数 x x x，使得 x > 5 x > 5 x>5”。

  6. 类似（ ∼ \sim ∼）

    • 表示两个对象在某方面相似。例如： a ∼ b a \sim b a∼b 可能表示“ a a a 与 b b b 同阶”。

  7. 逻辑结论符号（ ∴ \therefore ∴ 和 ∵ \because ∵）

    • ∴ \therefore ∴ 表示“所以”， ∵ \because ∵ 表示“因为”。例如：
      ∵ x > 0 , ∴ x ∈ R \because x > 0, \therefore \sqrt{x} \in \mathbb{R} ∵x>0,∴x ​∈R.

  8. 当且仅当（ i f f iff iff）

    • 表示充分必要条件。例如： x = 0 i f f x 2 = 0 x = 0 \ iff \ x^2 = 0 x=0 iff x2=0。

  9. 属于（ ∈ \in ∈）

    • 表示元素属于集合。例如： 3 ∈ N 3 \in \mathbb{N} 3∈N 表示“3 是自然数”。

  10. 唯一存在（ ! x !x !x）

    • 表示“存在唯一的 x x x”。例如： ∃ ! x ∈ R s . t . x + 2 = 5 \exists!x \in \mathbb{R} \ s.t. \ x + 2 = 5 ∃!x∈R s.t. x+2=5，唯一解是 x = 3 x = 3 x=3。

二、数系的定义与示例

  1. 自然数（ N \mathbb{N} N）

    • 定义： N = { 0 , 1 , 2 , 3 , … } \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\} N={0,1,2,3,…}
    • 注意：某些教材定义自然数从 1 开始，但此处包含 0。

  2. 整数（ Z \mathbb{Z} Z）

    • 定义： Z = { … , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , … } \mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\} Z={…,−2,−1,0,1,2,…}
    • 包含正整数、负整数和零。

  3. 有理数（ Q \mathbb{Q} Q）

    • 定义： Q = { p q ∣ p , q ∈ Z , q ≠ 0 } \mathbb{Q} = \left\{ \frac{p}{q} \mid p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0 \right\} Q={qp​∣p,q∈Z,q=0}
    • 示例： 1 2 \frac{1}{2} 21​（有限小数）、 0. 3 ‾ 0.\overline{3} 0.3（无限循环小数）。
    • 关键性质：小数形式为有限或无限循环。

  4. 无理数（ I \mathbb{I} I）

    • 定义：无法表示为 p q \frac{p}{q} qp​ 的实数。
    • 示例： 2 \sqrt{2} 2 ​（无限不循环小数）、 π \pi π、 e e e。
    • 关键性质：小数形式无限且不循环。

  5. 实数（ R \mathbb{R} R）

    • 包含所有有理数和无理数，即 R = Q ∪ I \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} R=Q∪I。
    • 示例： − 5 -5 −5, 0.75 0.75 0.75, 3 \sqrt{3} 3 ​, π \pi π。

  6. 复数（ C \mathbb{C} C）

    • 定义： C = { x + i y ∣ x , y ∈ R , i = − 1 } \mathbb{C} = \{ x + iy \mid x, y \in \mathbb{R}, i = \sqrt{-1} \} C={x+iy∣x,y∈R,i=−1 ​}
    • 示例： 3 + 4 i 3 + 4i 3+4i，其中 i 2 = − 1 i^2 = -1 i2=−1。
    • 应用：解决实数范围内无解的方程（如 x 2 = − 1 x^2 = -1 x2=−1）。

三、区间表示法

  1. 开区间 ( a , b ) (a, b) (a,b)

    • 定义：不包含端点，即 a < x < b a < x < b a<x<b。
    • 示例： ( 1 , 3 ) (1, 3) (1,3) 表示所有大于 1 且小于 3 的实数。

  2. 闭区间 [ a , b ] [a, b] [a,b]

    • 定义：包含端点，即 a ≤ x ≤ b a \leq x \leq b a≤x≤b。
    • 示例： [ − 2 , 5 ] [-2, 5] [−2,5] 包含 − 2 -2 −2 和 5 5 5。

  3. 半开半闭区间

    • ( a , b ] (a, b] (a,b]：左开右闭，即 a < x ≤ b a < x \leq b a<x≤b。
    • [ a , b ) [a, b) [a,b)：左闭右开，即 a ≤ x < b a \leq x < b a≤x<b。
    • 示例： ( 0 , 1 ] (0, 1] (0,1] 包含 1 但不包含 0。

