高等数学第五章---定积分（§5.1定积分的概念、性质和应用）

§5.1 定积分的概念及性质

一、引例

在学习定积分之前，我们先通过两个具体的例子来感受其思想和方法。

例1 曲边梯形的面积

定义：曲边梯形
由连续曲线 $y=f(x)$（假设 $f(x)\ge 0$ 在所讨论的区间上）、直线 $x=a$、$x=b$（$a<b$）及 x 轴所围成的平面图形。

我们中学会计算一些规则的平面图形的面积，如矩形、梯形、三角形、圆等。但如何计算曲边梯形这种不规则的平面图形的面积呢？显然不能直接利用梯形的面积求法，因为曲边的高度 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上是变化的。我们采用一种“分割、近似、求和、取极限”的思想来解决这个问题：

1. 分割区间 $[a,b]$
   在 $(a,b)$ 内任意插入 $n-1$ 个分点 $x_1,x_2,\cdots ,x_{n-1}$，满足 $a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{n-1}<x_n=b$。
   这样，区间 $[a,b]$ 被分成了 $n$ 个小区间 $[x_{i-1},x_i]$，其长度记为 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$。
   相应地，原来的曲边梯形被分成了 $n$ 个窄长的“小曲边梯形”，记第 $i$ 个小曲边梯形的面积为 $\Delta A_i$（$i=1,2,\cdots ,n$）。
   则整个曲边梯形的面积 $A={\sum }_{i=1}^n\Delta A_i$。

2. 近似求值
   这一步的目的是求每一个小曲边梯形的面积 $\Delta A_1,\Delta A_2,\cdots ,\Delta A_n$ 的简单近似值。
   以第 $i$ 个小区间 $\left[x_{i-1},x_i\right]$ 上的小曲边梯形的面积 $\Delta A_i$ 为例。由于 $\Delta x_i$ 很小，我们可以近似地认为曲线 $y=f(x)$ 在这个小区间上的高度变化不大。因此，$\Delta A_i$ 可以近似为一个矩形的面积。
   具体做法是：在小区间 $\left[x_{i-1},x_i\right]$ 上任取一点 ${\xi }_i$ ($x_{i-1}\le {\xi }_i\le x_i$)，以该区间长度 $\Delta x_i$ 为底，以 $f({\xi }_i)$ 为高作一个矩形。
   这个矩形的面积为 $f({\xi }_i)\Delta x_i$。
   因此，$\Delta A_i\approx f({\xi }_i)\Delta x_i$（$i=1,2,\cdots ,n$）。

3. 作和 (求和)
   这一步的目的是将所有小矩形的面积加起来，得到大曲边梯形面积的一个近似值：
   $$A=\sum _{i=1}^n\Delta A_i\approx \sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$
   这个和式称为黎曼和 (Riemann Sum) 或积分和。

4. 取极限求精确值
   第三步求出的是曲边梯形面积的近似值。如何求精确值呢?分割得越细，即每个小区间 $\Delta x_i$ 越小 (所有 $\Delta x_i\to 0$)，这个近似和就越接近真实的面积。
   为了得到精确值，我们需要进行无限细分。令 λ = max ⁡ 1 ≤ i ≤ n { Δ x i } \lambda = \max_{1 \le i \le n}\{\Delta x_i\} λ=max1≤i≤n​{Δxi​} 表示所有小区间长度中的最大者。当 $\lambda \to 0$ 时，意味着所有小区间都无限变小，同时分成的份数 $n\to \infty$。
   此时，如果上述和式的极限存在，并且这个极限值与区间的分割方式以及点 ${\xi }_i$ 的取法无关，那么这个极限就是曲边梯形的精确面积：
   $$A=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$

注：

1. 曲边梯形的面积 $A$ 等于和数 (黎曼和) ${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$ 当 $\lambda \to 0$ 时的极限值。
2. 取极限时必须是 λ = max ⁡ { Δ x i } → 0 \lambda = \max\{\Delta x_i\} \rightarrow 0 λ=max{Δxi​}→0 来代表无限细分，使每一个小区间长度中最大者趋于0。仅仅用 $n\to \infty$ 是不够的，因为即使分点无限多，也可能存在某些区间长度没有趋于0的情况（例如，只在区间某一部分无限细分，而其他部分保持较宽的子区间，如图，种情况就没有把大曲边梯形无限细分）。
   

