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2025年“深圳杯”数学建模挑战赛C题国奖大佬万字思路助攻

news 来源：原创 2025/8/3 8:49:39

完整版1.5万字论文思路和Python代码下载：https://www.jdmm.cc/file/2712073/

引言

本题目旨在分析分布式能源 (Distributed Generation, DG) 接入配电网系统后带来的风险。核心风险评估公式为：

R = P_{loss} \times C_{loss} + P_{over} \times C_{over}

其中：

R 代表系统总风险。
P_{loss} 代表系统失负荷的发生概率。
C_{loss} 代表由系统失负荷造成的危害程度。
P_{over} 代表系统过负荷的发生概率。
C_{over} 代表由系统过负荷造成的危害程度。

我们需要针对所提供的有源配电网62节点系统（数据见附录Excel表1和表2，即文件 表1 有源配电网62节点系统负荷参数.csv 和 表2 有源配电网62节点系统拓扑参数.csv），建立风险计算模型，并分析不同场景下系统风险的演变情况。

通用建模方法与数据准备

在深入具体问题之前，我们先讨论一些通用的建模方法和必要的数据准备工作。

1. 系统拓扑与数据解读

网络模型构建：根据 表2 有源配电网62节点系统拓扑参数.csv 中的起点、终点、长度、电阻和电抗数据，构建配电网的图模型。节点对应母线/负荷点/开关，边对应线路段。可以使用如图 networkx (Python库) 进行网络拓扑的表示和分析。
负荷数据：表1 有源配电网62节点系统负荷参数.csv 提供了各节点的有功负荷 P (kW)。题目中指明不考虑无功功率。
分布式能源(DG)位置：题目描述“8个分布式能源DG从不同位置接入到配电网中，如图1所示”。需要仔细解读图1（在 C题：分布式能源接入配电网的风险分析.docx 中），将DG1至DG8明确映射到表1、表2中的具体节点编号上。如果图1中的DG连接点不是已编号的负荷节点，可能需要将其视为新的发电节点，并明确其与哪个现有节点相连。
线路额定参数：
- 题目给出“3条馈线额定负载均为2.2 MW，对应额定载流量为220A”。馈线电压为10kV。
- “过负荷：线路电流超过额定载流量10%以上”。这意味着每条线路（或至少是关键线路）都需要一个额定载流量。表2并未直接给出各线路段的额定电流。关键假设/数据缺失：如果所有支路的额定电流未给出，需要做出合理假设。例如，主干线路参考220A，支路根据其下游总负荷设计容量按比例估算，或者统一假设一个基于导线型号（若能从电阻电抗反推）的电流限值。在模型中应明确指出此假设。联络线（S13-1, S29-2, S62-3）的容量也需明确，可假设与所连接的馈线容量相当。
开关信息：图1中标注了分段开关S1-S62以及联络开关S13-1, S29-2, S62-3。这些开关的状态（正常开/合，故障时可操作）对故障隔离和负荷转供至关重要。

2. 故障率计算

根据题目给出的故障率参数：

每个分布式能源故障率：p_{dg} = 0.5\%
每个用户故障率：p_{user} = 0.5\% （此处“用户故障”可能指负荷点连接设备故障导致该负荷无法供电）
每个开关故障率：p_{sw} = 0.2\%
配电线路故障率：p_{line} = \text{线路长度(km)} \times 0.002/\text{km}。线路长度从 表2 获取。

