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大连理工大学选修课——机器学习笔记（9）：线性判别式与逻辑回归

news 来源：原创 2025/5/17 12:16:05

线性判别式与逻辑回归

概述

判别式方法

产生式模型需要计算输入、输出的联合概率

  • 需要知道样本的概率分布，定义似然密度的隐式参数
  • 也称为基于似然的分类

判别式模型直接构造判别式 g i ( x ∣ θ i ) g_i(x|\theta_i) gi​(x∣θi​)，显式定义判别式参数，不关心数据生成过程

基于判别式的方法只关注类区域之间的边界

在这里插入图片描述

一般认为，估计样本集的类密度比估计类判别式更困难，因为构造判别式通常采用简单的模型

如，线性判别式：

g i ( x ∣ w i , w i 0 ) = w i T + w i 0 = ∑ j = 1 d w i j x j + w i 0 g_i(x|w_i,w_{i0})=w_i^T+w_{i0}=\sum_{j=1}^dw_{ij}x_j+w_{i0} gi​(x∣wi​,wi0​)=wiT​+wi0​=j=1∑d​wij​xj​+wi0​

广义上，线性判别式代表了一类机器学习模型

  • 逻辑回归
  • 支持向量机
  • 感知机
  • 神经网络

狭义上，线性判别式仅代表逻辑回归

线性判别式

建立判别式

g i ( x ∣ w i , w i 0 ) = w i T x + w i 0 = ∑ j = 1 d w i j x j + w i 0 g_i(x|w_i,w_{i0})=w_i^Tx+w_{i0}=\sum_{j=1}^dw_{ij}x_j+w_{i0} gi​(x∣wi​,wi0​)=wiT​x+wi0​=j=1∑d​wij​xj​+wi0​

最大熵模型的判别式还是从条件后验概率出发

在这里插入图片描述

建模的条件

  1. 数据只有两类

  2. 线性可分

    在这里插入图片描述

判别式模型不考虑数据集的概率分布，直接假定判别式的形式

模型的训练

g i ( x ∣ w i , w i 0 ) = w i T x + w i 0 = ∑ j = 1 d w i j x j + w i 0 g_i(x|w_i,w_{i0})=w_i^Tx+w_{i0}=\sum_{j=1}^dw_{ij}x_j+w_{i0} gi​(x∣wi​,wi0​)=wiT​x+wi0​=j=1∑d​wij​xj​+wi0​

可以采用梯度法，牛顿法等

也可以采用全局优化算法，如遗传算法，模拟退火算法等

线性模型的推广

如果数据不是线性可分的，可以提高模型的复杂度，例如使用二次判别式

  • 升维操作，增加高阶项

在这里插入图片描述

  • 升维操作的一般形式

    g i ( x ) = ∑ j = 1 k w j θ i j ( x ) + w i 0 g_i(x)=\sum_{j=1}^kw_j\theta_{ij}(x)+w_i0 gi​(x)=j=1∑k​wj​θij​(x)+wi​0

    其中， θ i j \theta_{ij} θij​是非线性函数，称为基函数

    常用的基函数有sin，exp，log等

线性模型的及决策

原则上，每个类别对应一个判别式，二值分类一个判别式可以分类

g ( x ) > 0 ? C 1 : C 2 g(x)>0\ ?\ C_1:C2 g(x)>0 ? C1​:C2

线性模型的几何意义

任取超平面的两个点 x 1 , x 2 , x_1,x_2, x1​,x2​,有 g ( x 1 ) = g ( x 2 ) g(x_1)=g(x_2) g(x1​)=g(x2​)

则 w T w^T wT为超平面法线

x的新表达式为

x = x p + r w ∣ ∣ w ∣ ∣ x=x_p+r\frac{w}{||w||} x=xp​+r∣∣w∣∣w​

其中， x p x_p xp​是 x x x到超平面的投影；r是x到超平面的距离 r = g ( x ) ∣ ∣ w ∣ ∣ r=\frac{g(x)}{||w||} r=∣∣w∣∣g(x)​