例2 变速直线运动的路程 $S$

已知一物体做变速直线运动，其速度是时间 $t$ 的函数 $v=v(t)$。求物体在时间段 $[a,b]$ 内运动的路程 $S$。

我们知道：对于匀速直线运动，路程 = 速度 × 时间。但例2中是变速直线运动，速度在每一时刻都可能变化，不能直接套用公式。
我们可以借鉴例1的思想，将时间段 $[a,b]$ 分割成许多微小的时间段。在每个微小时间段内，速度变化很小，可以近似看作匀速运动。然后将每个小时间段的路程累加，最后取极限得到精确路程。

具体步骤如下：

1. 分割时间区间 $[a,b]$
   在 $(a,b)$ 内任意插入 $n-1$ 个分点 $t_1,t_2,\cdots ,t_{n-1}$，满足 $a=t_0<t_1<t_2<\cdots <t_{n-1}<t_n=b$。
   记 $\Delta t_i=t_i-t_{i-1}$ 为第 $i$ 个小时间段的长度。
   记第 $i$ 个小时间段内的路程为 $\Delta S_i$（$i=1,2,\cdots ,n$），则总路程 $S={\sum }_{i=1}^n\Delta S_i$。

2. 近似求值
   在第 $i$ 个小时间段 $\left[t_{i-1},t_i\right]$ 内，由于 $\Delta t_i$ 很小，速度 $v(t)$ 的变化不大。我们可以在此小时间段内任取一时刻 ${\xi }_i$ ($t_{i-1}\le {\xi }_i\le t_i$)，并用该时刻的速度 $v({\xi }_i)$ 近似代表整个小时间段的平均速度。 (原文用 ${\xi }_i$, 保持一致)
   于是，该小时间段内的路程近似为：
   $\Delta S_i\approx v({\xi }_i)\Delta t_i$（$i=1,2,\cdots ,n$）。

3. 作和 (求和)
   整个时间段 $[a,b]$ 内路程 $S$ 的近似值为所有小段路程近似值之和：
   $$S=\sum _{i=1}^n\Delta S_i\approx \sum _{i=1}^{n}v({\xi }_i)\Delta t_i$$
   注： ${\sum }_{i=1}^{n}v({\xi }_i)\Delta t_i$ 称为和数。

4. 取极限求精确值
   类似例1，无限细分才能取极限达到精确值。令 Δ t = max ⁡ 1 ≤ i ≤ n { Δ t i } \Delta t = \max_{1 \le i \le n}\{\Delta t_i\} Δt=max1≤i≤n​{Δti​} 表示每一个小时间段长度中最大者，当 $\Delta t\to 0$ 时代表无限细分，即：
   $$S=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}v({\xi }_i)\Delta t_i$$

注： 变速直线运动的路程 $S$ 等于速度函数 $v(t)$ 对时间 $t$ 的和数的极限。

综合例1和例2，我们发现尽管两个问题（求面积和求路程）的物理背景或几何背景不同，但解决它们的方法步骤是相同的：“分割—近似—求和—取极限”，最终都归结为一个特定形式的和的极限问题。数学上，我们把这类和的极限抽象出来，定义为定积分。

二、定积分的定义

定义： 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上有定义。

1. 分割： 用任意一组分点
   $$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{i-1}<x_i<\cdots <x_{n-1}<x_n=b$$
   将区间 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间 $\left[x_{i-1},x_i\right]$（$i=1,2,\cdots ,n$）。记小区间长度为 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$。
2. 取点并作乘积： 在每个小区间 $\left[x_{i-1},x_i\right]$ 上任取一点 ${\xi }_i$ ($x_{i-1}\le {\xi }_i\le x_i$)，作乘积 $f({\xi }_i)\Delta x_i$。这个乘积称为积分元素。
3. 求和： 将所有这些乘积加起来，得到和式 ${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$，称为积分和 (或黎曼和)。
4. 取极限： 记 Δ x = max ⁡ 1 ≤ i ≤ n { Δ x i } \Delta x = \max_{1 \le i \le n}\{\Delta x_i\} Δx=max1≤i≤n​{Δxi​} 为诸小区间长度的最大值。如果当 $\Delta x\to 0$ 时，上述积分和的极限 ${\lim }_{\Delta x\to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$ 存在，并且这个极限值与区间 $[a,b]$ 的分法以及点 ${\xi }_i$ 在小区间内的取法无关，则称此极限值为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分 (Definite Integral)，记作：
   $${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$
   这时，称函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积。

