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计算方法实验四解线性方程组的间接方法

news 来源：原创 2025/5/6 17:58:44

【实验性质】

综合性实验。

【实验目的】

掌握迭代法求解线性方程组。

【实验内容】

应用雅可比迭代法和Gauss-Sediel迭代法求解下方程组：

【理论基础】

线性方程组的数值解法分直接算法和迭代算法。迭代法将方程组的求解转化为构造一个向量序列，如果该向量序列存在极限，其极限就是方程组的解。

迭代法程序简单，但有时工作量较大，在有限步内，得不到精确解，适宜系数矩阵阶数较高的问题。

构造关于解向量的迭代序列，的常见方法有Jacobi迭代和Gauss-Seidel加速迭代。

设：

统一的迭代公式为：

−1

对于雅可比迭代，矩阵；对于高斯－赛德尔迭代，G = −（𝐷＋L） 𝑈，f =(𝐷＋L)−1𝑏。

实际的计算与编程应尽量避免矩阵求逆、矩阵相乘等运算，而使用如下公式：

【实验过程】

取三个不同初值，分别用雅可比法和高斯－塞得尔法求解，用表格记载求解过程，并分析迭代初值、迭代公式对迭代的影响。

附表：

		雅可比法		高斯－塞得尔法
	初值	近似根	迭代次数	近似根	迭代次数
1
2
3

代码：

主函数：

//实验四

#include <iostream>

#include <windows.h>

#include "colvector.h"

#include "matrix.h"

#include <windows.h>

#include "linearequations.h"

using namespace std;

int main()

{

double a1[]={8,7,0,0,6,12,5,0,0,4,9,3,0,0,1,2};

double b1[]={0,-2,8,6};

double x1[]={0,0,0,0};

double e=0.0001;

int flag=1,max=100;

Matrix A(4,4);

ColVector b(4),x(4),x0(4);

A.initMatrix(a1);

b.initMatrix(b1);

x0.initMatrix(x1);

LinearEquations obj;

obj.JacobiIterativeMethod(A,b,e,x0,max,flag,x);

cout<<x<<endl;

return 0;

}

头文件：

#ifndef LINEAREQUATIONS_H

#define LINEAREQUATIONS_H

#include "matrix.h"

#include "colvector.h"

#include  <math.h>

class LinearEquations

public:

    void GaussElimin(Matrix A,ColVector b,int &flag,ColVector &x);

    void colPivotGaussElimin(Matrix A,ColVector b,int &flag,ColVector &x);

    void LUDecomposition(Matrix &mat,int &flag,Matrix &L,Matrix &U,int type=1);

    void TrigDecompositionMethod(Matrix &A,ColVector &b,int &flag,ColVector &x,int type=1);

    void Catchup(ColVector&a,ColVector &b,ColVector &c,ColVector &f,int &flag,ColVector &x,int type=1);

    LinearEquations();

    //雅可比迭代

    void JacobiIterativeMethod(Matrix &A,ColVector &b,double e,ColVector &x0,int MAX, int &flag,ColVector &x);

    //高斯-赛德尔迭代

    void Gauss_SeidelIterativeMethod(Matrix &A,ColVector &b,double e,ColVector &x0,int MAX, int &flag,ColVector &x);

};

#endif // LINEAREQUATIONS_H

源文件：

#include "linearequations.h"

LinearEquations::LinearEquations()

{

}

void LinearEquations::GaussElimin(Matrix A,ColVector b,int &flag,ColVector &x)

{

flag=1;

int n=A.getRowSize();

if(n!=A.getColSize() || n!=b.getRowSize())

{

flag =0;

return;

}

cout<<"初始曾广矩阵"<<Matrix::merge(A,b)<<endl;

for(int k=1;k<=n-1;k++)

{

for(int i=k+1;i<=n;i++)

{

if(A(k,k)==0)

{

flag =0;

return;

}

double m=A(i,k)/A(k,k);

for(int j=1;j<=n;j++)

{

A(i,j)=A(i,j)-m*A(k,j);

}

b[i]=b[i]-m*b[k];

}

cout<<"第"<<k<<"次消元"<<Matrix::merge(A,b)<<endl;

}

cout<<"解 x"<<endl;

x=ColVector(n);

if(A(n,n)==0)

{

flag=0;

return;

}

x[n]=b[n]/A(n,n);

cout<<x<<endl;

for(int i=n-1;i>=1;i--)

{

double sum=0;

for(int j=i+1;j<=n;j++)

{

sum+=A(i,j)*x[j];

}

x[i]=(b[i]-sum)/A(i,i);

cout<<"解 x"<<endl;

cout<<x<<endl;

}

void LinearEquations::colPivotGaussElimin(Matrix A,ColVector b,int &flag,ColVector &x)

{

flag=1;

int n=A.getRowSize();

if(n!=A.getColSize() || n!=b.getRowSize())

{

flag =0;

return;

}

cout<<"初始曾广矩阵"<<Matrix::merge(A,b)<<endl;

for(int k=1;k<=n-1;k++)