超平面到原点的距离为 r 0 = w o ∣ ∣ w ∣ ∣ r_0=\frac{w_o}{||w||} r0​=∣∣w∣∣wo​​

处理多类问题

当类别数大于2时，需要k个判别式，假定所有类均线性可分，则可以用线性判别式进行区分

对于属于类别 C i C_i Ci​的样本 x x x，我们期望其判别式函数 g i ( x ) > 0 g_i(x)>0 gi​(x)>0，而其它判别式函数 g j ( x ) < 0 g_j(x)<0 gj​(x)<0

但是现实中，多个类别的判别式可能同时给出 g ( x ) > 0 g(x)>0 g(x)>0

因此，我们取判别式值最大的类即 预测类别 = m a x g i ( x ) 预测类别=max\ g_i(x) 预测类别=max gi​(x)

此方法称为线性分类器

如果类线性不可分，则可以采取

  1. 升维
  2. 逐对分离：假定各类别间逐对线性可分，那么，有 K ( K − 1 ) 2 \frac{K(K-1)}{2} 2K(K−1)​个对，建立这么多个线性判别式

在这里插入图片描述

如果k既不属于i也不属于j，则在训练中舍弃样本 x t x^t xt， x t x^t xt为其它类样本

这种不断排除的理念类似决策树

逻辑回归

讨论二值分类的对数线性模型

我们从后验概率 P ( C i ∣ x ) P(C_i|x) P(Ci​∣x)的计算出发，建立学习模型

定义 P ( C 1 ∣ x ) = y , P ( C 2 ∣ x ) = 1 − y P(C_1|x)=y,P(C_2|x)=1-y P(C1​∣x)=y,P(C2​∣x)=1−y

决策为：

在这里插入图片描述

假设两个类别的数据 C 1 , C 2 C_1,C_2 C1​,C2​服从高斯分布，两类别共享协方差矩阵，在此假设下，贝叶斯分类器的判别式 g ( x ) g(x) g(x)是线性的，推导如下：

根据高斯判别分析的结论：

  • 后验概率 P ( C 1 ∣ x ) P(C_1|x) P(C1​∣x)可表示为：

l o g P ( C 1 ∣ x ) P ( C 2 ∣ x ) = w T x + w 0 \begin{align} log\frac{P(C_1|x)}{P(C_2|x)}=w^Tx+w_0 \end{align} logP(C2​∣x)P(C1​∣x)​=wTx+w0​​​

  • 由于 P ( C 2 ∣ x ) = 1 − P ( C 1 ∣ x ) P(C_2|x)=1-P(C_1|x) P(C2​∣x)=1−P(C1​∣x)，上式等价于：

l o g P ( C 1 ∣ x ) 1 − P ( C 1 ∣ x ) = w T x + w 0 = l o g i t ( P ( C 1 ∣ x ) ) \begin{align} log\frac{P(C_1|x)}{1-P(C_1|x)}=w^Tx+w_0=logit(P(C_1|x)) \end{align} log1−P(C1​∣x)P(C1​∣x)​=wTx+w0​=logit(P(C1​∣x))​​

这正是对数几率的定义

  • 对 ( 2 ) (2) (2)移项，得：

P ( C 1 ∣ x ) = 1 1 + e − ( w T + w 0 ) P(C_1|x)=\frac{1}{1+e^{-(w^T+w_0)}} P(C1​∣x)=1+e−(wT+w0​)1​

( 3 ) (3) (3)式为逻辑回归的模型形式，sigmoid。

Logistic函数(也称sigmoid）

P ( C 1 ∣ x ) = 1 1 + e − ( w T + w 0 ) = s i g m o i d ( w T x + w 0 ) P(C_1|x)=\frac{1}{1+e^{-(w^T+w_0)}}=sigmoid(w^Tx+w_0) P(C1​∣x)=1+e−(wT+w0​)1​=sigmoid(wTx+w0​)

在这里插入图片描述

sigmoid函数图像，y>0.5,选C_1

Logistic函数的一般形式

在这里插入图片描述

其中， μ \mu μ为位置参数， γ > 0 \gamma>0 γ>0为形状参数，关于 ( μ , 1 2 ) (\mu,\frac{1}{2}) (μ,21​)对称