由于题目说明“各个类型故障是独立发生的，同一时间同一类型只发生一个故障”，这简化了概率计算，主要考虑单一故障事件。

3. 潮流计算简化

题目明确“不考虑无功功率和电压越限的影响，风险计算分析仅考虑有功功率和电流的影响”。

有功潮流：可以使用直流潮流模型（DC Power Flow）的简化形式，或者基于基尔霍夫定律的有功功率平衡方程。考虑到线路电阻 表2 给出了，线路损耗 P_{loss,line} = I^2 R 或 P_{loss,line} = \frac{P^2+Q^2}{V^2}R \approx \frac{P^2}{V_{nom}^2}R （由于Q忽略）可以被估算。
电流计算：对于三相平衡系统，电流 I 可以由有功功率 P （kW）和线电压 V_{LL} （kV，此处为10kV）计算：

$$
I = \frac{P \times 1000}{\sqrt{3} \times V_{LL} \times 1000 \times \cos\phi}
$$

由于不考虑无功，功率因数 \cos\phi=1。所以 I = \frac{P}{\sqrt{3} \times 10} (A)。其中P为三相总有功功率。

4. 危害程度函数 (C_{loss} 和 C_{over})

C_{loss} (失负荷危害程度)：题目提及“供电中断危害可依据部门客户危害度函数进行计算”，但未提供具体函数。可以参考网络资料中关于“用户平均断电损失(Customer Average Interruption Cost, CAIC)”或“失负荷价值(Value of Lost Load, VoLL)”的概念 (如NREL的CDF计算器 [3.1] 或维基百科关于VoLL的解释 [4.1])。若无详细分类，可假设一个平均的单位失负荷成本（例如，/kW 或 /kWh）。
C_{over} (过负荷危害程度)：过负荷可能导致设备寿命缩短、损耗增加甚至损坏 [5.1, 5.2, 6.2]。其量化也较复杂。模型中可以简化为：当发生过负荷时，产生一个固定的惩罚成本，或者成本与过负荷的程度和持续时间相关（若考虑动态）。

问题解答

问题1：失负荷风险和过负荷风险的计算模型

A. 失负荷风险模型 (R_{loss} = P_{loss} \times C_{loss})

1. P_{loss} (系统失负荷的发生概率) 计算思路：

故障识别与枚举：
- 线路故障：遍历所有线路段，根据长度计算故障率。
- 开关故障：遍历所有开关（分段开关和联络开关），使用给定的故障率。开关故障可能指开关误动或拒动。这里主要考虑导致供电中断的开路故障。
- DG故障：遍历所有DG，使用给定故障率。
- 用户故障：遍历所有负荷点，使用给定故障率。
故障影响分析 (对每一个单一故障场景)：
1. 确定初始中断范围：发生故障后，利用网络拓扑判断哪些负荷失去电源。例如，线路L发生故障，则L下游的所有负荷（在没有其他电源的情况下）会失电。
2. 尝试通过联络线恢复供电：
  - 识别失电区域内可以通过联络线转供的负荷。
  - 检查转供路径（包括联络线本身及目标馈线）的容量是否足够，即转供后不能引起新的过负荷。联络开关的容量需要预先定义。
  - “供电恢复的目标是在系统拓扑结构发生变化时，将系统的经济损失降至最小”，这意味着在多种恢复方案可选时，应优先恢复重要负荷或总负荷量最大的方案（如果负荷有优先级或不同C_{loss}）。
  - 注意约束：“分布式能源不得向上级电网倒送功率”，以及联络线转移功率时，不应导致源馈线向上级变电站倒送。
3. 计算净失负荷：经过联络线转供后，仍然无法恢复的负荷总量 Load_{unserved, i} (kW)，对应于故障场景 i。
P_{loss} 的确定：严格来说，P_{loss} 不是一个单一概率，而是与失负荷大小相关的。一个更准确的指标是期望失负荷 (Expected Energy Not Supplied, EENS) 或期望失负荷功率 (Expected Power Not Supplied, EPNS)。对于风险公式中的 P_{loss}，可以理解为某种等效的“发生失负荷”的概率。一个简化的方法是：

$$
P_{loss} = \sum_{i \in \text{Faults}} P(\text{Fault}_i) \times I(\text{Fault}_i \text{ leads to net load loss})
$$

