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【高数上册笔记篇02】：数列与函数极限

news 来源：原创 2025/7/28 5:01:48

【参考资料】

同济大学《高等数学》教材
樊顺厚老师B站《高等数学精讲》系列课程（注：本笔记为个人数学复习资料，旨在通过系统化整理替代厚重教材，便于随时查阅与巩固知识要点）

仅用于个人数学复习，因为课本太厚了而且不方便带着，所以才整理这样一份笔记。

文章目录

- 一、数列的极限
- - 1.1 无穷的本质：你先说
  - 1.2 极限的严格定义
  - 1.3 一个简单题
- 二、收敛数列的性质
- - 2.1 极限唯一性
  - 2.2 收敛数列有界性
  - 2.3 收敛数列的保号性
  - 2.4 收敛数列和子数列
  - 2.4 两个推论（省略证明）
- 三、函数极限

一、数列的极限

1.1 无穷的本质：你先说

我们先来看几个具体的数列例子：

数列： $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \ldots, \frac{n}{n+1}, \ldots$ 通项公式为： $x_n = \frac{n}{n+1}$
数列： $\ldots, 2^n, \ldots$ 通项公式为： $x_n = 2^n$
数列： $\ldots, (-1)^{n+1}, \ldots$ 通项公式为： $x_n = (-1)^{n+1}$

对于任意给定的正数 $M > 0$ （你先给个 $M$ ），总存在某个时刻 $N$ ，使得当 $n > N$ 时，对应的数列项 $x_n$ 满足： $x_n > M$

$\left\{\frac{n}{n+1}\right\}$ 当 $\to \infty$ 时， $\frac{n}{n+1}$ 无限接近于 $1$ 。

1.2 极限的严格定义

为了更精确地描述“无限接近”的概念，我们需要引入极限的严格定义。对于任意给定的正数 $\varepsilon > 0$ （无论这个 $\varepsilon$ 多么小），总存在一个正整数 $N$ ，使得当 $n > N$ 时，以下不等式成立：

$\left|\frac{n}{n+1} - 1\right| < \varepsilon$

换句话说，对于任意小的正数 $\varepsilon$ ，我们总能找到一个时刻 $N$ ，使得当 $n > N$ 时，数列项 $\frac{n}{n+1}$ 与 $1$ 的差的绝对值小于 $\varepsilon$ 。

Def: 设 ${x_n\}$ 是一个数列。如果存在一个常数 $a$ ，使得对任给的 $\varepsilon > 0$ ，存在一个 $N$ ，当 $n > N$ 时，不等式

$|x_n - a| < \varepsilon$

都成立，则称 $a$ 为数列 ${x_n\}$ 的极限，记作：

$\lim_{n \to \infty}{x_n} = a$

如果 { $x_n$ } 极限存在，也称为 { $x_n$ } 收敛，否则是发散。等价关系如下：

$\lim_{n \to \infty} x_n = a \iff \begin{cases} \forall \varepsilon > 0, \\ \exists N > 0, \\ \text{使得当 } n > N \text{ 时}, \\ |x_n - a| < \varepsilon \end{cases}$

几何意义：

对于任意给定的正数 $\varepsilon > 0$ ，如果存在一个正整数 $N$ ，使得当 $n > N$ 时，以下不等式成立：

$|x_n - a| < \varepsilon$

这可以进一步展开为：

$-\varepsilon < x_n - a < \varepsilon$

从而得到：

$\varepsilon < x_n < a + \varepsilon$

这意味着当 $n > N$ 时，数列项 $x_n$ 都位于区间 $\varepsilon, a + \varepsilon)$ 内，即：

$x_n \in U(a, \varepsilon)$

其中 $\varepsilon)$ 表示以 $a$ 为中心、半径为 $\varepsilon$ 的邻域。

即： $N$ 项之后，每一项都落在邻域 $\varepsilon)$ 内，只有有限项落在 $\varepsilon)$ 外。

1.3 一个简单题

$\lim_{{n \to \infty}} \frac{n}{n+1} = 1$

证明：

对任意给定的 $\varepsilon > 0$ ，存在一个正整数 $N$ ，使得当 $n > N$ 时，有：

$\left|\frac{n}{n+1} - 1\right| < \varepsilon$

因为 $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$ ，所以只要 $\frac{1}{n} < {\varepsilon}$ ，即 $\frac{1}{\varepsilon}$