逻辑回归

逻辑回归的核心思想，在于不考虑数据分布，假定类似然密度的对数比为线性函数，那么：

l o g P ( x ∣ C 1 ) P ( x ∣ C 2 ) = w T x + w 0 0 \begin{align} log\ \frac{P(x|C_1)}{P(x|C_2)}=w^Tx+w_0^0 \end{align} log P(x∣C2​)P(x∣C1​)​=wTx+w00​​​

通过贝叶斯定理，将后验概率转换为似然比和先验比的乘积：

l o g P ( C 1 ∣ x ) P ( C 2 ∣ x ) = l o g P ( x ∣ C 1 ) P ( x ∣ C 2 ) + l o g P ( C 1 ) P ( C 2 ) \begin{align} log\frac{P(C_1|x)}{P(C_2|x)}=log\frac{P(x|C_1)}{P(x|C_2)}+log\frac{P(C_1)}{P(C_2)} \end{align} logP(C2​∣x)P(C1​∣x)​=logP(x∣C2​)P(x∣C1​)​+logP(C2​)P(C1​)​​​

由公式 ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) (2)(3)(4) (2)(3)(4)得：

l o g i t ( P ( C 1 ∣ x ) ) = w T x + w 0 0 + l o g P ( C 1 ) P ( C 2 ) \begin{align}logit(P(C_1|x))=w^Tx+w^0_0+log\frac{P(C_1)}{P(C_2)} \end{align} logit(P(C1​∣x))=wTx+w00​+logP(C2​)P(C1​)​​​

将 w 0 0 + l o g P ( C 1 ) P ( C 2 ) w^0_0+log\frac{P(C_1)}{P(C_2)} w00​+logP(C2​)P(C1​)​合并为新的偏置项，那么先验概率 P ( C k ) P(C_k) P(Ck​)被吸收到了偏置项，模型仍保持线性：

l o g i t ( P ( C 1 ∣ x ) ) = w T x + w 0 0 logit(P(C_1|x))=w^Tx+w^0_0 logit(P(C1​∣x))=wTx+w00​

处理多类问题

我们推广二值分类至 K > 2 K>2 K>2的情形，假定：

l o g p ( x ∣ C i ) p ( x ∣ C k ) = w i T + w i 0 0 \begin{align} log\frac{p(x|C_i)}{p(x|C_k)}=w_i^T+w_{i0}^0 \end{align} logp(x∣Ck​)p(x∣Ci​)​=wiT​+wi00​​​

进而：

p ( C i ∣ x ) p ( C k ∣ x ) = e w i T + w i 0 , i = 1 , 2 , ⋯ , K − 1 \begin{align} \frac{p(C_i|x)}{p(C_k|x)}=e^{w_i^T+w_{i0}},\quad i=1,2,\cdots,K-1 \end{align} p(Ck​∣x)p(Ci​∣x)​=ewiT​+wi0​,i=1,2,⋯,K−1​​

∑ i = 1 K p ( C i ∣ x ) p ( C K ∣ x ) = 1 p ( C k ∣ x ) = 1 + ∑ j = 1 K − 1 e w j x + w j 0 \begin{align} \sum_{i=1}^K\frac{p(C_i|x)}{p(C_K|x)}=\frac{1}{p(C_k|x)}= 1+\sum_{j=1}^{K-1}e^{w_jx+w_{j0}} \end{align} i=1∑K​p(CK​∣x)p(Ci​∣x)​=p(Ck​∣x)1​=1+j=1∑K−1​ewj​x+wj0​​​

于是:

p ( C k ∣ x ) = 1 1 + ∑ j = 1 K − 1 e w j x + w j 0 \begin{align} p(C_k|x)=\frac{1}{1+\sum_{j=1}^{K-1}e^{w_jx+w_{j0}}} \end{align} p(Ck​∣x)=1+∑j=1K−1​ewj​x+wj0​1​​​

