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基于Transformer的多资产收益预测模型实战（附PyTorch实现与避坑指南）

news 来源：原创 2025/8/13 20:36:29

基于Transformer的多资产收益预测模型实战（附PyTorch模型训练及可视化完整代码）

一、项目背景与目标

在量化投资领域，利用时间序列数据预测资产收益是核心任务之一。传统方法如LSTM难以捕捉资产间的复杂依赖关系，而Transformer架构通过自注意力机制能有效建模多资产间的联动效应。
本文将从零开始构建一个基于PyTorch的多资产收益预测模型，涵盖数据生成、特征工程、模型设计、训练及可视化全流程，适合深度学习与量化投资的初学者入门。

二、核心技术栈

数据处理：Pandas/Numpy（数据生成与预处理）
深度学习框架：PyTorch（模型构建与训练）
可视化：Matplotlib（结果分析）
核心算法：Transformer（自注意力机制）

三、数据生成与预处理

1. 模拟金融数据生成

我们通过以下步骤生成包含5只资产的时间序列数据：

市场基准因子：模拟市场整体趋势（几何布朗运动）
行业因子：引入周期性波动区分不同行业（如科技、消费、能源）
特质因子：每只资产的独立噪声

def generate_market_data(days=2000, n_assets=5):  np.random.seed(42)  market = np.cumprod(1 + np.random.normal(0.0003, 0.015, days))  # 市场基准  assets = []  sector_map = {0: "Tech", 1: "Tech", 2: "Consume", 3: "Consume", 4: "Energy"}  for i in range(n_assets):  sector_factor = 0.3 * np.sin(i * 0.8 + np.linspace(0, 10 * np.pi, days))  # 行业周期因子  idiosyncratic = np.cumprod(1 + np.random.normal(0.0002, 0.02, days))  # 特质因子  price = market * (1 + sector_factor) * idiosyncratic  # 价格合成  assets.append(price)  dates = pd.date_range("2015-01-01", periods=days)  return pd.DataFrame(np.array(assets).T, index=dates, columns=[f"Asset_{i}" for i in range(n_assets)])

2. 数据形状说明

生成的DataFrame形状为[2000天, 5资产]，索引为时间戳，列名为Asset_0到Asset_4。

四、特征工程：从价格到可训练数据

1. 基础时间序列特征

为每只资产计算以下特征：

收益率（Return）：相邻日价格变化率
波动率（Volatility）：20日滚动标准差年化
移动平均（MA10）：10日价格移动平均
行业相对强弱（Sector_RS）：资产价格与所属行业平均价格的比值

def create_features(data, lookback=60):  n_assets = data.shape[1]  sector_map = {0: "Tech", 1: "Tech", 2: "Consume", 3: "Consume", 4: "Energy"}  features = []  for i, asset in enumerate(data.columns):  df = pd.DataFrame()  df["Return"] = data[asset].pct_change()  df["Volatility"] = df["Return"].rolling(20).std() * np.sqrt(252)  # 年化波动率  df["MA10"] = data[asset].rolling(10).mean()  # 计算行业相对强弱  sector = sector_map[i]  sector_cols = [col for col in data.columns if sector_map[int(col.split("_")[1])] == sector]  df["Sector_RS"] = data[asset] / data[sector_cols].mean(axis=1)  features.append(df.dropna())  # 去除NaN  # 对齐时间索引  common_idx = features[0].index  for df in features[1:]:  common_idx = common_idx.intersection(df.index)  features = [df.loc[common_idx] for df in features]  # 构建3D特征张量 [样本数, 时间步, 资产数, 特征数]  X = np.stack([np.stack([feat.iloc[i-lookback:i] for i in range(lookback, len(feat))], axis=0) for feat in features], axis=2)  # 标签：未来5日平均收益率  y = np.array([data.loc[common_idx].iloc[i:i+5].pct_change().mean().values for i in range(lookback, len(common_idx))])  return X, y

2. 输入输出形状

特征张量X形状：[样本数, 时间步(60), 资产数(5), 特征数(4)]
标签y形状：[样本数, 资产数(5)]（每个样本对应5只资产的未来5日平均收益率）

五、Transformer模型构建：核心架构解析

1. 模型设计目标

处理多资产时间序列：同时输入5只资产的历史数据
捕捉时间依赖与资产间依赖：通过位置编码和自注意力机制
输出多资产收益预测：回归问题，使用MSE损失

2. 关键组件解析

（1）资产嵌入层（Asset Embedding）

将每个资产的4维特征映射到64维隐空间：

self.asset_embed = nn.Linear(n_features=4, d_model=64)