  4. 无限区间

    • ( − ∞ , b ] (-\infty, b] (−∞,b]：所有小于等于 b b b 的实数。
    • [ a , ∞ ) [a, \infty) [a,∞)：所有大于等于 a a a 的实数。
    • 注意： ∞ \infty ∞ 是符号，非实际数值。

四、示例解析

  1. 区间表示与不等式的转换
    • − ∞ < x < ∞ ↔ ( − ∞ , ∞ ) -\infty < x < \infty \leftrightarrow (-\infty, \infty) −∞<x<∞↔(−∞,∞)
    • x ≤ b ↔ ( − ∞ , b ] x \leq b \leftrightarrow (-\infty, b] x≤b↔(−∞,b]
    • x ≥ a ↔ [ a , ∞ ) x \geq a \leftrightarrow [a, \infty) x≥a↔[a,∞)

五、总结

  • 符号：逻辑符号是数学证明的基础工具，需严格区分其含义（如 ∀ \forall ∀ 与 ∃ \exists ∃）。
  • 数系：自然数、整数、有理数、实数、复数是数学的基石，理解它们的包含关系与性质至关重要。
  • 区间：简化了不等式的书写，尤其在与函数定义域、连续性等分析相关的问题中广泛应用。

本文内容基于公开信息研究整理，不构成任何形式的投资建议。历史表现不应作为未来收益保证，市场存在不可预见的波动风险。投资者需结合自身财务状况及风险承受能力独立决策，并自行承担交易结果。作者及发布方不对任何依据本文操作导致的损失承担法律责任。市场有风险，投资须谨慎。

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编程日记 2025/6/28 23:57:22

uniapp-商城-64-后台 商品列表（商品修改---页面跳转，深浅copy应用，递归调用等）

完成了商品的添加和展示&#xff0c;下面的文字将继续进行商品页面的处理&#xff0c;主要为商品信息的修改的页面以及后天逻辑的处理。 本文主要介绍了商品信息修改页面的实现过程。首先&#xff0c;页面布局包括编辑和删除功能&#xff0c;未来还可添加上架和下架按钮。通过c…...

编程日记 2025/6/27 23:08:28

【MySQL】联合查询（上）

目录 一. 什么是联合查询 二. 笛卡尔积 三. 内连接查询 示例演示 四. 外连接 示例演示 五. 自连接 自连接 示例演示 一. 什么是联合查询 在之前学习的增删改查中都是对于单表进行查询&#xff0c;但是因为在数据库设计时需要遵循范式的要求&#xff0c;数据就会被拆分到多…...

编程日记 2025/6/27 23:33:05

Model 是 Agent 的大脑（以camel为例）

Model 是 Agent 的大脑&#xff0c;负责处理所有输入和输出数据。通过有效调用不同的模型&#xff0c;智能体可以根据任务需求执行文本分析、图像识别和复杂推理等操作。CAMEL 提供了一系列标准和可定制的接口&#xff0c;并与各种组件无缝集成&#xff0c;以赋能大语言模型&am…...

编程日记 2025/6/27 23:32:48

Linux条件变量

在 Linux 系统中&#xff0c;pthread_cond_init() 函数和条件变量&#xff08;Condition Variable&#xff09;是多线程编程中用于线程同步的核心机制。它们通过协调线程间的等待与通知逻辑&#xff0c;解决共享资源的竞争问题。以下从功能、工作机制、使用场景和注意事项等方面…...

编程日记 2025/6/27 23:17:20

k8s-NetworkPolicy

在 Kubernetes 中&#xff0c;NetworkPolicy 是一种资源对象&#xff0c;用于定义 Pod 之间的网络通信策略。它允许你控制哪些 Pod 可以相互通信&#xff0c;以及如何通信。通过使用 NetworkPolicy&#xff0c;可以实现更细粒度的网络访问控制&#xff0c;增强集群的安全性。 1…...

编程日记 2025/6/29 4:19:05

什么是“架构孤岛”？如何识别与整合？为什么现代企业在追求敏捷开发的同时，反而更容易陷入架构孤岛陷阱？

在现代信息技术飞速发展的时代，系统架构日益复杂，组织在构建与演进其信息系统时，面临着前所未有的挑战。然而，就在不断追求敏捷性、可扩展性与数字化创新的过程中，一个被广泛忽视却日益严峻的问题悄然浮现——“架构孤岛”。它们像岛屿一样，彼此孤立，通信不畅，数据难以…...

编程日记 2025/6/27 23:33:34