其中 P(\text{Fault}_i) 是故障 i 的发生概率，I(\cdot) 是指示函数。更合理的做法是计算期望未服务功率：

$$
E[P_{unserved}] = \sum_{i} P(\text{Fault}_i) \times Load_{unserved, i}
$$

如果风险公式必须使用单一 P_{loss} 和 C_{loss}，那么 P_{loss} 可以是“发生任意导致失负荷的故障的总概率”，而 C_{loss} 则是这些故障下的平均或加权危害。或者，将风险公式理解为期望损失：

$$
R_{loss} = \sum_{i} P(\text{Fault}_i) \times (Load_{unserved, i} \times \text{CostPerKW})$。这样 $P_{loss,i} = P(\text{Fault}_i)
$$

$$
C_{loss,i} = Load_{unserved, i} \times \text{CostPerKW}
$$

2. C_{loss} (系统失负荷造成的危害程度) 计算思路：

C_{loss} = Load_{unserved} \times V_{VoLL}
Load_{unserved} 是某故障场景下，经过优化恢复后最终未能供电的负荷量 (kW)。
V_{VoLL} 是单位失负荷的经济损失 ($/kW 或 $/kWh)。如前述，可参考已有研究或行业数据，或作为参数输入。如果负荷有不同类型（居民、商业等），V_{VoLL} 可以是各类型负荷的加权平均。

3. 代码实现思路 (Python 为例)：

使用 pandas 读取和处理CSV数据。
使用 networkx 构建电网图模型，存储节点（负荷、DG、开关）、支路（线路参数、额定电流、故障率）信息。
主循环：遍历所有可能的单一故障点（线路、开关、DG）。
- 内部逻辑：
  - 模拟故障发生，从图中移除故障元件或改变其状态。
  - 使用图算法（如DFS/BFS）确定孤岛和失电区域。
  - 转供逻辑：
    - 识别可通过联络开关连接到其他正常馈线的失电区域。
    - 进行潮流计算或容量校核，判断转供可行性（不超过联络线及目标馈线容量，不向上级倒送功率）。
    - 以最大化恢复负荷或最小化损失为目标选择转供方案。
  - 计算最终的 Load_{unserved}。
汇总所有故障场景的 P(\text{Fault}_i) \times C_{loss,i} 得到总的 R_{loss}。

B. 过负荷风险模型 (R_{over} = P_{over} \times C_{over})

1. P_{over} (系统过负荷的发生概率) 计算思路：

潮流计算：在给定的运行方式下（负荷情况、DG出力情况），计算网络中各条线路的有功功率 P_{line}。
电流计算：根据 P_{line} 和额定电压 (10kV)，计算线路电流 I_{line} = \frac{P_{line}}{\sqrt{3} \times 10 \text{ (kV)}}。
过负荷判断：对每条线路，检查 I_{line} > 1.1 \times I_{rated,line}。I_{rated,line} 是该线路的额定载流量（需预设或假设）。
“不得向上级变电站倒送”约束：在潮流计算中，必须保证从变电站到馈线的功率方向，或者说变电站出口开关 (CB1-CB3) 处的功率为正（从变电站流出）。如果DG出力过大可能导致倒送，则需要弃风或通过联络线向其他馈线转移（前提是其他馈线有接纳能力且联络线容量允许）。
P_{over} 的确定：
- 对于确定的运行场景（如DG全出力，或特定出力水平），如果发生过负荷，P_{over} 为1，否则为0。
- 如果考虑DG出力的不确定性（例如，在问题3中会更突出），则 P_{over} 可以是：在一定观测时间内（如一天中所有小时），发生过负荷的小时数比例；或者通过蒙特卡洛模拟，DG出力按某种概率分布取值，统计过负荷发生的频率。
- 在本问题中，可能需要评估的是在基准DG容量下，是否存在某些线路在特定（可能是最不利）条件下发生过负荷。