输入形状：(batch, seq_len, assets, features) → 输出：(batch, seq_len, assets, d_model)

（2）位置编码（Positional Embedding）

由于Transformer无内置时序信息，需手动添加位置编码：

self.time_pos = nn.Parameter(torch.randn(1, lookback=60, 1, d_model=64))  # 时间位置编码  
self.asset_pos = nn.Parameter(torch.randn(1, 1, n_assets=5, d_model=64))  # 资产位置编码

通过广播机制与资产嵌入相加，分别捕获时间和资产维度的位置信息。

（3）自定义Transformer编码器层（Custom Transformer Encoder Layer）

继承PyTorch原生层，返回注意力权重以可视化：

class CustomTransformerEncoderLayer(nn.TransformerEncoderLayer):  def __init__(self, d_model, nhead, dim_feedforward=256, dropout=0.1):  super().__init__(d_model, nhead, dim_feedforward, dropout, batch_first=True)  # 显式启用batch_first  def forward(self, src, src_mask=None, src_key_padding_mask=None):  src2, attn_weights = self.self_attn(src, src, src, need_weights=True)  # 获取注意力权重  src = src + self.dropout1(src2)  src = self.norm1(src)  src2 = self.linear2(self.dropout(self.activation(self.linear1(src))))  src = src + self.dropout2(src2)  src = self.norm2(src)  return src, attn_weights

（4）维度调整核心逻辑

在进入Encoder前，将张量形状从(batch, seq, assets, d_model)调整为(batch, seq*assets, d_model)，以便Encoder处理：

x = x + self.time_pos + self.asset_pos  # 叠加位置编码  
x = x.permute(0, 1, 3, 2)  # 调整维度为 [batch, seq, d_model, assets]  
x = x.reshape(batch_size, seq_len * n_assets, d_model)  # 合并资产与序列维度  
x, attn_weights = self.encoder(x)  # Encoder输出形状：(batch, seq*assets, d_model)  
x = x.reshape(batch_size, seq_len, n_assets, d_model)  # 恢复维度

（5）解码器（Decoder）

提取最后时间步特征，拼接后映射到5维收益空间：

self.decoder = nn.Linear(d_model * n_assets, n_assets)  # 输入320维，输出5维

六、模型训练：从数据加载到优化

1. 数据加载器

使用PyTorch的DataLoader处理批量数据：

train_dataset = TensorDataset(torch.FloatTensor(X_train), torch.FloatTensor(y_train))  
train_loader = DataLoader(train_dataset, batch_size=64, shuffle=True)

2. 训练配置

损失函数：均方误差（MSE）
优化器：Adam（学习率1e-4）
训练循环：50个epoch，记录训练/验证损失

model = AssetTransformer(n_features=4, n_assets=5, lookback=60)  
criterion = nn.MSELoss()  
optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=0.0001)

七、可视化与结果分析

1. 自注意力矩阵热力图（Cross-Asset Attention Matrix）

提取第一层编码器的注意力权重，展示资产间的依赖关系（以最后时间步为例）：

def plot_attention(attention_weights, asset_names):  num_assets = len(asset_names)  # 取第一个样本、第一个注意力头的权重，形状为 [batch, heads, query, key]  attn_matrix = attention_weights[0][0].detach().numpy()  # 假设batch=1  attn_matrix = attn_matrix.reshape(num_assets, num_assets)  # 恢复资产间注意力矩阵  plt.imshow(attn_matrix, cmap="viridis", aspect="auto")  plt.colorbar()  plt.title("Cross-Asset Attention Matrix (First Layer)")  plt.xlabel("Key Assets")  plt.ylabel("Query Assets")  plt.xticks(range(num_assets), asset_names)  plt.yticks(range(num_assets), asset_names)  plt.tight_layout()  plt.show()