那么，取 $\left[\frac{1}{\varepsilon}\right] + 1$ ，当 $n > N$ 时，有：

$\left|\frac{n}{n+1} - 1\right| = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} < \varepsilon$

$\lim_{{n \to \infty}} \frac{n}{n+1} = 1$

二、收敛数列的性质

2.1 极限唯一性

Th1（极限的唯一性）：数列的极限存在，必唯一。

证：(用反证法)

假设 $\lim_{{n \to \infty}} x_n = a$ ， $\lim_{{n \to \infty}} x_n = b$ ，且 $a < b$ 。

由数列极限的定义，对 $\varepsilon = \frac{b - a}{3}$ ，则 $\exists N_1 > 0$ ，当 $n > N_1$ 时，

$|x_n - a| < \frac{b - a}{3} \quad \text{(1)}$

又 $\exists N_2 > 0$ ，当 $n > N_2$ 时，

$|x_n - b| < \frac{b - a}{3} \quad \text{(2)}$

取 $N = \max(N_1, N_2)$ ，当 $n > N$ 时，同时满足不等式(1)和(2)。

$\left| (x_n - a) - (x_n - b) \right| \\[1em] \leq |x_n - a| + |x_n - b| \\[1em] < \frac{b - a}{3} + \frac{b - a}{3} = \frac{2}{3}(b - a) \\[1em] 矛盾！$

2.2 收敛数列有界性

若存在正数 $M > 0$ ，使得 $|x_n| \leq M$ 对一切 $n$ 成立，则称数列 ${x_n\}$ 为有界数列。

Th2：收敛数列必有界。（但是有界不一定收敛，如sinx）

证：设 ${x_n\}$ 为收敛数列

$\lim_{{n \to \infty}} x_n = a$

由极限的定义.：对于 $\varepsilon=1$ ，存在 $N > 0$ , $\forall n>N$ 时， $x_n - a| < 1$

$|x_n| = |(x_n - a) + a| \\[1em] \leq |x_n - a| + |a| < 1 + |a|$

取 $\max\{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_N|, 1 + |a|\}$ ，则对一切 $n$ ，有：

$|x_n| \leq M \\[1em] \therefore \{x_n\} 为有界数列$

2.3 收敛数列的保号性

如果 $\lim_{{n \to \infty}} x_n = a$ 存在且 $a > 0$ ，则存在正整数 $N > 0$ ，当 $n > N$ 时，都有 $x_n > 0$ 。如果 $a < 0$ ，同理。

证：由于 $\lim_{{n \to \infty}} x_n = a$ ，若 $a > 0$

由定义对 $\varepsilon = \frac{a}{2}$ ，存在 $N > 0$ ，当 $n > N$ 时

$|x_n - a| < \frac{a}{2}$

$-\frac{a}{2} < x_n - a < \frac{a}{2}$

此时： $(n > N)$

$x_n > a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2} > 0 \\[1em] 证毕！$

2.4 收敛数列和子数列

Th4：如果数列 ${x_n\}$ 收敛于 $a$ ，则它的任一子数列也收敛且收敛于 $a$ 。

证：由于 $\lim_{{n \to \infty}} x_n = a$ ，∴ 对任意给定的 $\varepsilon > 0$ ，存在 $N$ ，当 $n > N$ 时。

$|x_n - a| < \varepsilon$

取 $K = N$ ，当 $k > K$ 时：

$n_k > n_K \geq N \\[1em] |x_{n_k} - a| < \varepsilon \\[1em] \therefore \lim_{{k \to \infty}} x_{n_k} = a$

