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堆和二叉树的概念和操作

news 来源：原创 2025/6/10 12:00:47

1.树的概念

1.1数的表示

1.2二叉树

1.3特殊的二叉树

1.3.1满二叉树

1.3.2完全二叉树

1.3.3 二叉树存储结构

2.堆

2.1堆的实现

初始化和销毁

堆的插入

堆的向上调整算法编辑

编辑

堆的删除

出堆顶

1.树的概念

树是非线性的数据结构，有限节点具有的层次关系的集合。

根节点：有且只有一个根节点，没有前驱。其余节点被分成互不相交的树

除根节点外每个节点都有一个前驱节点。

⼀棵N个结点的树有N-1条边

⽗结点/双亲结点：若⼀个结点含有⼦结点，则这个结点称为其⼦结点的⽗结点；如上图：A是B的父结点

⼦结点/孩⼦结点：⼀个结点含有的⼦树的根结点称为该结点的⼦结点；如上图：B是A的孩⼦结点

结点的度：⼀个结点有⼏个孩⼦，他的度就是多少；⽐如A的度为6，F的度为2，K的度为0

树的度：⼀棵树中，最⼤的结点的度称为树的度；如上图：树的度为 6

叶⼦结点/终端结点：度为 0 的结点称为叶结点；如上图： B、C、H、I... 等结点为叶结点

分⽀结点/⾮终端结点：度不为 0 的结点；如上图： D、E、F、G... 等结点为分⽀结点（非叶子节点）

兄弟结点：具有相同⽗结点的结点互称为兄弟结点(亲兄弟)；如上图： B、C 是兄弟结点

结点的层次：从根开始定义起，根为第 1 层，根的⼦结点为第 2 层，以此类推；

树的⾼度或深度：树中结点的最⼤层次；如上图：树的⾼度为 4

结点的祖先：从根到该结点所经分⽀上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先

路径：⼀条从树中任意节点出发，沿⽗节点-⼦节点连接，达到任意节点的序列；⽐如A到Q的路径为： A-E-J-Q；H到Q的路径H-D-A-E-J-Q

⼦孙：以某结点为根的⼦树中任⼀结点都称为该结点的⼦孙。如上图：所有结点都是A的⼦孙

森林：由 m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

1.1数的表示

孩子兄弟表示法

struct TreeNode 
{
Struct Node * child; //第一个孩子节点struct Node  * brother ;//孩子的兄弟节点int  data;//数据域
}

1.2二叉树

二叉树是树形结构的一种。最常⽤的就是⼆叉树，⼀棵⼆叉树是结点的⼀个有限集合，该集合由⼀个根结点加上两棵别称为左⼦树和右⼦树的⼆叉树组成或者为空。

1. ⼆叉树不存在度⼤于 2 的结点

2. ⼆叉树的⼦树有左右之分，次序不能颠倒，因此⼆叉树是有序树

注意：对于任意的⼆叉树都是由以下⼏种情况复合⽽成的

1.3特殊的二叉树

1.3.1满二叉树

每⼀个层的结点数都达到最⼤值，则这个⼆叉树就是满⼆叉树。如果⼀个⼆叉树的层数为 K

且节点总数为2的k次方-1，这个就是满二叉树。

1.3.2完全二叉树

完全⼆叉树是由满⼆叉树⽽引出来的。对于深度为 K 的，有 n 个结点的⼆叉树，当且仅当其每⼀个结点都与深度为K的满⼆叉树中编号从 1 ⾄ n 的结点⼀⼀对应时称之为完全⼆叉树。要注意的是满⼆叉树是⼀种特殊的完全⼆叉树。

除了第k层每层节点的个数都达到最大个数，第k层的个数不一定是最大节点个数

完全二叉树的结点的顺序是从左到右的。

完全二叉树是满二叉树的一种，完全二叉树不一定是满二叉树，满二叉树一定是完全二叉树

根据满⼆叉树的特点可知：

1）若规定根结点的层数为 1 ，则⼀棵⾮空⼆叉树的第i层上最多有 2 的i−1 次方个结点

2）若规定根结点的层数为 1 ，则深度为 h 的⼆叉树的最⼤结点数是 2 的h次方 -1 比特就业课

3）若规定根结点的层数为 1 ，具有 n 个结点的满⼆叉树的深度 h= log 2 (n+1) ( log 以2为底， n+1 为对数)

1.3.3 二叉树存储结构

二叉树有两种存储机构 ：顺序结构、链式结构。

顺序结构

顺序结构存储就是使⽤数组来存储，⼀般使⽤数组只适合表⽰完全⼆叉树，因为不是完全⼆叉树会有空间的浪费，完全⼆叉树更适合使⽤顺序结构存储。

通常把堆（⼀种⼆叉树）使⽤顺序结构的数组来存储，需要注意的是这⾥的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，⼀个是数据结构，⼀个是操作系统中管理内存的⼀块区域分段