在这里插入图片描述

核心作用：可视化Transformer编码器中资产间的依赖关系，揭示模型如何通过自注意力机制捕捉不同资产的联动效应。

（1）数据提取逻辑

注意力权重形状：通过自定义编码器层获取的注意力权重形状为 [batch_size, n_heads, query_length, key_length]，其中 query_length 和 key_length 均为 时间步×资产数（本例中为 60×5=300）。
关键筛选：聚焦最后一个时间步（当前预测时刻）的资产间注意力，提取最后 n_assets 个查询和键的权重，重塑为 [资产数, 资产数] 矩阵（本例中为 5×5），消除时间维度的干扰。

（2）图形元素解析

横轴/纵轴：均为资产名称（Asset_0 到 Asset_4），横轴表示“键资产”（Key），纵轴表示“查询资产”（Query）。例如，纵轴Asset_0对应横轴Asset_1的单元格值，表示“资产0在计算时对资产1的关注度”。
颜色映射：使用viridis色卡，深色（如紫色/蓝色）代表高注意力权重（接近1），浅色（如黄色/白色）代表低权重（接近0）。
行业分组验证：
- 同一行业资产（如Tech行业的Asset_0和Asset_1）的交叉区域颜色应更深，表明模型关注行业内协同效应。
- 跨行业资产（如Tech与Energy）的权重可能较低，颜色较浅，符合数据生成时的行业因子设计（行业间波动相关性较低）。

（3）金融意义

资产联动捕捉：高权重表示模型认为这两项资产的历史特征对预测当前收益更重要，可能用于构建资产组合时的相关性分析。
注意力异常排查：若某资产对自身的注意力权重显著高于其他资产（对角线元素突出），可能意味着模型过度依赖单一资产，存在过拟合风险。

2. 预测结果散点图（Predicted vs Actual Returns）

散点图对比实际收益与预测收益，理想情况下点分布在y=x直线附近：

plt.figure(figsize=(12, 6))  
for i in range(5):  plt.scatter(y_test[:, i], pred_test[:, i], alpha=0.5, label=f"Asset_{i}")  
plt.plot([-0.1, 0.1], [-0.1, 0.1], "k--", label="Perfect Prediction")  
plt.title("Predicted vs Actual 5-Day Returns")  
plt.xlabel("Actual Returns")  
plt.ylabel("Predicted Returns")  
plt.legend()  
plt.grid(alpha=0.3)  
plt.show()

在这里插入图片描述

核心作用：评估模型对每只资产未来5日平均收益率的预测精度，直观展示预测值与实际值的偏离程度。

（1）图形结构

横轴（X轴）：实际收益率（Actual 5-Day Returns），范围约 [-0.1, 0.1]（覆盖多数金融资产的短期波动区间）。
纵轴（Y轴）：预测收益率（Predicted Returns），与横轴范围一致，便于对比。
散点分布：
- 每个资产（5只）用不同颜色区分（如Asset_0为蓝色，Asset_1为橙色），标签清晰标注。
- 理想情况下，散点应紧密分布在黑色虚线 y=x 附近，表明预测值与实际值接近；散点越偏离虚线，预测误差越大。

（2）量化指标辅助解读

MSE损失：训练日志中显示的Test Loss（如0.0006）对应散点的整体离散程度，值越小，散点越集中。
资产差异：若某资产（如Asset_4）的散点明显偏离对角线，可能是该资产的特质因子噪声较大，或模型对其行业特征的捕捉不足。

（3）实战意义

预测可靠性判断：若多数散点位于对角线附近，且各资产分布均匀，说明模型泛化能力较强，可用于实际收益预测；反之，需优化特征工程或调整模型结构。

3. 策略回测累计收益曲线（Long-Short Portfolio Performance）

通过预测结果构建多空策略（买入前20%预测收益资产，卖空后20%），对比策略与市场收益：

def backtest_strategy(pred_returns, data, lookback=60):  long_thresh = np.quantile(pred_returns, 0.8, axis=1)[:, None]  short_thresh = np.quantile(pred_returns, 0.2, axis=1)[:, None]  long_mask = pred_returns >= long_thresh  short_mask = pred_returns <= short_thresh  # 标准化仓位（多头/空头资产等权分配）  position = (long_mask / long_mask.sum(axis=1)[:, None]) - (short_mask / short_mask.sum(axis=1)[:, None])  # 计算收益  returns = data.pct_change().iloc[lookback+1:lookback+1+len(position)]  strategy_ret = (position[:-1] * returns.iloc[1:]).sum(axis=1)  market_ret = returns.mean(axis=1)  return strategy_ret.cumsum(), market_ret.cumsum()

