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2.2 矩阵

news 来源：原创 2025/7/17 19:47:06

考点一：方阵的幂

1. 计算方法

(1) 找规律法

适用场景：低阶矩阵或具有周期性规律的矩阵。
示例：
计算 $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n$ ：
- 当 $n$ 为奇数时， $A^n = A$ ；
- 当 $n$ 为偶数时， $A^n = I$ 。

(2) 成比例法

结论：若矩阵 $A$ 的秩 $r (A) < n$ ，则 $A^n = 0$ （当 $\geq r(A)+1$ 时）。
示例：
$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ，则 $A^2 = 0$ 。

(3) 相似对角化法

步骤：
1. 求矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda_i$ ；
2. 若 $A$ 可对角化（即存在可逆矩阵 $P$ 使 $P^{-1}AP = \Lambda$ ），则 $A^n = P\Lambda^n P^{-1}$ 。
示例：
$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ ，其特征值为 $\lambda_1 = \lambda_2 = 2$ ，则 $A^n = 2^{n-1} \begin{pmatrix} 2 & n \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ 。

(4) 二项式展开法

适用场景：矩阵可表示为 $A = B + C$ ，其中 $B, C$ 可交换且 $C$ 易求幂。
公式：
$C)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k B^{n-k} C^k$

考点二：矩阵的转置、伴随、逆

1. 转置矩阵

性质：
- $A^T |=|A|$
- $kA)^T = k A^T$
- $A^T)^T=A$
- $AB)^T=B^TA^T$
- $A^T)^*=(A^*)^T$
- 矩阵A为对称矩阵： $A^T |=|A|$
- $A+B)^T=A^T+B^T$ （特别记忆）

2. 伴随矩阵

定义： $A^* = (\mathrm{adj}(A))_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ji}$ ，其中 $M_{ji}$ 为余子式。
性质：
- $A^* |=|A|^{n-1}$
- $kA)^* = k^{n-1} A^*$
- $A^*)^*=|A|^{n-2} A$
- $AB)^*=B^*A^*$
- $A^*)^{-1}=(A^{-1})^*$

3. 逆矩阵

存在条件：
- $\neq 0$
- 矩阵的行（列）向量组线性无关
- 矩阵满秩（ $r (A) = n$ ）
求逆方法：
- 伴随矩阵法： $A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*$
- 初等变换法：对 $(A ∣ E)$ 进行行变换，化为 $E| A^{-1})$ 。
性质：
- $A^{-1} |=|A|^{-1}$
- $kA)^{-1} = k^{-1} A^{-1}$
- $A^{-1})^{-1}=A$
- $AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
- $A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}$

考点三：初等变换与初等矩阵

1. 初等矩阵分类与运算

行（列）交换：交换初等矩阵 $E$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行
- 逆： $E_{ij}^{-1} =E_{ij}$
- 转置： $E_{ij}^{T} =E_{ij}$
- 伴随： $E_{ij}^{*} =-E_{ij}$
行（列）倍乘：将初等矩阵 $E$ 的第 $i$ 行乘 $k$ 倍
- 逆： $E_{i}^{-1}(k) =E_{i}(\frac{1}{k})$
- 转置： $E_{i}^{T}(k) =E_{i}({k})$
- 伴随： $E_{i}^{*}(k) =kE_{i}(\frac{1}{k})$
行（列）倍加：交换初等矩阵 $E$ 的第 $i$ 行乘 $k$ 倍加到第 $j$ 行
- 逆： $E_{ij}^{-1}(k) =E_{ij}(-k)$
- 转置： $E_{ij}^{T}(k) =E_{ji}(k)$ 注意这里的下标交换了位置
- 伴随： $E_{ij}^{*}(k) =E_{ij}(-k)$

初等行变化，左乘初等矩阵；初等列变化，右乘初等矩阵。左行右列

2. 核心性质

可逆性：初等矩阵均可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵。
矩阵分解：可逆矩阵 $A$ 可表示为有限个初等矩阵的乘积，即 $P_1 P_2 \cdots P_k$ 。
秩的不变性：初等变换不改变矩阵的秩。

考点四：矩阵的秩常用结论

1. 基本性质

$r(A) = r(A^T)$
$r (k A) = r (A)$ （ $\neq 0$ ）
$\leq r(A) + r(B)$
相似矩阵秩相等

2. 分块矩阵秩

结论：
$r\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix} = r(A) + r(B)$
推论：若 $A$ 可逆，则 $r (A B) = r (B)$ ；若 $B$ 可逆，则 $r (A B) = r (A)$ 。
$max\{r(A),r(B)\} \leq r(A,B) \leq r(A)+ r(B)$

3. 矩阵乘积秩

$\leq \min\{r(A), r(B)\}$ 越乘秩越小
若 $A_{m×n} B_{n×l}=0$ 则有 $\leq n$

4. 其他结论

$r(A^*) =$
- $n$ 当 $r (A) = n$ 时；
- $1$ 当 $r (A) = n - 1$ 时；
- $0$ 当 $r (A) < n - 1$ 时；

五、实战技巧

矩阵幂计算：优先判断是否可对角化，若不可对角化则尝试找递推规律。
逆矩阵验证：验证 $AA^{-1} = E$ 或通过伴随矩阵公式计算。
秩的快速判断：通过初等行变换化为阶梯形矩阵，非零行数即为秩。

总结：矩阵的核心在于理解其结构特性（如幂、逆、秩）与变换工具（如初等变换、伴随矩阵）。掌握这些方法，可高效解决线性代数中的复杂问题！ 🚀
评论区互动：需要具体例题解析或公式推导，欢迎留言交流！ 💬

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