2. C_{over} (系统过负荷造成的危害程度) 计算思路：

量化过负荷的危害可以有多种方式：
- 简化：一旦发生过负荷，即产生一个固定的惩罚值。
- 与过负荷程度相关：例如，C_{over} = k \times (\frac{I_{line} - 1.1 \times I_{rated,line}}{1.1 \times I_{rated,line}})，其中 k 是一个成本系数。
- 考虑设备寿命损失：更复杂的模型会把过负荷映射到设备（如变压器、电缆）的加速老化模型，从而计算经济损失 [5.2, 6.2]。
参考搜索结果，如 "Electrical Overload: Understanding the Risks and How to Prevent It - E-Abel" [5.1] 描述了过热、设备损坏、寿命降低等风险，但具体成本化需要模型假设。

3. 代码实现思路：

实现简化的潮流计算函数（如基于功率平衡迭代或矩阵求解的DC潮流近似）。
输入：节点负荷、DG出力（初始容量300kW/个）、网络拓扑及参数。
主逻辑：
- 计算各线路功率和电流。
- 检查倒送功率约束，如有倒送，需调整DG出力（弃风）或尝试通过联络线向其他馈线转移功率，前提是不导致其他线路过负荷且联络线容量允许。
- 检查各线路是否过负荷。
若有过负荷线路，则记录，并根据上述 C_{over} 计算方法估算危害。

问题2：分布式能源容量从I增加到3I，分析系统风险演变

DG容量设定：初始容量 I = 300 \text{ kW}/DG。总共8个DG。容量从 I 增加到 3I，步长 0.3I。即每个DG的容量依次取： 300, 300(1+0.3), 300(1+0.6), \dots 直到 3 \times 300 = 900 \text{ kW}。具体容量点 (kW/DG)：300, 390, 480, 570, 660, 750, 840, 900。
建模思路：
1. 对于上述每一个DG容量水平（所有8个DG同时调整容量）：
  - 更新DG出力：在模型中设置DG的出力为此容量值（这里假设DG按其容量稳定出力，不考虑其波动性，除非题目暗示需要结合典型日出力曲线，但问题2似乎更侧重容量参数本身的影响）。
  - 重新计算失负荷风险 R_{loss}：
    - DG容量的增加可能会改变故障后的供电能力。如果DG被允许在故障后为部分区域供电（形成孤岛，需视题目是否有此设定，通常配电网孤岛运行较复杂），则可能降低失负荷。但DG本身也有故障率。主要影响在于，如果DG在网，可以减少从主网获取的功率，改变潮流分布。
    - 使用问题1中建立的 R_{loss} 模型，代入新的DG容量。
  - 重新计算过负荷风险 R_{over}：
    - DG容量增加，显著增加了线路过负荷和向上级电网倒送功率的风险，尤其是在负荷较低时。
    - 使用问题1中建立的 R_{over} 模型，代入新的DG容量，严格检查倒送和线路过载情况。
  - 计算总风险 R = R_{loss} + R_{over}。
2. 结果分析：绘制总风险 R、失负荷风险 R_{loss}、过负荷风险 R_{over} 随DG总容量（或单个DG容量）变化的曲线图，据此分析演变趋势。
代码实现思路：
- 外层循环遍历DG的各个容量水平。
- 循环内部调用问题1中开发的风险计算函数（失负荷风险函数和过负荷风险函数）。
- 存储每个容量水平下的 R_{loss}, R_{over}, R。
- 使用 matplotlib 等库进行绘图。