在这里插入图片描述
核心作用：验证基于预测结果的多空策略能否获取超额收益，对比策略表现与市场基准。

（1）策略构建逻辑

多空筛选：
- 多头：预测收益前20%的资产（高于80%分位数），等权买入。
- 空头：预测收益后20%的资产（低于20%分位数），等权卖空。
仓位管理：多头和空头仓位分别标准化（权重和为1），确保风险中性。

（2）曲线元素解析

蓝色曲线（Transformer Strategy）：
- 若曲线向上倾斜且斜率大于市场曲线，表明策略有效，能通过多空操作获取超额收益。
- 若曲线波动较大，可能受限于模拟数据的高噪声，或需增加风险控制（如止损）。
黄色曲线（Market Index）：
- 市场平均收益（所有资产等权平均），作为基准线。若策略曲线长期位于其上方，说明模型具备实际应用价值。

（3）金融指标延伸

夏普比率：可进一步计算策略的风险调整后收益（假设无风险利率为0），公式为 (策略年化收益) / (策略收益标准差)，值越高表明风险收益比越好。
最大回撤：曲线中的回调幅度，反映策略的抗风险能力，与累计收益结合评估策略稳定性。

4. 可视化总结表

图形类型	核心价值	理想结果特征	常见异常信号
注意力热力图	资产间依赖关系建模验证	同行业资产权重高，跨行业权重低	对角线权重异常高（过拟合）
预测散点图	模型预测精度评估	散点紧密分布于y=x附近，MSE低	某资产散点显著偏离（特征不足）
回测收益曲线	策略有效性验证	策略曲线持续跑赢市场，夏普比率>1	曲线长期低于市场（模型失效）

通过这三类图形，可从模型机理（注意力）、预测能力（散点）、实战价值（回测）三个维度全面评估Transformer在多资产收益预测中的表现，为后续优化提供明确方向。

八、常见错误与解决方案

1. Transformer输入维度不匹配

错误信息：TypeError: CustomTransformerEncoderLayer.forward() got an unexpected keyword argument 'is_causal'
原因：未正确处理PyTorch Transformer的隐含参数。
解决：在自定义编码器层的forward方法中添加is_causal=False默认参数，兼容框架逻辑。

2. 注意力权重形状错误

错误信息：ValueError: cannot reshape array of size 300 into shape (5,5)
原因：未正确提取最后时间步的注意力权重，误将全序列权重直接重塑。
解决：先筛选最后时间步的查询/键资产权重，再重塑为[资产数, 资产数]矩阵：

# 正确提取最后时间步（假设序列长度60，资产数5）  
last_step_attn = attn_matrix[-5:, -5:]  # 取最后5个查询（资产）对最后5个键（资产）的权重

3. 位置编码广播失败

错误信息：RuntimeError: The size of tensor a (60) must match the size of tensor b (1) at non-singleton dimension 1
解决：确保位置编码维度包含资产轴（如[1, lookback, 1, d_model]），通过广播自动适配资产数。

九、项目总结与扩展方向

1. 项目亮点

多维度建模：同时捕捉时间序列依赖（位置编码）和资产间依赖（自注意力）。
完整量化流程：从数据生成到策略回测，复现真实量化研究闭环。
维度调整详解：通过view()/reshape()处理复杂张量变换，解决PyTorch常见形状问题。

2. 改进方向

数据增强：添加滑动窗口、噪声注入等技术提升模型鲁棒性。
混合架构：结合CNN提取局部特征，或LSTM捕捉长期趋势。
真实场景适配：接入股票/期货高频数据，优化数据预处理流程（如复权处理）。

十、给初学者的建议

分步调试：先用小数据集（如days=100, n_assets=2）验证代码逻辑，再扩展规模。
维度打印：在模型各关键节点添加print(x.shape)，确保输入输出形状符合预期。
官方文档优先：PyTorch Transformer文档是理解注意力机制的最佳材料，重点关注batch_first参数和输入维度要求。