对于其它类别 i = 1 , ⋯ , K − 1 , i=1,\cdots,K-1, i=1,⋯,K−1,由公式 ( 3 ) (3) (3)得：

p ( C i ∣ x ) = e w i x + w i 0 1 + ∑ j = 1 K − 1 e w j x + w 0 \begin{align} p(C_i|x)=\frac{e^{w_ix+w_{i0}}}{1+\sum_{j=1}^{K-1}e^{w_jx+w_0}} \end{align} p(Ci​∣x)=1+∑j=1K−1​ewj​x+w0​ewi​x+wi0​​​​

将公式同一形式，对所有 i = 1 , ⋯ , K : i=1,\cdots,K: i=1,⋯,K:

p ( C i ∣ x ) = e w i x + w i 0 ∑ j = 1 K e w j x + w j 0 , 其中 w K , w K 0 = 0 p(C_i|x)=\frac{e^{w_ix+w_{i0}}}{\sum_{j=1}^Ke^{w_jx+w_{j0}}},其中w_K,w_{K0}=0 p(Ci​∣x)=∑j=1K​ewj​x+wj0​ewi​x+wi0​​,其中wK​,wK0​=0

softmax函数

y i = p ^ ( C i ∣ x ) = e w i x + w 0 ∑ e w j x + w j 0 y_i=\hat p(C_i|x)=\frac{e^{w_ix+w_0}}{\sum e^{w_jx+w_{j0}}} yi​=p^​(Ci​∣x)=∑ewj​x+wj0​ewi​x+w0​​

如果一个类C的判别式加权函数值明显大于其它类的加权和，那么 y i y_i yi​接近于1，将数值限定在了 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]之间，可以用概率表示。

逻辑回归与最大熵模型

逻辑回归和最大熵模型可以认为是同一类模型的不同表现形式。

在这里插入图片描述

逻辑回归的训练——梯度下降法

逻辑回归交叉熵损失函数：

E = − ∑ [ r l o g y + ( 1 − r ) l o g ( 1 − y ) ] E=-\sum [rlogy+(1-r)log(1-y)] E=−∑[rlogy+(1−r)log(1−y)]

对E求偏导,乘以学习率，为更新方向：

△ w j = − η ∂ E ∂ w j = η ∑ ( r − y ) x j \triangle w_j=-\eta\frac{\partial E}{\partial w_j}=\eta\sum(r-y)x_j △wj​=−η∂wj​∂E​=η∑(r−y)xj​

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编程日记 2025/5/1 6:00:10

Canvas基础篇：图形绘制

Canvas基础篇&#xff1a;图形绘制 图形绘制moveTo()lineTo()lineTo绘制一条直线代码示例效果预览 lineTo绘制平行线代码示例效果预览 lineTo绘制矩形代码示例效果预览 arc()arc绘制一个圆代码实现效果预览 arc绘制一段弧代码实现效果预览 arcTo()rect()曲线 结语 图形绘制 在…...

编程日记 2025/5/1 5:59:09

自定义实现elementui的锚点

背景 前不久有个需求&#xff0c;上半部分是el-step步骤条&#xff0c;下半部分是一些文字说明&#xff0c;需要实现点击步骤条中某个步骤自定义定位到对应部分的文字说明&#xff0c;同时滚动内容区域的时候还要自动选中对应区域的步骤。element-ui-plus的有锚点这个组件&…...

编程日记 2025/5/1 5:59:08

基于UNet算法的农业遥感图像语义分割——补充版

前言 本案例希望建立一个UNET网络模型&#xff0c;来实现对农业遥感图像语义分割的任务。本篇博客主要包括对上一篇博客中的相关遗留问题进行解决&#xff0c;并对网络结构进行优化调整以适应个人的硬件设施——NVIDIA GeForce RTX 3050。 本案例的前两篇博客直达链接基于UNe…...

编程日记 2025/5/1 5:59:07

分布式数字身份：迈向Web3.0世界的通行证 | 北京行活动预告

数字经济浪潮奔涌向前&#xff0c;Web3.0发展方兴未艾&#xff0c;分布式数字身份&#xff08;Decentralized Identity&#xff0c;简称DID&#xff09;通过将分布式账本技术与身份治理相融合&#xff0c;在Web3.0时代多方协作的分布式应用场景中发挥核心作用&#xff0c;是构建…...

