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Java数据结构——二叉树

news 来源：原创 2025/8/4 10:03:06

二叉树

  • 树的概念
  • 二叉树
    • 满二叉树和完全二叉树
    • 二叉树的性质
    • 二叉树的遍历
  • 题目练习
    • 前序遍历
    • 中序遍历
    • 后序遍历

前言
已经知道了数据结构中的线性结构，那有没有非线性结构呢？
当然有就像我们文件夹，一个文件夹中有有另一个文件夹，这就是的 非线性的结构，就是本篇所讲的 二叉树

树的概念

树是一种非线性结构，是由n个节点构成的并且具有层次的，因为这就像一颗倒立的树

1.有一个特殊的节点就是根结点，这个结点是没有前驱的，也就是它是第一层
2.后面的结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
3.子树之间不可以有连续否则不是树形结构
4.一棵树中如果有N个节点，就有N-1条边

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1.结点的度：就是这个结点所含子树节点的个数，例如：这里的A有6个子结点，所以A的度为6
2.树的度：就是所有结点度中的最大值，上图中树的度为6
3.叶子结点或终端结点：就是结点的度为0的结点，上图中B C D H N O等等
4.双亲结点或⽗结点：若⼀个结点含有⼦结点，则这个结点称为其⼦结点的⽗结点，如上图：A是B的⽗结点
5.孩⼦结点或⼦结点：⼀个结点含有的⼦树的根结点称为该结点的⼦结，；如上图：B是A的⼦结点
6.根结点：⼀棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
7.结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的⼦结点为第2层，以此类推，上图中A是根结点，所以A是第一层
8.树的⾼度或深度：结点层次中的最大值，也就是该树最后一层是多少层；如上图：树的⾼度为4
9.⾮终端结点或分⽀结点：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G…等节点为分⽀结点
10.兄弟结点：具有相同⽗结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点
11.堂兄弟结点：双亲在同⼀层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
12.结点的祖先：从根到该结点所经分⽀上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
13.⼦孙：以某结点为根的⼦树中任⼀结点都称为该结点的⼦孙。如上图：所有结点都是A的⼦孙
14.森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

二叉树

树这种数据结构使用最多的是二叉树
二叉树：结点的有序集合，该集合为空，也可以是左子树和右子树组成的二叉树
二叉树根节点的度是<=2的,一个完整的二叉树就是由许多小的二叉树组成的

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满二叉树和完全二叉树

两种特殊的二叉树：满二叉树和完全二叉树
满二叉树：每层节点数都是达到最大值就是满二叉树，就是如果由k行的话，就由2^k - 1个总节点
完全二叉树：就是除了最后一层没有满，上面几层是满足满二叉树的性质，但是最哟一层要按照从左向右进行编号，就是对深度为h，结点数为n个的二叉树进行编号后，各结点的编号与深度为h的满二叉树中相同位置结点上对应的编号均相同时，则这种二叉树为完全二叉树

】

如果没有按照从上到下，从左到右进行编号，不可以直接跳过进行编号，这样就不是完全二叉树了

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二叉树的性质

1.若规定根结点的层数为1，则⼀棵⾮空⼆叉树的第i层上最多有2^(i-1)(i>0)个结点
2. 若规定只有根结点的⼆叉树的深度为1，则深度为K的⼆叉树的总结的最多是2^k - 1(k>=0)
3. 对任何⼀棵⼆叉树如果其叶结点个数为n0,度为2的⾮叶结点个数为n2,则有n0＝n2＋1
4. 具有n个结点的完全⼆叉树的深度k为上取整
5. 对于具有n个结点的完全⼆叉树，如果按照从上⾄下从左⾄右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，⽆双亲结点◦
若2i+1<n，左孩⼦序号：2i+1，否则⽆左孩⼦
若2i+2<n，右孩⼦序号：2i+2，否则⽆右孩⼦
6.完全二叉树中假设总共有N个节点，有n0个叶子节点，那二者关系呢
若N是偶数，则 n0 = N/2
若N是奇数，则 n0 = (N+1) / 2

  1.若规定根结点的层数为1，则⼀棵⾮空⼆叉树的第i层上最多有2^(i-1)(i>0)个结点2.若规定只有根结点的⼆叉树的深度为1，则深度为K的⼆叉树的总结的最多是2^k - 1(k>=0)

>

3. 对任何⼀棵⼆叉树如果其叶结点个数为n0,度为2的⾮叶结点个数为n2,则有n0＝n2＋1
4.具有n个结点的完全⼆叉树的深度k为上取整

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5. 对于具有n个结点的完全⼆叉树，如果按照从上⾄下从左⾄右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，⽆双亲结点
若2i+1<n，左孩⼦序号：2i+1，否则⽆左孩⼦ 
若2i+2<n，右孩⼦序号：2i+2，否则⽆右孩⼦