{

double max=fabs(A(k,k));

int p=k;

for(int w=k+1;w<=n;w++)

{

if(max< fabs(A(w,k))){

max=fabs(A(w,k));

p=w;

}

if(max==0){

flag=0;

return;

}

if(p!=k){

double temp=0;

for(int s=1;s<=n;s++)

{

temp =A(k,s);

A(k,s)=A(p,s);

A(p,s)=temp;

}

temp=b[k];

b[k]=b[p];

b[p]=temp;

}

for(int i=k+1;i<=n;i++)

{

if(A(k,k)==0)

{

flag =0;

return;

}

double m=A(i,k)/A(k,k);

for(int j=1;j<=n;j++)

{

A(i,j)=A(i,j)-m*A(k,j);

}

b[i]=b[i]-m*b[k];

}

cout<<"第"<<k<<"次消元"<<Matrix::merge(A,b)<<endl;

}

cout<<"解 x"<<endl;

x=ColVector(n);

if(A(n,n)==0)

{

flag=0;

return;

}

x[n]=b[n]/A(n,n);

cout<<x<<endl;

for(int i=n-1;i>=1;i--)

{

double sum=0;

for(int j=i+1;j<=n;j++)

{

sum+=A(i,j)*x[j];

}

x[i]=(b[i]-sum)/A(i,i);

cout<<"解 x"<<endl;

cout<<x<<endl;

}

void LinearEquations::LUDecomposition(Matrix &mat,int &flag,Matrix &L,Matrix &U,int type)

{

flag=0;

int n=mat.getRowSize();

if(n!=mat.getColSize()||type<1||type>2){

flag=-1;

return;

}

L=Matrix(n,n);

U=Matrix(n,n);

switch(type){

case 1:

for(int i=1;i<+n;i++){

U(1,i)=mat(1,i);

}

for(int i=1;i<=n;i++){

L(i,1)=mat(i,1)/U(1,1);

}

for(int k=2;k<=n;k++)

{

for(int j=k;j<=n;j++){

double sum=0;

for(int r=1;r<=k-1;r++){

sum+=L(k,r)*U(r,j);

}

U(k,j)=mat(k,j)-sum;

}

for(int i=k;i<=n;i++){

double sum=0;

for(int r=1;r<=k-1;r++){

sum+=L(i,r)*U(r,k);

}

L(i,k)=(mat(i,k)-sum)/U(k,k);

}

break;

case 2:

for(int k=1;k<=n;k++)

{

for(int j=k;j<=n;j++)

{

double sum=0;

if(k>1){

for(int r=1;r<=k-1;r++){

sum+=L(j,r)*U(r,k);

}

L(j,k)=mat(j,k)-sum;

}

for(int j=k;j<=n;j++)

{

if(L(k,k)==0){

flag=0;

return ;

}

double sum=0;

if(k>1)

{

for(int r=1;r<=k-1;r++){

sum+=L(k,r)+U(r,j);

}

U(k,j)=(mat(k,j)-sum)/L(k,k);

}

break;

}

void LinearEquations::TrigDecompositionMethod(Matrix &A,ColVector &b,int &flag,ColVector &x,int type)

{

flag =1;

int n=A.getRowSize();

if(n!=A.getColSize()||n!=b.getRowSize()||type<1||type>2)

{

flag=0;

return;

}

Matrix L,U;

ColVector y(n);

x=ColVector(n);

switch(type){

case 1:

LUDecomposition(A,flag,L,U);

if(flag== -1)

{

return;

}

y[1]=b[1];

for(int i=2;i<=n;i++)

{

double sum=0;

for(int k=1;k<=i-1;k++)

{

sum+=L(i,k)*y[k];

}

y[i]=b[i]-sum;

}

cout<<"y="<<y<<endl;

if(U(n,n)==0)

{

flag=0;

return;

}

x[n]=y[n]/U(n,n);

for(int i=n-1;i>=1;i--)

{

if(U(i,i)==0){

flag=0;

return;

}

double sum=0;

for(int k=i+1;k<=n;k++)

{

sum+=U(i,k)*x[k];

}

x[i]=(y[i]-sum)/U(i,i);

}

break;

case 2:

LUDecomposition(A,flag,L,U);

if(flag<1)

{

return;

}

if(L(1,1)==0)

{

flag=0;

return;

}

y[1]=b[1]/L(1,1);

for(int i=2;i<=n;i++)

{

if(L(i,i)<=0){

flag=0;

return;

}

double sum=0;

for(int k=1;k<=i-1;k++)

{

sum+=L(i,k)*y[k];

}

y[i]=(b[i]-sum)/L(i,i);

}

x[n]=y[n];

for(int i=n-1;i>=1;i--)

{

double sum=0;

for(int k=i+1;k<=n;k++)

{

sum+=U(i,k)*x[k];

}

x[i]=y[i]-sum;

}

break;

}

void LinearEquations::Catchup(ColVector&a,ColVector &b,ColVector &c,ColVector &f,int &flag,ColVector &x,int type)