各部分名称：

• $\int$：积分号
• $f(x)$：被积函数
• $f(x)dx$：被积表达式
• $x$：积分变量
• $[a,b]$：积分区间
• $a$：积分下限
• $b$：积分上限

若上述极限 ${\lim }_{\Delta x\to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$ 不存在，则称函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上不可积。

从定积分的定义知道，定积分就是和数的极限 ${\int }_a^{b}f(x)dx={\lim }_{\Delta x\to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$。因此：

• 例1中曲边梯形的面积为 $A={\int }_a^{b}f(x)dx$ (当 $f(x)\ge 0$)。
• 例2中变速直线运动的路程为 $S={\int }_a^{b}v(t)dt$ (当 $v(t)\ge 0$)。

注：

1. 定积分是一个数值： 定积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 的结果是一个常数（即 ${\lim }_{\Delta x\to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$ 的极限值），该值仅与被积函数 $f(x)$ 和积分区间 $[a,b]$ 有关，而与积分变量的记号无关。因此，
   $${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(t)dt={\int }_a^{b}f(u)du$$
   即只要被积函数的形式和积分区间一样，积分值就相等。

2. 函数可积的条件：

   • 充分条件1： 若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一定可积。
   • (补充) 充分条件2： 若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有界且只有有限个间断点，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上也可积。
   • (补充) 充分条件3： 若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上单调，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上也可积。
   • 注意： 函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界不一定可积。例如著名的狄利克雷函数 (Dirichlet function)：
     $$D(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\text{ 为有理数}\\ 0,& x\text{ 为无理数}\end{array}$$
     在任何包含有理数和无理数的区间 $[a,b]$上（例如 $[0,1]$），狄利克雷函数是有界的（界为0和1）。但是：
     若在每个小区间 $\Delta x_i$ 内取 ${\xi }_i$ 为有理数，则 $f({\xi }_i)=1$，积分和为 ${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i={\sum }_{i=1}^{n}1\cdot \Delta x_i={\sum }_{i=1}^n\Delta x_i=(b-a)$。其极限为 $b-a$。
     若在每个小区间 $\Delta x_i$ 内取 ${\xi }_i$ 为无理数，则 $f({\xi }_i)=0$，积分和为 ${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i={\sum }_{i=1}^{n}0\cdot \Delta x_i=0$。其极限为 $0$。
     由于极限值与点 ${\xi }_i$ 的选取有关（得到了不同的极限 $b-a$ 和 $0$），所以极限不存在，即狄利克雷函数 $D(x)$ 在 $[a,b]$ 上不可积。

3. 定积分的规定：

   1. 当 $a>b$ 时，规定 ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$。
      （即定积分的上下限互换位置，定积分的值互为相反数）。
   2. 当 $a=b$ 时，规定 ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$。
      （即定积分的上下限相同时，定积分的值为 0）。

三、定积分的几何意义

定积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 的几何意义是表示由曲线 $y=f(x)$、x轴以及直线 $x=a$ 和 $x=b$ 所围成的平面图形的代数面积。具体来说：

1. 若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\ge 0$：
   则 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 表示由曲线 $y=f(x)$、x轴、直线 $x=a$ 和 $x=b$ 所围成的曲边梯形的面积（一个非负值）。
   

2. 若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\le 0$：
   则 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 表示由曲线 $y=f(x)$、x轴、直线 $x=a$ 和 $x=b$ 所围成的曲边梯形的面积的相反数（一个非正值）。即，此时的面积 $=-{\int }_a^{b}f(x)dx$。
   

3. 若在 $[a,b]$ 上 $f(x)$ 有正有负：
   则 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 等于 x 轴上方的图形面积之和减去 x 轴下方的图形面积之和所得的代数和。
   