链式存储

链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别⽤来给出该结点左孩⼦和右孩⼦所在的链结点的存储地址

2.堆

堆分为大根堆和小跟堆

堆也是一种特殊的二叉树，⼀般堆使⽤顺序结构的数组来存储数据。

上面可以得出小根堆的父节点比子节点要小，大根堆的父节点比子节点要大。

堆总是完全二叉树

二叉树性质

对于具有 n 个结点的完全⼆叉树，如果按照从上⾄下从左⾄右的数组顺序对所有结点从 0 开始编号，则对于序号为 i 的结点有：

用下标来进行

1. 若 i>0 ， i 位置结点的双亲序号： (i-1)/2 ； i=0 ， i 为根结点编号，⽆双亲结点子节点求出父节点

2. 若 2i+1=n 否则⽆左孩⼦

3. 若 2i+2=n 否则⽆右孩

2.1堆的实现

初始化和销毁

堆的插入

大家可以来实现一下这个很类似于单链表的插入

堆的向上调整算法

经过调试后可以看出是小根堆

小根堆的展示方法

堆的删除

先交换首尾结点，后删除尾结点，堆顶向下调整直至child >n

下面我们可以把数组里的数据拆解一下

出堆顶

可以将下面的堆进行排序

结果是没问题的得出的是小根堆

这节课就告一段落了，下个章节见

Heap.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include "Heap.h"
//初始化
void HPInit(HP* php)
{assert(php);php->arr = NULL;php->capacity = php->size = 0;}
//销毁
void HPDestory(HP* php)
{assert(php);if (php->arr){free(php->arr);}php->arr = NULL;php->capacity = php->size = 0;}
//交换数据
void Swap(int* x, int* y)
{int tmp = *x;*x = *y;*y = tmp;}
//向上调整算法
void AdjustUp(HPDatatyp* arr, int child)
{int  parent = (child - 1) / 2;while (child > 0)//当child为0的时候 说明走到了根节点{if (arr[child] < arr[parent]){Swap(&arr[parent], &arr[child]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}}void  HPPush(HP* php,HPDatatyp x)
{assert(php);//判断空间是否足够if (php->size == php->capacity){int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;HPDatatyp* tmp = (HPDatatyp*)realloc(php->arr, newcapacity * sizeof(HPDatatyp));if (tmp == NULL){perror("realloc fail");exit(1);}php->arr = tmp;php->capacity = newcapacity;}php->arr[php->size] = x;AdjustUp(php->arr , php->size );++php->size;
}//向下调整
void  AdjustDown(HPDatatyp* arr, int parent, int n)
{int child = parent * 2 + 1;//左右孩子中找最小的孩子 和父结点比较while (child <n){if (child +1  <n && arr[child] > arr[child + 1]){child++;}if (arr[child] < arr[parent]){Swap(&arr[child], &arr[parent]);//这里记得要传地址parent = child ;child = parent * 2 + 1;}//如果child大于parent 那么就跳出else{break;}}}
void HPPop(HP* php)
{assert(php && php->size);Swap(&php->arr[0], &php->arr[php->size - 1]);//第一步交换首尾结点--php->size;AdjustDown(php->arr, 0, php->size); //向下调整}
bool HPEmpty(HP* php)//堆为空
{assert(php);return  php->size == 0;}HPDatatyp  HPTop(HP* php) // 出堆顶
{assert(php && php->size);return php->arr[0];}

Heap.h

#pragma once
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
#include <stdbool.h>
typedef int HPDatatyp;typedef struct Heap
{HPDatatyp* arr; int size;//个数int capacity; //容量}HP;void HPInit(HP* php);void HPDestory(HP* php);//插入数据void  HPPush(HP* php,HPDatatyp x);//删除数据void HPPop(HP* php);//出堆顶HPDatatyp   HPTop(HP* php);//堆空bool HPEmpty(HP* php);

text,c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include "Heap.h"
void HPtext()
{HP  hp;HPInit(&hp);int arr[] = { 12,34,56,32,43,25,45 };for (int  i = 0; i <= 6; i++){HPPush(&hp, arr[i]); }//HPPop(&hp);while (!HPEmpty(&hp)){printf("%d ", HPTop(&hp));HPPop(&hp);}HPDestory(&hp);}
int main()
{HPtext();return 0;
}

堆和二叉树的概念和操作

目录 1.树的概念 1.1数的表示 1.2二叉树 1.3特殊的二叉树 1.3.1满二叉树 1.3.2完全二叉树 1.3.3 二叉树存储结构 2.堆 2.1堆的实现初始化和销毁堆的插入堆的向上调整算法编辑编辑堆的删除出堆顶 1.树的概念树是非线性的数据结构，有限节点具有的层…...

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