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【递归，搜索与回溯算法篇】专题（一） - 递归

news 来源：原创 2025/8/10 1:14:55

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文章目录

      • 面试题 08.06. 汉诺塔问题
      • 21. 合并两个有序链表
      • 206. 反转链表
      • 24. 两两交换链表中的节点
      • 50. Pow(x, n)

面试题 08.06. 汉诺塔问题

题目链接： 面试题 08.06. 汉诺塔问题
题目描述：

在经典汉诺塔问题中，有 3 根柱子及 N 个不同大小的穿孔圆盘，盘子可以滑入任意一根柱子。一开始，所有盘子自上而下按升序依次套在第一根柱子上(即每一个盘子只能放在更大的盘子上面)。移动圆盘时受到以下限制:
(1) 每次只能移动一个盘子;
(2) 盘子只能从柱子顶端滑出移到下一根柱子;
(3) 盘子只能叠在比它大的盘子上。

请编写程序，用栈将所有盘子从第一根柱子移到最后一根柱子。

你需要原地修改栈。

示例 1：

输入：A = [2, 1, 0], B = [], C = []
输出：C = [2, 1, 0]

示例 2：

输入：A = [1, 0], B = [], C = []
输出：C = [1, 0]

提示：

A 中盘子的数目不大于 14 个。

题目解析：

  • 小规模问题分析

当N = 1时：直接移动

//将盘子直接从a移动到c
a -> c

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当N = 2时:先将最小的盘子从a移到b,再将大盘从a移到c,再将小盘从b移到c。

//先把小盘子从a移动到b
a -> b
//再把大盘子从a移动到c
a -> c
//最后把小盘子从b移动到c
b -> c

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当N = 3时：先将前两个盘子借助c从a移动到b,再将最大的盘子移动到c，将前两个盘子借助a从b移动到c。

//将前两个盘子从a移动到b(借助c)
a -> c
a -> b
c -> b
//将最大的盘子从a移动到c
a -> c
//将b上面的两个盘子从b移动到c(借助a)
b -> a
b -> c
a -> c

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  • 这道题为什么可以使用递归？
    解决大问题时出现了相同的子问题，在解决子问题时又出现了相同的子问题。
  • 如何编写递归代码？
    1.重复子问题 -> 函数头
    函数头：将x柱子上的一堆盘子，借助y柱子，转移到z柱子上。n代表盘子的数量
    void dfs(x , y , z , int n )
    2.只关心某一个子问题在做什么 -> 函数体
    函数体：
    将x柱子上的n-1个盘子借助z柱子放到y柱子上
    dfs(x , z , y , n-1)
    将x柱子最大的盘子放到z柱子上
    x.back() -> z
    将y柱子上的n-1个盘子借助x盘子放到z柱子上
    dfs(y , x , z , n-1)
    当剩最后一个盘子时，直接从a柱子移动到c柱子
    x.back -> z

代码实现：

class Solution {
public:void hanota(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C) {dfs(A,B,C,A.size());}void dfs(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C,int n){if(n == 1){C.push_back(A.back());A.pop_back();return;}dfs(A,C,B,n-1);C.push_back(A.back());A.pop_back();dfs(B,A,C,n-1);}
};

21. 合并两个有序链表

题目链接： 21. 合并两个有序链表
题目描述：
将两个升序链表合并为一个新的 升序 链表并返回。新链表是通过拼接给定的两个链表的所有节点组成的。

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示例 1：

输入：l1 = [1,2,4], l2 = [1,3,4]
输出：[1,1,2,3,4,4]

示例 2：

输入：l1 = [], l2 = []
输出：[]

示例 3：

输入：l1 = [], l2 = [0]
输出：[0]

提示：

  • 两个链表的节点数目范围是 [0, 50]
  • -100 <= Node.val <= 100
  • l1 和 l2 均按 非递减顺序 排列

题目解析：
这道题让我们将两个升序链表合并为一个新的升序链表，我们用递归的解法就是先找出l1和l2头节点小的那一个，让它作为新的链表的头节点。然后在剩下的两个链表中继续去找小的那个作为链表的头节点。此时就出现了相同的子问题。

  • 相同的子问题 -> 函数头的设计
    Node* dfs(Node* l1,Node* l2)
  • 某个子问题在干什么 -> 函数体的设计
    先判断两个头指针的大小，谁小谁当最后的头指针
    ①比大小
    ②让小的那个连接剩下的两个链表合并后的结果
    小->next = dfs(小->next,大)
    return 小；
  • 递归的出口
    谁为空返回另一个

代码实现：

class Solution 
{
public:ListNode* mergeTwoLists(ListNode* l1, ListNode* l2){if(l1 == nullptr) return l2;if(l2 == nullptr) return l1;if(l1 -> val <= l2 -> val){l1 -> next = mergeTwoLists(l1 -> next,l2);return l1;}else{l2 -> next = mergeTwoLists(l1,l2 -> next);return l2;}}
};