   注：
   如果要求的是曲线 $y=f(x)$ 与 x 轴在区间 $[a,b]$ 上所围成的几何图形的总面积（即各部分面积的算术和，不考虑正负），则应该是：
   $$A_{\text{总}}={\int }_a^b|f(x)|dx$$
   例如，如果 $f(x)$ 在 $[a,c]$ 上为正，在 $[c,b]$ 上为负，则总面积为 $A_1+A_2+A_3={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^b(-f(x))dx={\int }_a^c|f(x)|dx+{\int }_c^b|f(x)|dx={\int }_a^b|f(x)|dx$。

例： 下列图形中阴影部分的面积不等于定积分 ${\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }\cos xdx$ 的是（ ）

解：
首先，我们分析定积分 ${\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }\cos xdx$。
在积分区间 $[\frac{\pi }{2},\pi ]$ 上，函数 $\cos x\le 0$。
根据定积分的几何意义（第二种情况），${\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }\cos xdx$ 表示的是由 $y=\cos x$、x轴、直线 $x=\frac{\pi }{2}$ 和 $x=\pi$ 所围成的图形面积的相反数。
我们可以计算该积分值（如果已经学习了牛顿-莱布尼茨公式）：
$${\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }\cos xdx=[\sin x{]}_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }=\sin (\pi )-\sin (\frac{\pi }{2})=0-1=-1$$
所以，这个定积分的值是 $-1$。它代表 x 轴下方，由 $y=\cos x$ 在 $[\frac{\pi }{2},\pi ]$ 围成的区域的面积的相反数。该区域的几何面积本身是 $1$。

原文解释为：“根据定积分的几何意义知 ${\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }\cos xdx$ 应该等于 x 轴上方图形的面积减去 x 轴下方图形的面积，即等于 B, C, D 中阴影部分的面积，所以正确答案应该选 A。”

此解释是基于定积分的代数面积概念。如果B, C, D表示的“面积”是指与定积分值-1相对应的某种有向面积或直接是该积分值，而A表示的不是，则A是答案。在区间 $[\frac{\pi }{2},\pi ]$，$\cos x\le 0$，所以没有x轴上方面积。因此，积分值就是负的x轴下方面积。如果B, C, D表示的是这个负值或者与这个负值相关的阴影面积，而A不是，则A为答案。

四、定积分的性质

性质 1 (常数因子可提出)

若 $k$ 为常数，则
$${\int }_a^{b}kf(x)dx=k{\int }_a^{b}f(x)dx$$

证明：
$${\int }_a^{b}kf(x)dx=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}kf({\xi }_i)\Delta x_i=k\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i=k{\int }_a^{b}f(x)dx$$

注： 该性质说明定积分的被积函数中的常数因子 $k$ 可以提到积分符号外。

性质 2 (和差的积分)

若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上均可积，则 $f(x)\pm g(x)$ 也在 $[a,b]$ 上可积，且
$${\int }_a^b(f(x)\pm g(x))dx={\int }_a^{b}f(x)dx\pm {\int }_a^{b}g(x)dx$$

证明 (以和为例)：
$$\begin{array}{rl}{\int }_a^b(f(x)+g(x))dx& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n(f({\xi }_i)+g({\xi }_i))\Delta x_i\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i+\sum _{i=1}^{n}g({\xi }_i)\Delta x_i\right)\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i+\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}g({\xi }_i)\Delta x_i\\ & ={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx\end{array}$$

注：

1. 该性质的证明是利用定积分的定义和极限的运算法则证明。
2. 该性质说明：两个函数和（差）的定积分等于每个函数定积分的和（差）。
3. 该性质可推广到有限个函数代数和的情况。

性质 3 (积分区间的可加性)

设 $f(x)$ 在包含 $a,b,c$ 的某个闭区间上可积。则对于任意实数 $a,b,c$，有
$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$$
特别地，若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，且 $c\in (a,b)$，则该式成立。

证明（以 $a<c<b$ 为典型情况）：
对 $[a,b]$ 的任意分割 $T$，只要将 $c$ 加入为分点（如果 $c$ 原本不是分点），则 $T$ 可以看成是 $[a,c]$ 的一个分割 $T_1$ 和 $[c,b]$ 的一个分割 $T_2$ 的并。于是
$$\sum _{T}f({\xi }_i)\Delta x_i=\sum _{T_1}f({\xi }_i)\Delta x_i+\sum _{T_2}f({\xi }_i)\Delta x_i$$
令所有 $\Delta x_i\to 0$，则
$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$$