问题3：假设8个DG全部为光伏，分析每一个光伏的最大接入容量对系统风险的影响

典型光伏发电曲线：
- 需要查找典型的日发电功率曲线。例如，晴天时光伏出力在白天呈钟形曲线，峰值在中午附近，夜间为0。可参考搜索到的资料，如 ResearchGate上的典型曲线 [1.1] 或NREL的数据 [2.2]。曲线通常以标准日照下的峰值功率的百分比形式给出（例如，每小时一个出力系数 Profile(t) \in [0,1]）。
- P_{PV}(t) = \text{PV装机容量} \times \text{Profile}(t)。
“每一个光伏的最大接入容量”的理解：
- 这可能指对8个DG位置，逐个分析：当某个位置的光伏容量从一个较小值逐渐增大时，系统风险如何变化，从而找到一个“风险可接受”或“边际风险增长过快”的容量点，这个点可视为该位置的“最大接入容量”的参考。
- 或者，对每个DG位置，设定一个较大的接入容量（例如问题2中的3I=900kW，或根据线路热稳极限反算的理论上限），然后评估此时系统风险的构成。
- 更可能的问法是：单独改变一个PV的装机容量，保持其他PV容量在基准值（如初始的300kW），分析该PV容量变化对系统总风险的影响。这种敏感性分析能体现不同接入位置对风险的贡献差异。
建模思路 (按敏感性分析理解)：
1. 选择一个基准场景，例如所有PV容量均为初始值 I=300 \text{ kW}。
2. 对外层循环：遍历8个PV位置 (DG1 to DG8)。
3. 对内层循环：对于当前选定的PV，将其装机容量从一个下限（如0或I）逐步增加到一个上限（如3I或更高，或直到风险急剧增加）。其他7个PV容量保持基准值。
4. 风险计算 (含时间维度)：由于PV出力随时间变化，风险也可能随时间变化。
  - 选择一天中若干典型时刻（如每小时一次，共24个时刻），或者至少选择几个关键时刻（如清晨低负荷无PV、中午高峰PV低/中负荷、傍晚高峰负荷无PV）。
  - 对于每个时刻 t：
    - 获取该时刻所有PV的出力 P_{PV,j}(t) （j为PV编号）。
    - 获取该时刻的负荷 P_{load,k}(t) （如果负荷也随时间变化，则需负荷曲线；若无，则用 表1 的固定负荷）。
    - 运行问题1中的风险评估模型（失负荷、过负荷），得到该时刻的瞬时风险 R(t)。
  - 日总风险/平均风险：可以将瞬时风险进行加权平均或求和，得到日度量下的风险值。例如，期望日风险 R_{daily} = \sum_{t} R(t) \times \Delta t （如果R(t)是风险功率）或 R_{daily} = \text{mean}(R(t))。
5. 结果分析：对于每个PV位置，绘制其接入容量与系统（日）风险之间的关系曲线。比较不同位置的曲线，分析哪些位置对风险更敏感，以及其“最大经济接入容量”或“风险拐点容量”大致在什么水平。
代码实现思路：
- 实现一个函数，根据输入的PV装机容量、时刻 t 和标准化的PV出力曲线，返回该PV的瞬时出力。
- 主程序包含嵌套循环：外层遍历PV位置，中层遍历该PV的测试装机容量，内层遍历一天中的各个时刻。
- 在最内层，调用问题1的风险计算模块（需适应瞬时DG出力）。
- 存储结果并绘图。