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> 6.完全二叉树中假设总共有N个节点，有n0个叶子节点，那二者关系呢
> 若N是偶数，则 n0 = N/2
> 若N是奇数，则 n0 = (N+1) / 2

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题目练习

1 某⼆叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该⼆叉树中的叶⼦结点数为（B ）
A 不存在这样的⼆叉树
B 200
C 198
D 199
性质3 叶子节点就是度为0的节点,上面已经知道一个公式就是在二叉树中 n0 = n2 + 1 = 200

2.⼀棵完全⼆叉树的节点数为531个，那么这棵树的⾼度为（B）
A 11
B 10
C 8
D 12
由性质4可知 节点总数N,高度为K , k = log(N+1) 底数为2
这里2^9 = 512 , 2的10次幂为1024，向上取整所以这里高度为10

3.在具有 2n 个结点的完全⼆叉树中，叶⼦结点个数为（ A）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
4.⼀个具有767个节点的完全⼆叉树，其叶⼦节点个数为（B）
A 383
B 384
C 385
D 386
性质6当有N个节点时候如果，N为偶数 n0 = N / 2,如果为奇数的话 n = (N+1) / 2
所以这里第二题肯定为偶数个节点，所以叶子节点为 n
第三题是奇数个节点，所以叶子节点为 768 / 2 = 384

二叉树的遍历

前序遍历：根 -> 左子树 -> 右子树
中序遍历：左子树 -> 根 -> 右子树
后序遍历：左子树 -> 右子树 -> 根
层序遍历：就是从上到下，从左向右遍历
注意在遍历的时候，每个左子树和右子树分别可以看成一个完整的树按照规则进行遍历，因此要层层瓦解进行遍历

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题目练习

1.某完全⼆叉树按层次输出（同⼀层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全⼆叉树的前序序列为(A)
A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA

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2.⼆叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则⼆叉树根结点为(A)
A: E B: F C: G D: H
这里知道先序遍历第一个遍历的是根，所以说根节点为E

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3.设⼀课⼆叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则⼆叉树前序遍历序列为(D)
A: adbce B: decab C: debac D: abcde
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4.某⼆叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同⼀层从左到右)的序列为(A)
A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF
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题目练习

前序遍历

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目的：将一棵二叉树，前序遍历放入链表中
思路：使用stack来完成，这里要进行循环，前序遍历是根，左子树，右子树这样的顺序，因此要先将root根放入链表中，在将左子树放入链表，最后是右子树，但要注意每一棵树的左子树和右子树又分别是一棵完整的树
当栈为空，或者cur == null结束循环

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//非递归方法
class Solution {public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {List<Integer> list = new ArrayList<>();Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();TreeNode cur = root;while (!stack.isEmpty() || cur != null) {//cur不为空，说明左子树没有遍历完if(cur != null){list.add(cur.val);//放入链表中stack.push(cur);cur = cur.left;//一直到左树为空}else{//开始右树cur = stack.pop();cur = cur.right;}}return list;}
}

因为左子树和右子树又可以看成一棵完整的二叉树，因此可以使用递归来写

//递归方法
class Solution {public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {List<Integer> list = new ArrayList<>();if (root == null) {return list;}return preorder(root, list);}public List<Integer> preorder(TreeNode root, List<Integer> list) {if (root == null) {return null;}//根-》左子树-》右子树list.add(root.val);preorder(root.left, list);preorder(root.right, list);return list;}
}

中序遍历

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目的：就是将一棵树中序遍历结果放入一个链表中
思路：和前序遍历思路一样，就是使用栈来操作，但是这里不同的是链表添加元素的时候，因为中序遍历是 左子树 -》根-》右子树
所以循环，如果cur != null，就一直将左节点入栈
为空的时候，说明左子树搞完了，这时候就要将这个节点添加的链表中
再开始右子树

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//非递归
class Solution {public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) {List<Integer> list = new ArrayList<>();Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();TreeNode cur = root;while(cur!=null||!stack.isEmpty()){if(cur!=null){stack.push(cur);cur = cur.left;}else{cur = stack.pop();list.add(cur.val);cur = cur.right;}}return list;}
}

当然也可以使用递归来写
这里要先递归左子树，再将节点的值放入链表中，最后递归右子树

class Solution {public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) {List<Integer> list = new ArrayList<>();if(root == null){return list;}return inorder(root,list);}public List<Integer> inorder(TreeNode root,List<Integer> list){if(root == null){return null;}inorder(root.left,list);list.add(root.val);inorder(root.right,list);return list;}
}

