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【复变函数】三、复变函数的积分

news 来源：原创 2025/7/5 16:43:23

1. 复变函数积分
- 1.1. 复积分
- 1.2. 存在性与计算
- - 1.2.1 第二类曲线积分与格林公式
  - 1.2.2 第一类曲线积分与参数式
- 1.3. 性质
- 1.4. 圆径积分
2. 柯西积分定理
- 2.1. 柯西（Cauchy）基本定理与莫雷拉（Morrera）定理
- 2.2. 复合闭路定理
- 2.3. 闭路变形定理
- 2.4. 路径无关性
- 2.5. 不定积分
3. 柯西积分公式
- 3.1. 柯西积分公式
- 3.2. 高阶导数公式
- 3.3. 圆域积分公式
- - 3.3.1. 泊松（Poisson）积分公式
  - 3.3.2. 平均值公式
  - 3.3.3. 柯西不等式
- 3.4. 刘维尔（Liouville）定理
- 3.5. 代数学基本定理

1. 复变函数积分

1.1. 复积分

函数 $f (z)$ 在复平面上的简单光滑的有向曲线 $C$ 上有定义。对曲线沿正向作任意分割 $T$ ，在所得的 $n$ 个弧长为 $\Delta z_i$ 曲线段上分别任取一点 $\zeta_i(i=1,...,n)$ ，分割细度为 $\displaystyle||T||=\max_{1\le i\le n}{\Delta z_i}=\delta$ ，

若以下极限存在，则 $f (z)$ 沿 $C$ 的积分为
$\int_Cf(z)dz=\lim_{\delta\to0}\sum_{i=1}^nf(\zeta_i)\Delta z_i$

特别的，

曲线 $C$ 的负向积分： $\displaystyle\int_{C^-}f(z)dz$
闭曲线 $\Gamma$ 的逆时针方向积分： $\displaystyle\oint_\Gamma f(z)dz$

1.2. 存在性与计算

1.2.1 第二类曲线积分与格林公式

对于 $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ ，仅当
$\forall z\in C,\,\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)$

存在
$\int_Cf(z)dz=\int_Cudx-vdy+i\int_Cvdx+udy$

即：若 $f (z)$ 在 （按段）光滑曲线 $C$ 上连续，则 $f (z)$ 在 $C$ 上可积。

由格林公式： $P(x,\,y)$ 和 $Q(x,\,y)$ 在具有分段光滑边界 $C$ 的闭单连通域 $\overline D$ 上的偏导数连续，则
$\int_CP(x,\,y)dx+Q(x,\,y)dy=\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$

即有
$\int_Cf(z)dz=-\iint_{\overline D}(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y})dxdy+i\iint_{\overline D}(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y})dxdy$

1.2.2 第一类曲线积分与参数式

对于曲线 $C:z=z(t)=x(t)+iy(t),\,t:a \to b$ ，有
$\int_Cf(z)dz=\int_a^bf[z(t)]z'(t)dt$

曲线的参数式可以带入被积函数中。

1.3. 性质

复积分有如下性质：

线性性： $\displaystyle\int_C[\alpha f(z)+\beta g(z)]dz=\alpha\int_Cf(z)dz+\beta\int_Cg(z)dz$
有向性： $\displaystyle\int_Cf(z)dz=-\int_{C^-}f(z)dz$
可加性： $\displaystyle\int_Cf(z)dz=\int_{C_1}f(z)dz+\int_{C_2}f(z)dz,\,\,C=C_1+C_2$

并满足以下不等式
$\Big\vert\int_Cf(z)dz\Big\vert\le\int_C\vert f(z)\vert dS\le ML$

其中， $\displaystyle M=\max_{z\in C}\vert f(z)\vert$ ， $L$ 为曲线 $C$ 的弧长。

1.4. 圆径积分

对于 $\displaystyle C:r=\vert z-z_0\vert,\,n\in Z$ ，有
$I=\oint_C\vert z-z_0\vert^{-n}dz=\begin{cases} 2\pi i,\,n=1\\ 0,\,n\not=1 \end{cases}$

2. 柯西积分定理

2.1. 柯西（Cauchy）基本定理与莫雷拉（Morrera）定理

在单连闭域 $\overline D$ 上解析的函数 $f (z)$ 对于任意闭路 $C\subset\overline D$ 满足
$\oint_Cf(z)dz=0$

Cauchy定理由 1.2.1 结论和 C-R 条件易证，其逆定理为Morrera定理，即：区域 $D$ 上的连续函数 $f (z)$ 对于任意闭路 $C\subset D$ ， $\overline D_1=C+D_1$ ， $D_1\subset D$ ，满足
$\oint_Cf(z)dz=0$

则 $f (z)$ 在 $D$ 上解析。

2.2. 复合闭路定理

柯西基本定理在多连闭域上的推广。

在具有边界 $\displaystyle C=C_0+\sum_{i=1}^{n} C_i^-$ 的 n 连闭域 $\overline D$ 上解析的函数 $f (z)$ 满足
$\oint_Cf(z)dz=0$

即 $\displaystyle\oint_{C_0}f(z)dz=\sum_{i=1}^{n}\oint_{C_i}f(z)dz$ ，其中， $C_0$ 是外边界。

2.3. 闭路变形定理

一个解析函数在其解析区域上沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变。

由此可将不规则曲线积分转化为典型曲线积分，如圆径积分。

2.4. 路径无关性

对于单连通域 $D$ ， $\forall z_1,\,z_2\in D$ ，两点间的任意条逐段光滑曲线 $C\subset D$ ，则其上的解析函数 $f (z)$ 沿 $C$ 的同向积分都相等。