另一个证明（以 $c<b<a$ 为例）：
由 $c<b<a$ 知，根据积分区间的可加性（对于 $c<b<a$）和定积分规定 ${\int }_x^{y}f(t)dt=-{\int }_y^{x}f(t)dt$：
我们通常先证明 $a<c<b$ 的情况。对于 $c<b<a$：
根据可加性，应有 ${\int }_c^{a}f(x)dx={\int }_c^{b}f(x)dx+{\int }_b^{a}f(x)dx$。
$$\begin{array}{rl}{\int }_c^{a}f(x)dx& ={\int }_c^{b}f(x)dx+{\int }_b^{a}f(x)dx\\ \text{即 }-{\int }_a^{c}f(x)dx& ={\int }_c^{b}f(x)dx-{\int }_a^{b}f(x)dx\end{array}$$
移项可得：
$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$$
（此证明利用了性质已经对任意顺序成立的前提，或者需要更细致地基于定义和积分上下限的规定来推导。）
更直接的思路：
${\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx=-{\int }_c^{a}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$.
如果 $c<b<a$:
${\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx=-{\int }_c^{a}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$.
我们想证明它等于 ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$.
从已知的 ${\int }_c^{a}f(x)dx={\int }_c^{b}f(x)dx+{\int }_b^{a}f(x)dx$,
两边取负号: $-{\int }_c^{a}f(x)dx=-({\int }_c^{b}f(x)dx+{\int }_b^{a}f(x)dx)$.
${\int }_a^{c}f(x)dx=-{\int }_c^{b}f(x)dx-{\int }_b^{a}f(x)dx={\int }_b^{c}f(x)dx+{\int }_a^{b}f(x)dx$.
这与目标 ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$ 变形后是一致的。

注： 该性质表明积分对于区间具有可加性，无论 $a,b,c$ 的相对顺序如何，只要各积分存在，此等式均成立。该性质在计算分段函数的定积分或含有绝对值的函数的定积分时会经常用到。

性质 4 (积分不等式性质)

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积（$a<b$），且满足 $f(x)\ge 0$，则
$${\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0$$

证明：
由定积分定义
$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$
因为 $f(x)\ge 0$，所以对任意 ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$，有 $f({\xi }_i)\ge 0$。又因 $a<b$，故 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}>0$。
因此，积分和中的每一项 $f({\xi }_i)\Delta x_i\ge 0$，所以 ${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i\ge 0$。
根据极限的保号性，其极限也满足
$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i\ge 0$$

注：

1. 该性质说明：当 $a<b$ 时，非负函数的定积分非负；同理，若 $f(x)\le 0$ 且 $a<b$，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx\le 0$。

2. 推论： 设 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上都可积（$a<b$），且满足 $f(x)\le g(x)$ 对所有 $x\in [a,b]$ 成立，则
   $${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$$

   证明：
   由 $f(x)\le g(x)$ 知，$h(x)=g(x)-f(x)\ge 0$。
   根据性质4，${\int }_a^{b}h(x)dx={\int }_a^b(g(x)-f(x))dx\ge 0$。
   再根据性质2，${\int }_a^{b}g(x)dx-{\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0$。
   因此，${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$。

注： 该性质说明（当 $a<b$ 时）不等式 $f(x)\le g(x)$ 两边可以同时求定积分，不等号方向不变。

例 1： 不计算定积分的值，比较 ${\int }_0^{1}xdx$ 与 ${\int }_0^1{x}^{2}dx$ 的大小。

解：
在积分区间 $[0,1]$ 上，对于任意 $x\in [0,1]$，有 $x\ge x^2$（因为 $x-x^2=x(1-x)\ge 0$）。
因此由不等式性质的推论（性质4注2）知 (这里 $a=0,b=1$, $a<b$)：
$${\int }_0^{1}xdx\ge {\int }_0^1{x}^{2}dx$$