通过本项目，读者可掌握多变量时间序列建模的核心思路，理解Transformer在序列建模中的优势，为后续量化模型开发打下坚实基础。

完整代码

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import torch
import torch.nn as nn
from torch.utils.data import DataLoader, TensorDataset
import osos.environ["KMP_DUPLICATE_LIB_OK"] = "TRUE"# ==================== 数据生成与预处理 ====================
def generate_market_data(days=2000, n_assets=5):np.random.seed(42)market = np.cumprod(1 + np.random.normal(0.0003, 0.015, days))assets = []for i in range(n_assets):sector_factor = 0.3 * np.sin(i * 0.8 + np.linspace(0, 10 * np.pi, days))idiosyncratic = np.cumprod(1 + np.random.normal(0.0002, 0.02, days))price = market * (1 + sector_factor) * idiosyncraticassets.append(price)dates = pd.date_range("2015-01-01", periods=days)return pd.DataFrame(np.array(assets).T, index=dates, columns=[f"Asset_{i}" for i in range(n_assets)])data = generate_market_data()# ==================== 特征工程 ====================
def create_features(data, lookback=60):n_assets = data.shape[1]features = []sector_map = {0: "Tech", 1: "Tech", 2: "Consume", 3: "Consume", 4: "Energy"}for i, asset in enumerate(data.columns):df = pd.DataFrame()df["Return"] = data[asset].pct_change()df["Volatility"] = df["Return"].rolling(20).std() * np.sqrt(252)df["MA10"] = data[asset].rolling(10).mean()sector = sector_map[i]sector_cols = [col for col in data.columns if sector_map[int(col.split("_")[1])] == sector]df["Sector_RS"] = data[asset] / data[sector_cols].mean(axis=1)features.append(df.dropna())common_idx = features[0].indexfor df in features[1:]:common_idx = common_idx.intersection(df.index)features = [df.loc[common_idx] for df in features]X = np.stack([np.stack([feat.iloc[i - lookback : i] for i in range(lookback, len(feat))],axis=0,)for feat in features],axis=2,)y = np.array([data.loc[common_idx].iloc[i : i + 5].pct_change().mean().valuesfor i in range(lookback, len(common_idx))])valid_indices = ~np.isnan(y).any(axis=1) & ~np.isinf(y).any(axis=1)return X[valid_indices], y[valid_indices]X, y = create_features(data)
print(f"数据形状: X={X.shape}, y={y.shape}")# ==================== 模型定义 ====================
class CustomTransformerEncoderLayer(nn.TransformerEncoderLayer):"""自定义编码器层以返回注意力权重"""def __init__(self, d_model, nhead, dim_feedforward=256, dropout=0.1, activation="relu"):super().__init__(d_model=d_model,nhead=nhead,dim_feedforward=dim_feedforward,dropout=dropout,activation=activation,batch_first=True,)self.norm1 = nn.LayerNorm(d_model)self.norm2 = nn.LayerNorm(d_model)def forward(self, src, src_mask=None, src_key_padding_mask=None):src2, attn_weights = self.self_attn(src,src,src,attn_mask=src_mask,key_padding_mask=src_key_padding_mask,need_weights=True,)src = src + self.dropout1(src2)src = self.norm1(src)src2 = self.linear2(self.dropout(self.activation(self.linear1(src))))src = src + self.dropout2(src2)src = self.norm2(src)return src, attn_weightsclass AssetTransformer(nn.Module):def __init__(self, n_features, n_assets, lookback, d_model=64, nhead=4):super().__init__()self.asset_embed = nn.Linear(n_features, d_model)self.time_pos = nn.Parameter(torch.randn(1, lookback, 1, d_model))self.asset_pos = nn.Parameter(torch.randn(1, 1, n_assets, d_model))self.final_norm = nn.LayerNorm(d_model)encoder_layer = CustomTransformerEncoderLayer(d_model=d_model, nhead=nhead, dim_feedforward=256)self.encoder = nn.TransformerEncoder(encoder_layer, num_layers=3, norm=nn.LayerNorm(d_model))self.decoder = nn.Linear(d_model * n_assets, n_assets)self.attention_weights = Nonedef forward(self, x):batch_size = x.size(0)seq_len = x.size(1)n_assets = x.size(2)x = self.asset_embed(x)x = x + self.time_pos + self.asset_posx = x.view(batch_size, seq_len * n_assets, -1)attn_weights_list = []for layer in self.encoder.layers:x, attn_weights = layer(x)attn_weights_list.append(attn_weights)self.attention_weights = attn_weights_listx = x.view(batch_size, n_assets, seq_len, -1)x = x[:, :, -1, :]x = x.reshape(batch_size, -1)return self.decoder(x)# ==================== 模型训练 ====================