206. 反转链表

题目链接： 206. 反转链表
题目描述：

给你单链表的头节点 head ，请你反转链表，并返回反转后的链表。

示例 1：
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输入： head = [1,2,3,4,5]
输出： [5,4,3,2,1]

示例 2：
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输入： head = [1,2]
输出： [2,1]

示例 3：

输入： head = []
输出：[]

题目解析：
这道题给了我们一个单链表的头节点，让我们反转链表，然后返回反转后的链表。
第一种视角：从宏观的角度来看待这个问题
将head的next的next指向head，将head的next置为空。
如此我们会发现这将会导致结点丢失
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比如上述操作会使得3这个结点丢失。
我们用递归的方法来解决这道问题
1.我们先让当前结点后面的链表先逆置，并且把头节点返回。
2.把当前结点添加到逆置后的结点的后面即可。
第二种视角：将链表看成一棵树
链表其实是一种特殊的树形结构，仅需对链表做一次深度优先遍历即可。
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我们定义一个newhead对链表做一次深度优先遍历，当newhead的next为空时说明此结点就是将来要返回的头节点

  • 重复子问题 -> 函数头的设计
    传入一个头节点，从后向前反转链表
  • 子问题在干什么 -> 函数体的设计
    将此结点的next的next指向此节点，此节点的next置为空
  • 返回值
    返回next为空的结点

代码实现：

class Solution {
public:ListNode* newhead; //定义一个newhead记录要返回的新的头节点ListNode* reverseList(ListNode* head) {if(head == nullptr || head -> next == nullptr) return head;auto newhead = reverseList(head -> next);head -> next -> next = head;head -> next = nullptr;return newhead;}
};

24. 两两交换链表中的节点

题目链接： 24. 两两交换链表中的节点
题目描述：
给你一个链表，两两交换其中相邻的节点，并返回交换后链表的头节点。你必须在不修改节点内部的值的情况下完成本题（即，只能进行节点交换）。

示例 1：
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输入： head = [1,2,3,4]
输出： [2,1,4,3]

示例 2：

输入： head = []
输出： []

示例 3：

输入： head = [1]
输出： [1]

题目解析：
这道题目让我们两两交换相邻的节点，并返回交换后链表的头节点，前提是在不修改节点中的值的情况下，即只能进行节点交换。这道题我们可以用递归的思路来求解。首先定义一个ret来用来接收交换后链表的头节点。然后把相邻节点进行两两交换。

代码实现：

class Solution {
public:ListNode* swapPairs(ListNode* head) {if(head == nullptr || head->next == nullptr) return head;//如果链表为空或者链表的下一个节点为空，直接返回头节点ListNode* r = swapPairs(head->next->next);ListNode* ret = head->next;head->next->next = head;head->next = r;return ret;}
};

50. Pow(x, n)

题目链接： 50. Pow(x, n)
题目描述：

实现 pow(x, n) ，即计算 x 的整数 n 次幂函数（即，x的n次方）。

示例 1：

输入： x = 2.00000, n = 10
输出： 1024.00000

示例 2：

输入： x = 2.10000, n = 3
输出： 9.26100

示例 3：

输入： x = 2.00000, n = -2
输出： 0.25000
解释： 2-2 = 1/22 = 1/4 = 0.25

题目解析：
这道题让我们计算x的n次方。
解法一： 暴力解法
我们可以用一个循环进行暴力求解，但是对这道题而言暴力求解会超出时间限制。
解法二： 快速幂
实现快速幂的方法有两种，第一种是递归，第二种是循环。本题我们就来用递归的方式实现快速幂。
例如：我们要求3的16次方，我们可以先求出3的8次方，要求3的8次方，我们可以先求出3的4次方，要求3的4次方，我们可以先求出3的平方。
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当n为奇数时，我们可以先求出x的二分之n次方，最后再乘上x。
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  • 相同的的子问题 -> 函数头的设计
    给一个数和一个指数，求出x的n次幂是多少
    int Pow( x , n )
  • 只关心某一层在干什么 -> 函数体的设计
    给一个数和一个指数，求出x的n/2次幂是多少
    tmp = Pow( x , n / 2 )
  • 返回值
    分类讨论
    如果n为偶数，返回tmp*tmp
    如果n为奇数，返回tmp*tmp*x

代码实现：

class Solution
{
public:double myPow(double x, int n) {return n < 0 ? 1.0 / pow(x, -(long long)n) : pow(x,n); }double pow(double x, long long n){if(n == 0) return 1.0;double tmp = pow(x ,n / 2);return n % 2 == 0 ? tmp * tmp : tmp * tmp * x;}
};

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编程日记 2025/8/5 16:26:25

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——从芯片暴力美学到分布式智能体网络&#xff0c;解析英伟达如何定义AI基础设施新范式 开篇&#xff1a;当算力成为“新石油”&#xff0c;英伟达的“炼油厂”如何升级&#xff1f; 2025年3月&#xff0c;英伟达GTC大会上&#xff0c;黄仁勋身披标志性皮衣&#xff0c;宣布了…...