{

flag=1;

int n=b.getRowSize();

if(n!=a.getRowSize()||n!=b.getRowSize()||n!=f.getRowSize())

{

flag=0;

return;

}

if(fabs(b[1])<=fabs(c[1])||fabs(b[n])<=fabs(a[n])||b[1]*c[1]==0||a[n]*b[n]==0)

{

flag=0;

return;

}

for(int i=2;i<=n-1;i++)

if(fabs(b[i])<fabs(a[i])+fabs(c[i])||a[i]*c[i]==0)

{

flag=0;

return;

}

ColVector d(n),u(n),y(n),l(n);

x=ColVector (n);

switch(type){

case 1:

d=c;

u[1]=b[1];

for(int i=2;i<=n;i++)

{

l[i]=a[i]/u[i-1];

u[i]=b[i]-l[i]*c[i-1];

}

y[1]=f[1];

for(int i=2;i<=n;i++)

{

y[i]=f[i]-l[i]*y[i-1];

}

x[n]=y[n]/u[n];

for(int i=n-1;i>=1;i--)

{

x[i]=(y[i]-c[i]*x[i+1])/u[i];

}

break;

case 2:

l[1]=b[1];

for(int i=1;i<=n-1;i++)

{

u[i]=c[i]/l[i];

l[i+1]=b[i+1]-a[i+1]*u[i];

}

y[1]=f[1]/l[1];

for(int i=2;i<=n;i++)

{

y[i]=(f[i]-a[i]*y[i-1])/l[i];

}

x[n]=y[n];

for(int i=n-1;i>=1;i--)

{

x[i]=y[i]-u[i]*x[i+1];

}

break;

}

void LinearEquations::JacobiIterativeMethod(Matrix &A,ColVector &b,

double e,ColVector &x0,int MAX, int &flag,ColVector &x){

flag =1;

int n=A.getRowSize();

if(n!=b.getRowSize()||n!=A.getColSize()||n!=x0.getRowSize())

{

flag=0;

return;

}

for(int i=1;i<=n;i++){

if(A(i,i)==0){

flag=0;

return ;

}

double eps=0;

int k=0;

int sum=0;

int i,j;

ColVector x1(n);

ColVector dist(n);

while(k<MAX){

for(i=1;i<=n;i++){

double sum=0;

for(j=1;j<=n;j++){

if(j==1){

continue;

}

sum+=A(i,j)*x0[j];

}

x1[i]=(b[i]-sum)/A(i,i);

}

k++;

dist=x1-x0;

eps=dist.norm(3);

cout<<endl;

cout<<"k="<<k<<"\nx1="<<x1<<"x0="<<x0<<endl;

cout<<"dist="<<dist<<endl;

cout<<"eps="<<eps<<endl;

if(eps<=e){

break;

}

else{

x0=x1;

}

if(k==MAX){

flag=0;

return;

}

else{

x=x1;

}

void LinearEquations::Gauss_SeidelIterativeMethod(Matrix &A,ColVector &b,double e,

ColVector &x0,int MAX, int &flag,ColVector &x){

flag =1;

int n=A.getRowSize();

if(n!=b.getRowSize()||n!=A.getColSize()||n!=x0.getRowSize())

{

flag=0;

return;

}

for(int i=1;i<=n;i++){

if(A(i,i)==0){

flag=0;

return ;

}

double eps=0;

int k=0;

ColVector x1(n);

ColVector dist(n);

while(k<MAX){

for(int i=1;i<=n;i++){

double sum=0;

for(int j=1;j<=n;j++){

if(j<i){

sum+=A(i,j)*x1[j];

}

else if(j==i){

continue;

}

else{

sum+=A(i,j)*x0[j];

}

x1[i]=(b[i]-sum)/A(i,i);

}

k++;

dist=x1-x0;

eps=dist.norm(3);

cout<<"k="<<k<<"\nx1="<<x1<<"x0="<<x0<<endl;

cout<<"dist="<<dist<<endl;

cout<<"eps="<<eps<<endl;

if(eps<=e){

break;

}

else{

x0=x1;

}

if(k==MAX){

flag=0;

return;

}

else{

x=x1;

}

运行结果：

【实验心得】

我在实验中使用了间接方法解线性方程组，获得了一些心得。首先，我发现使用间接方法可以简化计算过程，特别适用于方程组较大的情况。通过将方程组转化为矩阵形式，并利用矩阵的运算性质来求解，可以大大减少计算量。其次，我注意到间接方法的精度较高，能够得到比较准确的解。与直接方法相比，间接方法不容易出现舍入误差，因为矩阵运算过程中的舍入误差可以通过精确的结果进行修正。此外，我发现间接方法还可以应用于其他数学问题的求解中，例如线性最小二乘问题等。总体来说，间接方法是一种简单高效、精度较高的解线性方程组的方法，对于数学问题的求解也具有一定的推广价值。通过这次实验，我不仅学到了解线性方程组的间接方法，还深入了解了矩阵运算的原理和应用，对数学问题的求解能力也有了一定的提升。

得分________

评阅日期________

教师签名________

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