一个简单题：

要证明数列 $\lim_{n \to \infty} (-1)^{n+1}$ 不存在，我们可以利用子数列的性质。根据子数列定理，如果一个数列收敛于某个极限 $a$ ，那么它的任意子数列也收敛于同一个极限 $a$ 。

我们考虑数列 ${x_n\} = (-1)^{n+1}$ 的两个子数列：

子数列 ${x_{2k-1}\}$ ，即所有奇数项组成的子数列：
$x_{2k-1} = (-1)^{(2k-1)+1} = (-1)^{2k} = 1$
因此，这个子数列是常数序列 1，显然有：
$\lim_{k \to \infty} x_{2k-1} = 1$
子数列 ${x_{2k}\}$ ，即所有偶数项组成的子数列：
$x_{2k} = (-1)^{2k+1} = -1$
因此，这个子数列是常数序列 -1，显然有：
$\lim_{k \to \infty} x_{2k} = -1$

由于这两个子数列分别收敛于不同的极限值 1 和 -1，根据子数列定理，原数列 ${x_n\} = (-1)^{n+1}$ 不能收敛于任何一个确定的极限值。因此，可以得出结论：

$\lim_{n \to \infty} (-1)^{n+1} \text{ 不存在}$

2.4 两个推论（省略证明）

推论1：如果数列 { $x_n$ } 从某一项起， $x_n ≥ 0$ （ $x_n ≤ 0$ ）， $\lim_{{n \to \infty}} x_n = a$ ，则 $a \geq 0$ （ $a \leq 0$ ）
推论2：设 $\lim_{{n \to \infty}} a_n = a$ ， $\lim_{{n \to \infty}} b_n = b$ ，若 $a < b$ ，则存在正整数 $N > 0$ ，使 $n > N$ 时 $b_n > a_n$

三、函数极限

对任意给定的 $\varepsilon > 0$ ，存在 $X > 0$ ，当 $x > X$ 时，都有 $\varepsilon$ ，则称 $A$ 是 $f (x)$ 当 $\to \infty$ 的极限。

几何意义： $y = A$ 是 $y = f (x)$ 图形的水平渐近线。

求下式子：

$\frac{x^2 - 1}{x - 1}$

当 $\neq 1$ :

$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}$

$f (x) = x + 1$

所以，当 $\neq 1$ 时,

$f (x) = x + 1$

当 $x = 1$ 时：

对任意给定的 $\varepsilon > 0$ ，要找到一个 $\delta > 0$ ，使得当 $\delta$ 时，

$\left|\frac{x^2 - 1}{x - 1} - 2\right| < \varepsilon$

由于 $f (x) = x + 1$ 当 $\neq 1$ ，因此：

$∣ x + 1 - 2∣ = ∣ x - 1∣$

所以，只要取 $\delta = \varepsilon$ ，当 $\delta$ 时，就有：

$\varepsilon$

这表明对任意 $\varepsilon > 0$ ，确实存在 $\delta = \varepsilon > 0$ ，使得当 $\delta$ 时，有：

$\left|\frac{x^2 - 1}{x - 1} - 2\right| < \varepsilon$

因此， $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$ 。

注：定义中 $0 < |x - x_0|$ 表示 $\neq x_0$ ，讨论 $\to x_0$ 时只考虑 $\neq x_0$ ，且 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 是否存在与 $f(x_0)$ 是否有定义无关。

$\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \begin{cases} \forall \varepsilon > 0 \\ \exists \delta > 0 \\ \text{当 } 0 < |x - x_0| < \delta \text{ 时} \\ |f(x) - A| < \varepsilon \end{cases}$

在这里插入图片描述

文章目录

一、数列的极限

1.1 无穷的本质：你先说

1.2 极限的严格定义

1.3 一个简单题

二、收敛数列的性质

2.1 极限唯一性

2.2 收敛数列有界性

2.3 收敛数列的保号性

2.4 收敛数列和子数列

2.4 两个推论（省略证明）

三、函数极限

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