后序遍历

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目的：就是将二叉树后序遍历的结果放入一个链表中
思路：后序遍历：左子树-》右子树-》根
但是这里将其放入链表中与其不一样
cur：遍历整棵树
prev：记录上一个出栈元素
top：记录栈顶元素
因为这里使最后才放入根，因此再放入链表元素时候，这时候左子树已经遍历完了，当右子树为空，或者右子树已经入链表了，这时候就可以将这个根节点放入链表中了
top.right==null或者top.right == prev

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//非递归
class Solution {public List<Integer> postorderTraversal(TreeNode root) {List<Integer> list = new ArrayList<>();Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();TreeNode cur = root;TreeNode prev = null;//指向上一个出栈元素TreeNode top = null;//指向栈顶元素while(cur!=null||!stack.isEmpty()){while(cur!=null){stack.push(cur);cur = cur.left;}top = stack.peek();//入链表if(top.right == null || top.right == prev){//出栈stack.pop();list.add(top.val);prev = top;//记录出栈元素}else{cur = top.right;}}return list;}
}

//非递归
class Solution {public List<Integer> postorderTraversal(TreeNode root) {List<Integer> list = new ArrayList<>();if(root == null){return list;}return postorder(root,list);}public List<Integer> postorder(TreeNode root,List<Integer> list){if(root == null){return null;}postorder(root.left,list);postorder(root.right,list);list.add(root.val);return list;}
}

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编程日记 2025/8/2 13:14:34

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ATH12K 驱动框架 ath12k驱动框架及模块交互逻辑详解1. 总体架构2. 关键数据结构2.1 核心数据结构2.2 虚拟接口数据结构3. 硬件抽象层(HAL)4. 无线管理接口(WMI)5. 主机目标通信(HTC)6. 数据路径(DP)6.1 发送路径(TX)6.2 接收路径(RX)7. 多链路操作(MLO)8. 初始化和工作流程8.1 …...

编程日记 2025/7/30 18:35:49

CMA认证对象？CMA评审依据，CMA认证好处

CMA认证对象 CMA&#xff08;中国计量认证&#xff0c;China Metrology Accreditation&#xff09;的认证对象主要是第三方检测机构和实验室&#xff0c;包括&#xff1a; 独立检测机构&#xff1a;如环境监测站、产品质量检验所、食品药品检测机构等。 企业内部实验室&#…...

编程日记 2025/8/3 20:53:35

依赖关系-根据依赖关系求候选码

关系模式R&#xff08;U, F&#xff09;, U{}&#xff0c;F是R的函数依赖集&#xff0c;可以将属性分为4类&#xff1a; L: 仅出现在依赖集F左侧的属性 R: 仅出现在依赖集F右侧的属性 LR: 在依赖集F左右侧都出现的属性 NLR: 在依赖集F左右侧都未出现的属性 结论1: 若X是L类…...

编程日记 2025/7/30 18:35:44

解决应用程序在JAR包中运行时无法读取类路径下文件的问题

问题情景 java应用程序在IDE运行正常&#xff0c;打成jar包后执行却发生异常&#xff1a; java.io.FileNotFoundException: class path resource [cert/sync_signer_pri_test.key] cannot be resolved to absolute file path because it does not reside in the file system:…...

编程日记 2025/8/2 21:06:15

第十六届蓝桥杯B组第二题

当时在考场的时候这一道题目 无论我是使用JAVA的大数&#xff08;BIGTHGER&#xff09;还是赛后 使用PY 都是没有运行出来 今天也是突发奇想在B站上面搜一搜 看了才知道这也是需要一定的数学思维 通过转换 设X来把运算式精简化 避免运行超时 下面则是代码 public class lanba…...

编程日记 2025/8/1 18:30:50

龙虎榜——20250509

上证指数今天缩量&#xff0c;整体跌多涨少&#xff0c;走势处于日线短期的高位~ 深证指数今天缩量小级别震荡&#xff0c;大盘股表现更好~ 2025年5月9日龙虎榜行业方向分析 一、核心行业方向 军工航天 • 代表个股&#xff1a;航天南湖、天箭科技、襄阳轴承。 • 驱动逻辑…...

编程日记 2025/8/3 16:28:44

node提示node:events:495 throw er解决方法

前言 之前开发的时候喜欢使用高版本&#xff0c;追求新的东西&#xff0c;然后回头运行一下之前的项目提示如下 项目技术栈&#xff1a;node egg 报错 node:events:495 throw er; // Unhandled error event ^ Error: ENOENT: no such file or directory, scandir F:\my\gi…...

编程日记 2025/8/2 18:54:34

OrangePi Zero 3学习笔记（Android篇）4 - eudev编译（获取libudev.so)

目录 1. Ubuntu中编译 2. NDK环境配置 3. 编译 4. 安装 这部分主要是为了得到libudev&#xff08;因为原来的libudev已经不更新了&#xff09;&#xff0c;eudev的下载地址如下&#xff1a; https://github.com/gentoo/eudev 相应的代码最好是在Ubuntu中先编译通过&#…...

