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计算几何图形算法经典问题整理

news 来源：原创 2025/8/5 20:55:26

几何算法经典问题

文章目录

  • 几何算法经典问题
    • 一、几何基础问题
      • 1. 判断两条线段是否相交
      • 2. 判断点是否在多边形内
      • 3. 凸包计算
      • 4. 判断一个有序点集的方向（顺时针 or 逆时针）
      • 5. 求多边形面积和重心
    • 二、 高阶图形问题
      • 6. 最小外接矩形（Minimum Bounding Rectangle）
      • 7. 多边形之间是否相交
      • 8. 判断圆与矩形是否相交
      • 9. 求两个矩形的交集面积
      • 10. 点到线段的最短距离
      • 11. 线段与多边形交点个数
      • 12. 多边形剪切（Polygon Clipping）
    • 三、 三维几何算法问题（3D Geometry）
      • 13. 三维向量运算与空间关系判断
      • 14. 判断两条3D线段是否相交
      • 15. 3D 点到直线/平面的最短距离
      • 16. 判断点是否在三角形/多面体内部
      • 17. 三维凸包构建
      • 18. 求两个立方体是否相交
      • 19. 三维模型的旋转、缩放与变换
    • 四、学习建议

一、几何基础问题

1. 判断两条线段是否相交

  • 考点：向量叉积，跨立实验，快速排斥
  • 推荐实现方法：
    • 使用 cross(p1, p2, q1) 和 cross(p1, p2, q2) 判断是否在同侧（跨立实验）
    • 边界处理：是否共线、点在线段上

2. 判断点是否在多边形内

  • 方法：
    • 射线法（ray casting）
    • 奇偶规则判断穿过边的次数
  • 注意：边界点、共线点的特殊处理

3. 凸包计算

  • 算法：
    • Graham 扫描法（极角排序）
    • Andrew 算法（单调链）
  • 输入：平面上一组点
  • 输出：构成凸包的顶点顺序列表

4. 判断一个有序点集的方向（顺时针 or 逆时针）

  • 方法：Shoelace 公式求有向面积
  • 正面积 → 逆时针，负面积 → 顺时针

5. 求多边形面积和重心

  • 面积：Shoelace 公式
  • 重心：每个三角形加权中心，积分法近似

二、 高阶图形问题

6. 最小外接矩形（Minimum Bounding Rectangle）

  • 算法：Rotating Calipers（旋转卡壳）
  • 输出：最小面积矩形的顶点坐标

7. 多边形之间是否相交

  • 方法：
    • 分离轴定理（SAT）
    • 任意一条边与对方多边形边相交
    • 一个多边形顶点是否落入另一个多边形

8. 判断圆与矩形是否相交

  • 技巧：求圆心到矩形边的最近距离 vs 半径

9. 求两个矩形的交集面积

  • 方法：投影后在 x、y 轴求重叠部分面积
  • 扩展：多个矩形并集面积（扫描线 + 线段树）

10. 点到线段的最短距离

  • 用处：点线距离，圆线碰撞
  • 技巧：投影判断点是否在线段投影内，若否取端点距离

11. 线段与多边形交点个数

  • 应用：路径穿越、可见性、地图遮挡判断

12. 多边形剪切（Polygon Clipping）

  • 算法：
    • Sutherland-Hodgman 算法
    • Weiler–Atherton 算法（适用于复杂多边形）

三、 三维几何算法问题（3D Geometry）

13. 三维向量运算与空间关系判断

  • 内容：点积、叉积、共线性、共面性判断
  • 应用：3D建模、物理仿真中的方向与法线计算

14. 判断两条3D线段是否相交

  • 方法：向量投影 + 判定最近点对是否在两段范围内
  • 注意：浮点精度、是否共面

15. 3D 点到直线/平面的最短距离

  • 公式：矢量投影法、法线点积法

16. 判断点是否在三角形/多面体内部

  • 方法：射线法扩展到 3D、体积法（四面体体积符号）
  • 应用：点在多面体内部判断，BSP 树构建

17. 三维凸包构建

  • 算法：Incremental/QuickHull/Chan’s algorithm
  • 难点：三维可视面维护、面连通关系处理

18. 求两个立方体是否相交

  • 方法：AABB 包围盒检测、OBB 分离轴定理（SAT）
  • 应用：3D 碰撞检测、物理引擎

19. 三维模型的旋转、缩放与变换

  • 考点：仿射变换矩阵（4x4）、欧拉角 vs 四元数
  • 实战：WebGL/OpenGL 中坐标变换链条

四、学习建议

  • 熟练掌握 2D 向量操作：叉积、点积、投影、角度
  • 熟悉浮点精度问题的处理（EPS 比较）
  • 多写边界处理（共线、端点、浮点误差）
  • 三维空间概念理解要清晰：坐标系、法向、表面朝向
  • 练习：LeetCode、NowCoder、牛客网图形类题库

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