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《信息论与编码课程笔记》——信源编码（1）

news 来源：原创 2025/8/13 15:58:44

一、信源编码基本概念

1. 定义与目的

2. 编码示例

3. 编码分类

4. 唯一可译码的判断标准

5. 编码评价指标

二、香农第一定理（无失真可变长信源编码定理）

1. 核心内容

2. 关键概念与指标

3. 数据压缩的本质

4. 例子与启示

5. 定理的意义

一、信源编码基本概念

信源编码的核心：通过去除冗余（相关性或非均匀分布）提高传输效率。

1. 定义与目的

定义：将信源输出的符号（如文字、数字、图像等）转换为适合信道传输的信号（如二进制码、电脉冲等）。
目的：
1. 能够传输：匹配信源与信道的特性，确保接收端能正确译码。
2. 有效传输：减少冗余信息，提高传输效率（用更少的码元表示信源符号）。

2. 编码示例

Morse码：用“点（·）”和“划（—）”的组合表示字母（如A=·—，B=—···）。
汉字电码：每个汉字用4位阿拉伯数字编码（如“中”=0022）。
ASCII码：用7位或8位二进制数表示字符（如A=01000001）。

3. 编码分类

分类依据	类型	说明
编码范围	基本源编码	对单个符号编码（如字母A→01）。
	扩展源编码	对符号序列编码（如单词“ABC”→001011）。
信息是否损失	无失真编码	完全保留信息（如Huffman码），满足I(X;Y)=H(X)。
	有失真编码	允许部分信息损失（如JPEG压缩），满足I(X;Y)<H(X)。
译码唯一性	唯一可译码	任意码字序列只能唯一译码（如前缀码）。
	非唯一可译码	存在歧义（如编码{0, 01}，序列“01”可译作“01”或“0”+“1”）。
码长是否固定	定长编码	所有码字长度相同（如ASCII码）。
	变长编码	码长可变（如Huffman码，高频符号用短码）。

4. 唯一可译码的判断标准

等长码：若为非奇异码（所有码字互不相同），则唯一可译。
变长码：若为前缀码（无码字是其他码字的前缀），则唯一可译。
- 不是前缀码也可能唯一可译：{0, 01} 不是前缀码（“0”是“01”的前缀），译码时也不会歧义（每次出现1都表示一次01）。

5. 编码评价指标

平均码长 L： $L = \sum p(x_i) l_i$ ，其中 $l_i$ 为码字长度。
编码效率 η： $\eta = \frac{H(X)}{L \log r}$ ，越接近1效率越高（r 为码元符号数，如二进制时 r=2）。

二、香农第一定理（无失真可变长信源编码定理）

香农第一定理揭示了信源编码的极限效率，为无损压缩提供了理论基础。通过扩展信源和变长编码，使平均码长逼近 logrH(S)。ZIP、PNG等无损压缩算法均基于此原理。

1. 核心内容

研究对象：离散无记忆信源（DMS）的N次扩展信源 $S^N$ 。
定理表述：对 $S^N$ 进行变长编码，平均码长 $L_N$ 满足：

其中：

H(S)：信源的熵（单位：比特/符号）。
r：码元符号数（如二进制时 r=2）。
$L_N/N$ ：平均每信源符号分配的码元数。

物理意义：

下限：无失真压缩的极限为 $\frac{H(S)}{\log r}$ ，无法突破。
逼近极限：通过扩展信源（增大 N）和变长编码，可使平均码长无限接近熵限。

2. 关键概念与指标

平均码长 $L_N/N$ ：
- 衡量编码效率的核心指标，越小越好。
- 对于定长编码， $L_N/N$ 固定；变长编码可通过概率匹配优化。
信息传输率 R：
- 定义：单位码元携带的信息量（单位：比特/码元）。
- 计算公式：
  - 基本源编码： $R = \frac{H(X)}{L}$ 。
  - 扩展源编码： $R = \frac{H(X)}{L_N/N}$ 。
编码效率 η：
- 定义：实际信息传输率与理论最大值的比值。
- 公式： $\eta = \frac{H(X)}{L \log r}$ （当 r=2 时，η=R）。
- 理想情况：η→1（平均码长逼近熵限）。

3. 数据压缩的本质

有记忆信源：冗余源于符号间的相关性，通过预测编码、变换编码去除。
无记忆信源：冗余源于符号概率的非均匀分布，通过统计编码（如Huffman）逼近熵限。

压缩途径：

扩展信源：增大 N 以减少统计波动（如对字母序列而非单个字母编码）。
变长编码：高频符号用短码，低频符号用长码（如Huffman码）。

4. 例子与启示

示例：二元信源 S={x1,x2}，概率 P(x1)=0.9，P(x2)=0.1。

熵： $H(S) = -0.9 \log 0.9 - 0.1 \log 0.1 \approx 0.469$ 比特/符号。
二进制编码下限： $\frac{H(S)}{\log 2} \approx 0.469$ 码元/符号。

1. 单符号编码（N=1）

编码方式：直接对每个符号独立编码
- 示例：x₁→0，x₂→1

平均码长计算： L = 1×P(x₁) + 1×P(x₂) = 0.9×1 + 0.1×1 = 1 码元/符号

编码效率： η = H(S)/L = 0.469/1 = 46.9%

2. 扩展信源编码（N=2）

编码对象：符号对（共4种组合）
- 概率分布：
  符号对概率
  x₁x₁ 0.81
  x₁x₂ 0.09
  x₂x₁ 0.09
  x₂x₂ 0.01

符号对	概率
x₁x₁	0.81
x₁x₂	0.09
x₂x₁	0.09
x₂x₂	0.01

Huffman编码示例：

 x₁x₁ → 0       (码长1)x₁x₂ → 10      (码长2) x₂x₁ → 110     (码长3)x₂x₂ → 111     (码长3)

平均码长计算：L₂ = 0.81×1 + 0.09×2 + 0.09×3 + 0.01×3 = 1.29 码元/2符号
→ L = 1.29/2 ≈ 0.645 码元/符号

效率提升：η = 0.469/0.645 ≈ 72.7%

3. 极限情况（N→∞）

理论结果：当 N→∞ 时，L → H(S) = 0.469 码元/符号，η → 100%

5. 定理的意义

理论极限：给出了无失真压缩的最低码率（熵限）。
编码指导：
- 必须采用变长编码和扩展信源才能高效逼近极限。
- 实际编码（如Huffman）是定理的工程实现。
推广性：可扩展至平稳有记忆信源（极限熵 H∞ 替代 H(S)）。

《信息论与编码课程笔记》——信源编码（1）

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