编程日记 2025/5/1 5:59:06

CentOS网络之network和NetworkManager深度解析

文章目录 CentOS网络之network和NetworkManager深度解析1. CentOS网络服务发展历史1.1 传统network阶段&#xff08;CentOS 5-6&#xff09;1.2 过渡期&#xff08;CentOS 7&#xff09;1.3 新时代&#xff08;CentOS 8&#xff09; 2. network和NetworkManager的核心区别3. ne…...

编程日记 2025/5/9 12:08:36

【XR】MR芯片 和 VR芯片之争

【XR】MR芯片 和 VR芯片之争 1. MR芯片 和 VR芯片 之间的最大差异是什么2. MR芯片 和 VR芯片 之间的最大差异是什么，国内外市场上有哪些芯片，价格如何，市场怎么样，芯片价格怎么样1. MR芯片 和 VR芯片 之间的最大差异是什么 MR芯片（混合现实芯片）与VR芯片（虚拟现实芯片）…...

编程日记 2025/5/1 5:58:04

关于安卓自动化打包docker+jenkins实现

背景 安卓开发过程中&#xff0c;尤其是提测后&#xff0c;会有一个发包的流程。这个流程简单来说&#xff0c;一般都是开发打包&#xff0c;然后发群里&#xff0c;测试再下载&#xff0c;发送到分发平台&#xff0c;然后把分发平台的应用主页发出来&#xff0c;最后群里面的…...

编程日记 2025/5/1 5:58:03

如何使用CAN分析仪验证MCU CAN错误机制

本文通过实验验证CAN控制器的错误处理机制是否符合相关标准。具体而言&#xff0c;我们使用ZPS-CANFD设备&#xff08;ZPS-CANFD介绍&#xff09;作为测量工具&#xff0c;USBCANFD-200U作为被测设备&#xff08;DUT&#xff09;&#xff0c;通过注入特定类型的错误&#xff0c…...

编程日记 2025/5/1 5:58:03

Centos 7安装 NVIDIA CUDA Toolkit

下载 # 查看操作系统信息 uname -m && cat /etc/redhat-release # 查看显卡信息 lspci | grep -i nvidia从NVIDIA CUDA Toolkit官网下载符合你需求的版本&#xff0c;我这里选择的是runfile(local)的方式。 安装 现在完成后进行安装 chmod x cuda_12.4.0_550.54.1…...

编程日记 2025/5/9 16:32:07

软件测试52讲学习分享：深入理解单元测试

课程背景 最近我在学习极客时间的《软件测试52讲》课程&#xff0c;这是由腾讯TEG基础架构部T4级专家茹炳晟老师主讲的认证课程。作为数字化转型与人工智能(DTAI)产业人才基地建设中心的认证课程&#xff0c;内容非常专业实用。今天想和大家分享第3讲"什么是单元测试&…...

编程日记 2025/5/1 5:58:02

90.如何将Maui应用安装到手机（最简） C#例子 Maui例子

今天我来分享一下如何将Maui应用安装到手机上进行测试。 首先&#xff0c;创建一个新的Maui应用项目。 点击运行 在Visual Studio中&#xff0c;点击“运行”按钮&#xff0c;预览应用的初始效果&#xff0c;确保一切正常。 连接设备 使用数据线将手机连接到电脑。确保手机已…...

编程日记 2025/5/1 5:57:00

“100% 成功的 PyTorch CUDA GPU 支持” 安装攻略

#工作记录 一、总述 在深度学习领域&#xff0c;PyTorch 凭借其灵活性和强大的功能&#xff0c;成为了众多开发者和研究者的首选框架。而 CUDA GPU 支持能够显著加速 PyTorch 的计算过程&#xff0c;大幅提升训练和推理效率。然而&#xff0c;安装带有 CUDA GPU 支持的 PyTor…...