即：解析函数在单连域内的积分只与起点与终点有关。
$\int_Cf(z)dz=\int_{z_1}^{z_2}f(z)dz$

2.5. 不定积分

对于单连通域 $D$ 内的固定点 $z_0$ 和动点 $z$ ，两点间的任意条曲线 $C\subset D$ ，则其上的解析函数 $f (z)$ 的原函数 $F (z)$ 是一个在 $D$ 上解析的单值函数：
$F(z)=\int_{z_0}^{z}f(\zeta)d\zeta=\int_Cf(\zeta)d\zeta$

并且 $F^{'} (z) = f (z)$ ，而 $f (z)$ 的不定积分为 $F (z) + c$ ， $c$ 为常数。对于 $\forall z_1\in D$ ，还有
$\int_{z_0}^{z_1}f(z)dz=F(z_1)-F(z_0)$

3. 柯西积分公式

3.1. 柯西积分公式

对于闭区域 $\overline D=C+D$ ， $\forall z_0\in D$ ，其上的解析函数 $f (z)$ 满足
$f(z_0)=\frac1{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz$

3.2. 高阶导数公式

对于具有闭路边界 $C$ 的单连闭域 $\overline D=C+D$ ， $\forall z_0\in D$ ，其上的解析函数 $f (z)$ 有任意阶导数，即存在
$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^{(n+1)}}dz,\,n=1,\,2,\,...$

3.3. 圆域积分公式

对于以 $z_0$ 为圆心， $R$ 为半径的闭圆域 $\overline D=C+D$ ， $\forall\zeta\in C$ ， $\forall z\in D$ ， $0\le\theta,\,\varphi<2\pi$ ，有以下参数表达式
$\begin{cases} R=|\zeta-z_0|\\r=|z-z_0|\end{cases}$ $\begin{cases}\zeta=z_0+Re^{i\varphi}\\z=z_0+re^{i\theta}\end{cases}$ $\begin{cases}d\zeta=iRe^{i\varphi}d\varphi\\\Big|\displaystyle\oint_Cd\zeta\Big|=2\pi R\end{cases}$

则 $\overline D$ 上的解析函数 $f(z)=u(r,\,\theta)+iv(r,\,\theta)$ 满足以下公式：
$f(z)=\begin{cases} \displaystyle\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+Re^{i\varphi})d\varphi&{r=0}\\\displaystyle\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+Re^{i\varphi})\frac{R^2-r^2}{R^2+2Rrcos(\varphi-\theta)+r^2}d\varphi&{0<r<R}\\f(z_0+Re^{i\varphi})&{r=R}\\0&r>R\end{cases}$

3.3.1. 泊松（Poisson）积分公式

取圆外（圆域上存在奇点）一点 $z^*=z_0+\frac{R^2}re^{i\theta}$ ，使得柯西积分公式中的 $\frac{f(\zeta)}{\zeta-z^*}$ 一项在 $\overline D$ 上解析，由柯西基本定理易知
$f(z^*)=0$

从而有
$f(z)=f(z)-f(z^*)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+Re^{i\varphi})\frac{R^2-r^2}{R^2+2Rrcos(\varphi-\theta)+r^2}d\varphi$

比较实部得到闭圆域上的调和函数表达式
$u(r,\,\theta)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}u(R,\,\varphi)\frac{R^2-r^2}{R^2+2Rrcos(\varphi-\theta)+r^2}d\varphi$

3.3.2. 平均值公式

当 $r = 0$ 时，泊松积分公式退化为调和函数的平均值公式
$u(z_0)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}u(R,\,\varphi)d\varphi=\frac1{2\pi R}\oint_Cuds$

同时有平均值公式： $f (z)$ 在圆心的值，等于它沿圆周积分值的平均，即
$f(z_0)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+Re^{i\varphi})d\varphi$

3.3.3. 柯西不等式

由高阶导数公式易知，若解析函数的模 $∣ f (z) ∣$ 在 $C$ 上的上界为 $M$ ，则
$\Big|f^{(n)}(z_0)\Big|\le\frac{n!}{2\pi}\cdot\frac{M}{R^{(n+1)}}\cdot2\pi R=n!MR^{-n},\,n=1,\,2,\,...$

特别的， $n = 1$ 时有
$\Big|f'(z_0)\Big|\le\frac{M}{R}$

3.4. 刘维尔（Liouville）定理

若一个整函数 $f (z)$ 在复平面上有界，即 $|f(z)|\le M$ ，则 $f (z) = c$ ， $c$ 为常数。

由柯西不等式，对于 $\forall R>0$ ，取 $R\to\infty$ ，得 $f'(z_0)\equiv0$ ，即证。

3.5. 代数学基本定理

任意复系数多项式在复平面上必有零点，即：对于
$f(z)=\sum_{i=0}^na_iz^{n-i}\,(a_0\not=0,\,n\ge1)$

方程 $f (z) = 0$ 有根。
易知整函数 $f (z)$ 满足 $\displaystyle\lim_{z\to\infty}\frac1{f(z)}=0$ ，若 $\displaystyle\frac1{f(z)}$ 是有界整函数，由刘维尔定理，则 $f (z)$ 也是常数，矛盾，故 $\displaystyle\frac1{f(z)}$ 必然存在奇点，即证。

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