编程日记 2025/8/2 22:43:36

[AI ][Dify] Dify Tool 插件调试流程详解

在使用 Dify 进行插件开发时，调试是必不可少的环节。Dify 提供了远程服务调试的能力，让开发者可以快速验证插件功能和交互逻辑。本文将详细介绍如何配置环境变量进行插件调试，并成功在插件市场中加载调试状态的插件。 一、调试环境配置 在 Dify 的插件调试过程中，我们需要…...

编程日记 2025/8/2 16:25:46

learning ray之ray强化学习/超参调优和数据处理

之前我们掌握了Ray Core的基本编程&#xff0c;我们已经学会了如何使用Ray API。现在&#xff0c;让我们将这些知识应用到一个更实际的场景中——构建一个强化学习项目&#xff0c;并且利用Ray来加速它。 我们的目标是&#xff0c;通过Ray的任务和Actor&#xff0c;将一个简单…...

编程日记 2025/8/1 22:57:26

gpu硬件,gpu驱动,cuda,CUDA Toolkit,cudatoolkit,cudnn,nvcc概念解析

组件角色依赖关系GPU硬件无CUDA编程模型/平台需NVIDIA GPU和驱动CUDA Toolkit开发工具包&#xff08;含NVCC、库等&#xff09;需匹配GPU驱动和CUDA版本cuDNN深度学习加速库需CUDA ToolkitNVCCCUDA代码编译器包含在CUDA Toolkit中 GPU硬件&#xff1a; 硬件层面的图形处理器&…...

编程日记 2025/7/30 16:35:02

【C/C++】范围for循环

&#x1f4d8; C 范围 for 循环详解&#xff08;Range-based for loop&#xff09; 一、什么是范围 for 循环&#xff1f; 范围 for 循环&#xff08;Range-based for loop&#xff09; 是 C11 引入的一种简化容器/数组遍历的方式。它通过自动调用容器的 begin() 和 end() 方法…...

编程日记 2025/8/3 19:45:50

嵌入式开发学习（第二阶段 C语言基础）

C语言&#xff1a;第4天笔记 内容提要 流程控制 C语句数据的输入与输出 流程控制 C语句 定义 C程序是以函数为基础单位的。一个函数的执行部分是由若干条语句构成的。C语言都是用来完成一定操作的任务。C语句必须依赖于函数存在。 C程序结构 C语句分类 1.控制语句 作…...

编程日记 2025/8/3 10:50:07

大物重修之浅显知识点

第一章 质点运动学 例1 知识点公式如下&#xff1a; 例2 例3 例4 例5 例6 第四章 刚体的转动 例1 例2 例3 例4 例5 例6 第五章 简谐振动 例1 例2 例3 第六章 机械波 第八章 热力学基础 第九章 静电场 第十一章 恒定磁场…...

编程日记 2025/8/3 5:44:05

随笔-近况

好久没写了&#xff0c;手都生了。 我写的东西可以分为两类&#xff1a;技术和随笔。当然技术没有我自己创新的&#xff0c;都是些在解决问题过程中查询了很多资料&#xff0c;经过验证后&#xff0c;可以在项目上使用的。但是自从 deepseek 出现后&#xff0c;问题一下子简单…...

编程日记 2025/8/3 19:25:17

赤色世界 陈默传 第一章 另一个陈默

赤色世界 陈默传 第一章 另一个陈默 陈默在一片纯白的空间中缓缓睁开眼睛。没有声音&#xff0c;没有光影的变化&#xff0c;只有无尽的空白包围着他&#xff0c;仿佛整个世界被擦去了所有的色彩和形状。他站在那里&#xff0c;赤脚踩在这片空无一物的地面上&#xff0c;却能感…...

编程日记 2025/7/30 18:35:15

isp流程介绍(yuv格式阶段)

一、前言介绍 前面两章里面&#xff0c;已经分别讲解了在Raw和Rgb域里面&#xff0c;ISP的相关算法流程&#xff0c;从前面文章里面可以看到&#xff0c;在Raw和Rgb域里面&#xff0c;很多ISP算法操作&#xff0c;更像是属于sensor矫正或者说sensor标定操作。本质上来说&#x…...

编程日记 2025/8/3 9:43:01

关于大数据的基础知识（一）——定义特征结构要素

成长路上不孤单&#x1f60a;&#x1f60a;&#x1f60a;&#x1f60a;&#x1f60a;&#x1f60a; 【14后&#x1f60a;///计算机爱好者&#x1f60a;///持续分享所学&#x1f60a;///如有需要欢迎收藏转发///&#x1f60a;】 今日分享关于大数据的基础知识&#xff08;一&a…...

编程日记 2025/8/2 16:23:39