例 2： 设
$$I={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln (\sin x)dx,J={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln (\cos x)dx,K={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln (\cot x)dx$$
比较 $I,J,K$ 的大小。(注意：$\ln (\sin x)$ 在 $x\to 0^{+}$ 时趋于 $-\infty$，严格来说这是瑕积分，但此处假定按可积处理或在 $(0,\pi /4]$ 考虑)

解：
积分区间都是 $\left(0,\frac{\pi }{4}\right]$ (为使对数有意义)。我们需要比较被积函数的大小。
被积函数都是复合函数，外函数 $\ln u$ 是严格增函数。因此只需要比较内函数的大小。
在区间 $\left(0,\frac{\pi }{4}\right]$ 上：

• $\sin x$ 和 $\cos x$：当 $x\in (0,\frac{\pi }{4})$, $\sin x<\cos x$。
• $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$。由于 $\sin x<\cos x$ 且 $\sin x\in (0,1/\sqrt{2}]$, $\cos x\in [1/\sqrt{2},1)$，则 $\cot x>1$。同时 $\cos x<1$。
  所以在 $(0,\frac{\pi }{4})$ 上，$\cot x>1>\cos x>\sin x>0$。
  因此，
  $$\ln (\sin x)<\ln (\cos x)<\ln (\cot x)$$
  根据定积分的不等式性质（性质4注2），由于积分上限 $\frac{\pi }{4}$ 大于积分下限 $0$：
  $$I<J<K$$

性质 5 (积分为1的函数的积分)

$${\int }_a^{b}1dx={\int }_a^{b}dx=b-a$$

证明： 利用定义：
设 $f(x)\equiv 1$。则在任意小区间 $[{\text{x}}_{i-1},{\text{x}}_i]$ 上任取 ${\xi }_i$, $f({\xi }_i)=1$。
$${\int }_a^{b}1dx=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}1\cdot \Delta x_i=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1})$$
$$\sum _{i=1}^n(x_i-x_{i-1})=(x_1-x_0)+(x_2-x_1)+\cdots +(x_n-x_{n-1})=x_n-x_0=b-a$$
所以，
$${\int }_a^{b}1dx=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }(b-a)=b-a$$
此结果与 $\Delta x\to 0$ 的过程无关，因为和式恒为 $b-a$。

性质 6 (积分估计不等式)

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续 ($a<b$)，$M$ 和 $m$ 分别为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值和最小值，则有
$$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$$

证明：
由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，故其在 $[a,b]$ 上必取得最大值 $M$ 和最小值 $m$。
即对所有 $x\in [a,b]$，有 $m\le f(x)\le M$。
根据性质4的推论和性质5，将此不等式三边同时在 $[a,b]$ 上积分：
$${\int }_a^{b}mdx\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}Mdx$$
$$m{\int }_a^{b}1dx\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M{\int }_a^{b}1dx$$
即
$$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$$

注： 该性质提供了一种不计算定积分精确值而估计其大致范围的方法。

例如： 不计算定积分的值，估计 ${\int }_0^1{e}^{x}dx$ 的值。

解：
函数 $f(x)=e^x$ 在区间 $[0,1]$ 上是连续且单调递增的。
其最小值为 $m=f(0)=e^0=1$。
其最大值为 $M=f(1)=e^1=e$。
积分区间长度 $b-a=1-0=1$。
根据性质6，有：
$$1\cdot (1-0)\le {\int }_0^1{e}^{x}dx\le e\cdot (1-0)$$
即
$$1\le {\int }_0^1{e}^{x}dx\le e(\text{其中 }e\approx 2.718)$$

性质 7 (定积分中值定理)

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续 ($a\ne b$)，则至少存在一点 $\xi \in [a,b]$，使得
$${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$$

证明：
不妨设 $a<b$。
由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，根据性质6，我们有：
$$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$$
其中 $m$ 和 $M$ 分别是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值和最大值。
因为 $b-a>0$，两边同除以 $(b-a)$ 得：
$$m\le \frac{{\int }_a^{b}f(x)dx}{b-a}\le M$$
记 $C=\frac{{\int }_a^{b}f(x)dx}{b-a}$。则 $m\le C\le M$。
根据连续函数的介值定理 (Intermediate Value Theorem)，既然 $C$ 是介于函数最小值 $m$ 和最大值 $M$ 之间的一个值，则在区间 $[a,b]$ 上至少存在一点 $\xi$ 使得 $f(\xi )=C$。
即，
$$f(\xi )=\frac{{\int }_a^{b}f(x)dx}{b-a}$$
从而，
$${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$$
若 $a>b$, 则 ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx=-f(\xi )(a-b)=f(\xi )(b-a)$ for some $\xi \in [b,a]$.
若 $a=b$, 则 ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$ and $f(\xi )(a-a)=0$, a $\xi$ can be any point in $[a,a]$.