问题4：在问题3基础上，假设每个光伏配置储能电池，分析影响

储能配置：储能容量不超过PV装机容量的15%。这通常指储能的功率容量 P_{ESS,max} \le 0.15 \times P_{PV,capacity}。储能的能量容量 E_{ESS,max} (kWh) 也需要设定，例如，假设为功率容量的2小时或4小时 (E_{ESS,max} = P_{ESS,max} \times \text{Duration})。还需要考虑充放电效率 \eta_{ch}, \eta_{dis}，以及最小/最大荷电状态 (SOC) 约束。
储能运行策略：这是关键。储能的目的是平抑PV波动、削峰填谷、参与调峰调频、提高自消纳、减少弃光、降低风险。一个合理的策略应服务于风险最小化。
- 基本策略示例：
  1. 充电：当PV出力大于本地负荷且可能导致线路过载或向上级倒送时，优先给储能充电 (若SOC < SOC_{max} 且充电功率 \le P_{ESS,max})。
  2. 放电：当PV出力不足以满足本地负荷，或在系统故障、主网失压时，储能放电支援 (若SOC > SOC_{min} 且放电功率 \le P_{ESS,max})。
  3. 目标：可以设定为优先保证本地负荷供电，其次避免线路过载和倒送，再次参与经济调度（如峰谷套利，但本题更侧重风险）。
建模思路：
1. 在问题3的模型基础上，为每个PV增加一个储能单元模型。
2. 在每个时刻 t 的计算中，加入储能的充放电决策逻辑。
  - 首先确定PV的理论出力。
  - 根据储能策略，决定储能是充电、放电还是闲置，以及相应的功率。
  - 更新储能的SOC: SOC(t) = SOC(t-1) + \frac{P_{ESS}(t) \times \Delta t \times \eta}{E_{ESS,max}} （充电取 P_{ESS}>0, \eta=\eta_{ch}；放电取 P_{ESS}<0, \eta=1/\eta_{dis}）。
  - PV和储能联合向电网注入/吸收的净功率为 P_{DG\_net}(t) = P_{PV}(t) - P_{ESS,charge}(t) + P_{ESS,discharge}(t)。
3. 使用此 P_{DG\_net}(t) 作为DG等效出力，代入问题1的风险模型中，重新计算 R_{loss}(t) 和 R_{over}(t)。
4. 重复问题3中的分析流程（改变单个PV及其配套储能的容量，分析对系统日风险的影响）。
结果分析：对比有无储能情况下的风险曲线。预期储能可以：
- 显著降低过负荷风险 R_{over}（通过吸收多余PV出力，减少峰值注入）。
- 可能降低失负荷风险 R_{loss}（通过在PV出力低或故障时段供电）。
代码实现思路：
- 在PV模型旁增加储能模型类/函数，包含SOC、功率/能量容量、效率、充放电逻辑。
- 修改问题3的时间序列仿真循环，在每个时间步先执行储能的调度决策，再进行电网风险评估。

总结与展望

上述思路为解决该数学建模问题提供了框架。在具体实施中，还需要注意以下几点：

关键参数的明确：如前所述，所有线路的额定电流、联络线容量、DG在拓扑图中的精确接入点、客户停电损失的具体数值或函数形式、过负荷的量化成本等，都需要明确。如果题目未完全给出，模型中必须清晰地列出所作的假设。
模型的简化与合理性：鉴于问题的复杂性，某些方面的简化是必要的（如忽略无功和电压、单一故障假设等已在题目中指明）。关键在于确保简化不失问题本质。
计算效率：特别是对于问题3和4中涉及时间序列和多场景迭代的分析，需要考虑算法效率，避免不必要的重复计算。
结果的可视化与解读：清晰的图表（如风险随参数变化的曲线、关键节点或线路的风险贡献等）对于结果呈现和分析至关重要。

参考文献（部分）

[1] NREL Customer Damage Function Calculator: Customer Damage Function Calculator
[2] Wikipedia - Value of Lost Load: https://en.wikipedia.org/wiki/Value_of_lost_load
[3] ResearchGate - Typical daily PV generation and load profiles: https://www.researchgate.net/figure/Typical-daily-PV-generation-and-load-profiles-of-a-day-time-business-office_fig2_358496934
[4] NREL - Solar Supply Curves: Solar Supply Curves | Geospatial Data Science | NREL
[5] E-Abel - Electrical Overload: Understanding the Risks and How to Prevent It: Electrical Overload: Understanding the Risks and How to Prevent It [May 2025]
[6] MES - Understanding the Impact of Overloading on Transformer Health: Understanding the Impact of Overloading on Transformer Health
[7] IMIA - Analysis of Transformer Failures: https://www.imia.com/wp-content/uploads/2023/07/wgp3303.pdf