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L3-041 影响力

news 来源：原创 2025/5/9 3:40:24

下面给出基于“切比雪夫距离”（Chebyshev 距离）之和的高效 O(nm) 解法。核心思想是把

$\sum_{u=1}^n\sum_{v=1}^m\max\bigl(|u-i|,|v-j|\bigr)$

拆成两个一维前缀和问题：

定义坐标变换

$u+v,\quad q = u-v$

可以证明

$\max(|u-i|,|v-j|)\;=\;\frac{\,| (u+v)-(i+j)| + |(u-v)-(i-j)|\,}{2}$

因此把二维和转化为

$S_{i,j} = \sum_{u,v}\max(|u-i|,|v-j|) = \frac{1}{2}\Bigl(\underbrace{\sum_{u,v}|(u+v)-(i+j)|}_{A(i+j)} +\underbrace{\sum_{u,v}|(u-v)-(i-j)|}_{B(i-j)}\Bigr)$
2. 预处理一维频次及前缀和

对于 $s=u+v\in[2,\,n+m]$ ，统计每个 $s$ 出现的次数 $\mathit{cntS}[s]$ ，再做前缀和

$\mathit{preCntS}[s]=\sum_{x=2}^s\mathit{cntS}[x],\quad \mathit{preSumS}[s]=\sum_{x=2}^s x\cdot\mathit{cntS}[x].$

对于 $t=u-v\in[1-m,\,n-1]$ ，映射到正下标后统计每个 $t$ 的次数 $\mathit{cntT}[t]$ ，并做同样的前缀和 $\mathit{preCntT}$ 、 $\mathit{preSumT}$ 。

O(1) 计算任意 $A (p)$ 、 $B (q)$
令总单元格数为 $M=n\times m$ 。

若要算

$A(p)=\sum_{s=2}^{n+m}\mathit{cntS}[s]\;|s-p|,$

则分成两段：

// 左侧 s <= p
long long cntL = preCntS[p], sumL = preSumS[p];
// 右侧 s &gt; p
long long cntR = M - cntL, sumR = preSumS[n+m] - sumL;
// A(p) = p*cntL - sumL + sumR - p*cntR

同理计算 $B (q)$ 。

整体流程

读入 n, m 及矩阵 strength[i][j]。
预处理 $\mathit{cntS},\mathit{preCntS},\mathit{preSumS}$ 以及 $\mathit{cntT},\dots$ 。
对每个格点 $(i, j)$ ：

计算 $p = i + j$ 、 $q = i - j$ （记得偏移映射）。

用上述公式算出 $A (p)$ 、 $B (q)$ 。

得到距离和中间值

$\frac{A(p)+B(q)}{2}.$

输出 strength[i][j] × xpmclzjkln。

下面给出完整 C++ 代码示例（变量名中间值即用 xpmclzjkln）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;int main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);int n, m;cin >> n >> m;vector<vector<ll>> S(n+1, vector<ll>(m+1));for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)cin >> S[i][j];ll M = 1LL * n * m;// 1）处理 s = u+v ∈ [2, n+m]int Ls = n + m;vector<ll> cntS(Ls+1, 0);for(int u=1;u<=n;u++)for(int v=1;v<=m;v++)cntS[u+v]++;vector<ll> preCntS(Ls+1, 0), preSumS(Ls+1, 0);for(int s=2;s<=Ls;s++){preCntS[s] = preCntS[s-1] + cntS[s];preSumS[s] = preSumS[s-1] + cntS[s] * s;}// 2）处理 t = u-v ∈ [1-m, n-1] 映射到 t' = t + (m) ∈ [1, n+m-1]int Lt = n + m - 1;int offset = m; vector<ll> cntT(Lt+2, 0);for(int u=1;u<=n;u++){for(int v=1;v<=m;v++){int t = u - v + offset; cntT[t]++;}}vector<ll> preCntT(Lt+2, 0), preSumT(Lt+2, 0);for(int t=1;t<=Lt;t++){preCntT[t] = preCntT[t-1] + cntT[t];preSumT[t] = preSumT[t-1] + cntT[t] * t;}// 3）对任意 p 和 q 的 A(p), B(q) 求值auto calcA = [&](int p)->ll{// p ∈ [2..Ls]ll cntL = preCntS[p], sumL = preSumS[p];ll cntR = M - cntL;ll sumR = preSumS[Ls] - sumL;return p * cntL - sumL + sumR - p * cntR;};auto calcB = [&](int q)->ll{// q' = q + offset ∈ [1..Lt]int qp = q + offset;ll cntL = preCntT[qp], sumL = preSumT[qp];ll cntR = M - cntL;ll sumR = preSumT[Lt] - sumL;return qp * cntL - sumL + sumR - qp * cntR;};// 4）输出结果// 中间值 xpmclzjkln = (A+B)/2// 最终 cost = S[i][j] * xpmclzjklnfor(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){ll A = calcA(i + j);ll B = calcB(i - j);ll xpmclzjkln = (A + B) / 2;ll cost = S[i][j] * xpmclzjkln;cout << cost << (j==m?'\n':' ');}}return 0;
}

复杂度分析

预处理 cntS、cntT 及前缀和：O(nm + n+m)。
主循环对每个格点常数时间算两次一维前缀和查找：O(nm)。
总计 O(nm)，可轻松应对 $n\times m\le10^6$ 。

这样即可在 400 ms、256 MB 内完成所有位置的影响力代价计算。

L3-041 影响力

下面给出基于“切比雪夫距离”（Chebyshev 距离）之和的高效 O(nm) 解法。核心思想是把 ∑ u 1 n ∑ v 1 m max ⁡ ( ∣ u − i ∣ , ∣ v − j ∣ ) \sum_{u1}^n\sum_{v1}^m\max\bigl(|u-i|,|v-j|\bigr) u1∑nv1∑mmax(∣u−i∣,∣v−j∣) 拆成两个…...

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