编程日记 2025/8/4 3:33:24

用 Rust 搭建一个优雅的多线程服务器：从零开始的详细指南

嘿&#xff0c;小伙伴们&#xff01;今天咱们来聊聊怎么用 Rust 搭建一个牛气哄哄的多线程服务器&#xff0c;还能在需要的时候优雅地关机。为啥要用 Rust 呢&#xff1f;因为 Rust 是个超级靠谱的语言&#xff0c;它能保证内存安全&#xff0c;写并发代码的时候不用担心那些让…...

编程日记 2025/8/4 3:33:22

今日行情明日机会——20250509

上证指数今天缩量&#xff0c;整体跌多涨少&#xff0c;走势处于日线短期的高位~ 深证指数今天缩量小级别震荡&#xff0c;大盘股表现更好~ 2025年5月9日涨停股主要行业方向分析 一、核心主线方向 服装家纺&#xff08;消费复苏出口链驱动&#xff09; • 涨停家数&#xf…...

编程日记 2025/8/4 3:33:20

ESP32开发入门(七)：HTTP开发实践

一、HTTP协议基础 1.1 什么是HTTP&#xff1f; HTTP&#xff08;HyperText Transfer Protocol&#xff0c;超文本传输协议&#xff09;是互联网上应用最为广泛的一种网络协议&#xff0c;用于从服务器传输超文本到本地浏览器。它是一种无状态的请求/响应协议&#xff0c;工作…...

编程日记 2025/8/4 3:33:18

【强化学习】强化学习算法 - 马尔可夫决策过程

马尔可夫决策过程 (Markov Decision Process, MDP) 1. MDP 原理介绍 马尔可夫决策过程 (MDP) 是强化学习 (Reinforcement Learning, RL) 中用于对序贯决策 (Sequential Decision Making) 问题进行数学建模的标准框架。它描述了一个智能体 (Agent) 与环境 (Environment) 交互的…...

编程日记 2025/8/7 21:50:10

数据结构【二叉搜索树（BST)】

二叉搜索树 1. 二叉搜索树的概念2. 二叉搜索树的性能分析3.二叉搜索树的插入4. 二叉搜索树的查找5. 二叉搜索树的删除6.二叉搜索树的实现代码7. 二叉搜索树key和key/value使用场景7.1 key搜索场景&#xff1a;7.2 key/value搜索场景&#xff1a; 1. 二叉搜索树的概念 二叉搜索…...

编程日记 2025/8/4 3:33:13

振动临近失效状态，怎么频谱会是梳子？

这是一个破坏性试验的终末期振动波形。左边时域&#xff0c;右边频域。这是咋回事&#xff0c;时域看起来原本很正常的冲击信号&#xff0c;怎么频域是那个鬼样子。 同一组波形&#xff0c;放大后的频域 - 低频部分&#xff1a; 一个解释&#xff1a;...

编程日记 2025/8/4 3:33:11

橡胶制品行业质检管理的痛点 质检LIMS如何重构橡胶制品质检价值链

橡胶制品广泛应用于汽车、医疗、航空等领域&#xff0c;其性能稳定性直接关联终端产品的安全性。从轮胎耐磨性测试到密封件耐腐蚀性验证&#xff0c;每一项检测数据都是企业参与市场竞争的核心筹码。然而&#xff0c;传统实验室管理模式普遍面临设备调度混乱、检测流程追溯断层…...

编程日记 2025/8/6 19:31:35

【CTFSHOW_Web入门】命令执行

文章目录 命令执行web29web30web31web32web33web34web35web36web37web38web39web40web41web42web43web44web45web46web47web48web49web50web51web52web53web54web55web56web57web58web59web60web61web62web63web64web65web66web67web68web69web70web71web72web73web74web75web7…...

编程日记 2025/8/4 3:33:06

三维底座+智能应用，重构城市治理未来

在“数字中国”战略的引领下&#xff0c;住房和城乡建设领域正迎来一场深刻的数字化转型浪潮。2024年《“数字住建”建设整体布局规划》的发布&#xff0c;明确提出以“CIM”&#xff08;城市信息模型&#xff09;为核心&#xff0c;构建城市三维数字底座&#xff0c;推动住建行…...

编程日记 2025/8/4 3:33:03

养生：塑造健康生活的良方

养生是一场贯穿生活的自我关爱行动&#xff0c;从饮食、运动、睡眠到心态调节&#xff0c;每一个环节都对健康有着深远影响。以下为你带来全面且实用的养生策略。 饮食养生&#xff1a;科学搭配&#xff0c;呵护肠胃 合理规划三餐&#xff0c;遵循 “早营养、午均衡、晚清淡”…...

编程日记 2025/8/4 3:33:01

docker 镜像的导出和导入（导出完整镜像和导出容器快照）

一、导出原始镜像 1. 使用 docker save 导出完整镜像 适用场景&#xff1a;保留镜像的所有层、元数据、标签和历史记录&#xff0c;适合迁移或备份完整镜像环境。 操作命令 docker save -o <导出文件名.tar> <镜像名:标签>示例&#xff1a;docker save -o milvu…...

编程日记 2025/8/4 3:32:59