def train_model(X, y, lookback=60, n_epochs=50):split = int(0.8 * len(X))X_train, X_test = X[:split], X[split:]y_train, y_test = y[:split], y[split:]train_dataset = TensorDataset(torch.FloatTensor(X_train), torch.FloatTensor(y_train))train_loader = DataLoader(train_dataset, batch_size=64, shuffle=True)model = AssetTransformer(n_features=4, n_assets=5, lookback=lookback)criterion = nn.MSELoss()optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=0.0001)for epoch in range(n_epochs):model.train()total_loss = 0for batch_x, batch_y in train_loader:optimizer.zero_grad()outputs = model(batch_x)loss = criterion(outputs, batch_y)loss.backward()optimizer.step()total_loss += loss.item()model.eval()with torch.no_grad():test_pred = model(torch.FloatTensor(X_test))test_loss = criterion(test_pred, torch.FloatTensor(y_test))print(f"Epoch {epoch + 1}/{n_epochs} | "f"Train Loss: {total_loss / len(train_loader):.4f} | "f"Test Loss: {test_loss:.4f}")return model, y_test, test_pred.detach().numpy()model, y_test, pred_test = train_model(X, y)# ==================== 可视化部分 ====================
def plot_attention(attention_weights, asset_names):plt.figure(figsize=(12, 8))# 取第一个样本、第一个注意力头的注意力权重num_assets = len(asset_names)num_seq = 60  # 假设序列长度为 60layer_weights = attention_weights[0][0, :, : num_assets * num_seq].detach().numpy()layer_weights = layer_weights.reshape(num_assets * num_seq, num_assets * num_seq)# 取每个资产最后一个时间步的注意力权重last_step_weights = layer_weights[-num_assets:, -num_assets:]plt.imshow(last_step_weights, cmap="viridis", aspect="auto")plt.colorbar()plt.title("Cross-Asset Attention Matrix (First Layer)")plt.xlabel("Key Assets")plt.ylabel("Query Assets")plt.xticks(range(num_assets), asset_names)plt.yticks(range(num_assets), asset_names)plt.tight_layout()plt.show()if model.attention_weights:asset_names = data.columns.tolist()plot_attention(model.attention_weights, asset_names)
else:print("未能捕获注意力权重")# 预测结果散点图
plt.figure(figsize=(12, 6))
for i in range(5):plt.scatter(y_test[:, i], pred_test[:, i], alpha=0.5, label=f"Asset_{i}")
plt.plot([-0.1, 0.1], [-0.1, 0.1], "k--")
plt.title("Predicted vs Actual Returns")
plt.xlabel("Actual 5-Day Returns")
plt.ylabel("Predicted Returns")
plt.legend()
plt.grid(alpha=0.3)
plt.show()# ==================== 策略回测 ====================
def backtest_strategy(pred_returns, data, lookback=60):long_thresh = np.quantile(pred_returns, 0.8, axis=1)short_thresh = np.quantile(pred_returns, 0.2, axis=1)long_mask = pred_returns >= long_thresh[:, None]short_mask = pred_returns <= short_thresh[:, None]position = long_mask.astype(float) / long_mask.sum(axis=1)[:, None]position -= short_mask.astype(float) / short_mask.sum(axis=1)[:, None]returns = data.pct_change().iloc[lookback + 1 : lookback + 1 + len(position)]strategy_ret = (position[:-1] * returns.iloc[1:]).sum(axis=1)market_ret = returns.mean(axis=1)return strategy_ret.cumsum(), market_ret.cumsum()strategy_cum, market_cum = backtest_strategy(pred_test, data)plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(strategy_cum, label="Transformer Strategy")
plt.plot(market_cum, label="Market Index", alpha=0.7)
plt.title("Long-Short Portfolio Performance")
plt.xlabel("Trading Days")
plt.ylabel("Cumulative Returns")
plt.legend()
plt.grid(alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.show()