注：

1. 平均值： $f(\xi )=\frac{{\int }_a^{b}f(x)dx}{b-a}$ (当 $a\ne b$) 称为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的平均值。这可以看作是离散数据算术平均数概念在连续函数上的推广。

   例如： 已知 $f(x)$ 在 $[-1,2]$ 上的平均值为 2，求 ${\int }_{-1}^{2}f(x)dx$。

   解：
   根据平均值的定义：
   $$\frac{{\int }_{-1}^{2}f(x)dx}{2-(-1)}=2$$
   $$\frac{{\int }_{-1}^{2}f(x)dx}{3}=2$$
   所以，
   $${\int }_{-1}^{2}f(x)dx=2\times 3=6$$

2. 定积分中值定理的几何意义：
   

   (假设 $f(x)\ge 0$ 且 $a<b$)
   等式左边 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 表示曲边梯形的面积。
   等式右边 $f(\xi )(b-a)$ 表示以 $(b-a)$ 为底，以 $f(\xi )$ 为高的矩形的面积。
   定积分中值定理的几何意义是：由连续曲线 $y=f(x)$（$f(x)\ge 0$）与 $x=a,x=b,y=0$ 所围成的曲边梯形的面积，一定等于一个以相同底边 $[a,b]$、高为曲线上某点 $f(\xi )$ 的矩形的面积。也就是说，总能找到一个高度 $f(\xi )$，使得这个矩形面积恰好等于曲边梯形面积。

3. 推广的定积分中值定理 (积分第二中值定理的一种形式)：
   设 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上不变号（即 $g(x)\ge 0$ 处处成立，或 $g(x)\le 0$ 处处成立），则至少存在一点 $\xi \in [a,b]$，满足
   $${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)dx$$

   证明：
   不妨设 $g(x)\ge 0$ 在 $[a,b]$ 上。若 ${\int }_a^{b}g(x)dx=0$, 由于 $g(x)\ge 0$ 且连续, 这意味着 $g(x)\equiv 0$ 在 $[a,b]$ 上。此时等式两边都为0，任取 $\xi \in [a,b]$ 均成立。
   现设 ${\int }_a^{b}g(x)dx>0$。
   由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，设其最小值为 $m$，最大值为 $M$。即 $m\le f(x)\le M$。
   因为 $g(x)\ge 0$，所以 $mg(x)\le f(x)g(x)\le Mg(x)$。
   根据定积分的保不等式性（性质4推论），在 $[a,b]$ 上积分得：
   $${\int }_a^{b}mg(x)dx\le {\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\le {\int }_a^{b}Mg(x)dx$$
   $$m{\int }_a^{b}g(x)dx\le {\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\le M{\int }_a^{b}g(x)dx$$
   由于 ${\int }_a^{b}g(x)dx>0$，三边同除以 ${\int }_a^{b}g(x)dx$ 得：
   $$m\le \frac{{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx}{{\int }_a^{b}g(x)dx}\le M$$
   记 $C=\frac{{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx}{{\int }_a^{b}g(x)dx}$。则 $m\le C\le M$。
   根据连续函数的介值定理，至少存在一点 $\xi \in [a,b]$，满足 $f(\xi )=C$。
   即
   $$f(\xi )=\frac{{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx}{{\int }_a^{b}g(x)dx}$$
   整理得：
   $${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)dx$$
   若 $g(x)\le 0$ 且 ${\int }_a^{b}g(x)dx<0$，则 $mg(x)\ge f(x)g(x)\ge Mg(x)$，积分后除以负数 ${\int }_a^{b}g(x)dx$ 会使不等号反向，但最终仍得到 $m\le C\le M$。