编程日记 2025/5/1 5:57:00

如何在Dify沙盒中安装运行pandas、numpy

如何在Dify沙盒中安装运行pandas、numpy 1. 创建python-requirements.txt文件2. 创建config.yaml文件3. 重启 docker-sandbox-14. 为什么要这样改的一些代码解析&#xff08;Youtube视频截图&#xff09; 1. 创建python-requirements.txt文件 在 Dify 的 Docker 目录下面&…...

编程日记 2025/5/1 5:56:59

ES集群搭建及工具类

文章说明 本文主要记录Windows下搭建ES集群的过程&#xff0c;并提供了一个通用的ES工具类&#xff1b;工具类采用http接口调用es功能&#xff0c;目前仅提供了简单的查询功能&#xff0c;可在基础上额外扩展 集群搭建 ES的下载安装非常简单&#xff0c;只需要下载软件的 zip 压…...

编程日记 2025/5/16 16:54:52

抓取工具Charles配置教程（mac电脑+ios手机）

mac电脑上的配置 1. 下载最新版本的Charles 2. 按照以下截图进行配置 2.1 端口号配置&#xff1a; 2.2 https配置 3. mac端证书配置 4. IOS手机端网络配置 4.1 先查看电脑上的配置 4.2 配置手机网络 连接和电脑同一个wifi&#xff0c;然后按照以下截图进行配置 5. 手机端证书…...

编程日记 2025/5/1 5:56:58

JavaScript 代码搜索框

1. 概述与需求分析 功能&#xff1a;在网页中实时搜索用户代码、关键字&#xff1b;展示匹配行、文件名&#xff1b;支持高亮、正则、模糊匹配。非功能&#xff1a;大文件集&#xff08;几十万行&#xff09;、高并发、响应 <100ms&#xff1b;支持增量索引和热更新。 2. …...

编程日记 2025/5/1 5:55:56

ESP32开发-作为TCP服务端接收数据

​​ESP32 ENC28J60 仅作为TCP服务端​​ &#xff08;电脑通过 ​​网络调试助手​​ 连接ESP32&#xff0c;实现双向通信&#xff09; ​​完整代码​​ #include <SPI.h> #include <EthernetENC.h> // 或 UIPEthernet.h// 网络配置 byte mac[] {0xDE, 0xAD…...

编程日记 2025/5/1 5:55:56

数智化招标采购系统针对供应商管理解决方案（采购如何管控供应商）

随着《优化营商环境条例》深化实施&#xff0c;采购领域正通过政策驱动和技术赋能&#xff0c;全面构建供应商全生命周期管理体系&#xff0c;以规范化、数智化推动采购生态向透明、高效、智能方向持续升级。 郑州信源数智化招标采购系统研发商&#xff0c;通过供应商管理子系…...

编程日记 2025/5/16 22:47:11

服务端字符过滤 与 SQL PDO防注入

注入示例 # step 1 SQL SELECT * FROM users WHERE username admin AND password e10adc3949ba59abbe56e057f20f883e # step 2 SQL SELECT * FROM users WHERE username admin# AND password 96e79218965eb72c92a549dd5a330112 关键点是这2个SQL的区别.其中第二步由于前台传…...

编程日记 2025/5/1 5:55:55

章越科技赋能消防训练体征监测与安全保障，从传统模式到智能跃迁的实践探索

引言&#xff1a;智能化转型浪潮下&#xff0c;消防训练的“破局”之需 2021年《“十四五”国家消防工作规划》的出台&#xff0c;标志着我国消防救援体系正式迈入“全灾种、大应急”的全新阶段。面对地震、洪涝、危化品泄漏等复杂救援场景&#xff0c;消防员不仅需要更强的体…...

编程日记 2025/5/1 5:55:54

RSYSLOG收集深信服log

RSYSLOG收集深信服ATRUST日志配置一直不成功&#xff0c;没有生成log文件&#xff0c;网上搜索到&#xff1a;如果你想要接收所有来自特定 IP 的日志&#xff0c;可以使用更通用的模式&#xff1a; 参考着修改配置 if $fromhost-ip 172.18.1.13 then /data/logs/network-devi…...

编程日记 2025/5/1 5:55:54