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数据结构——二叉树，堆

news 来源：原创 2025/9/23 22:45:39

1.树

1.1树的概念

1.2树的结构

2.二叉树

2.1二叉树的概念

2.2特殊的二叉树

2.3二叉树的性质

2.4二叉树的存储结构

2.4.1顺序结构

2.4.2链式结构

3.堆

3.1堆的概念

3.2堆的分类

3.3堆的实现

3.3.1初始化

3.3.2堆的构建

3.3.3堆的销毁

3.3.4堆的插入

3.3.5堆的删除

3.3.6取堆顶的数据

3.3.7堆的数据个数

3.3.8堆的判空

3.4堆排序

3.5 TOP-K问题

4.二叉树链式结构的实现

4.1二叉树结构

4.2二叉树遍历

4.2.1前序遍历

4.2.2中序遍历

4.2.3后序遍历

4.2.4层序遍历

4.3基础接口实现

4.3.1二叉树结点个数

4.3.2二叉树的高度

4.3.3 二叉树叶子结点个数

4.3.4 二叉树第k层结点个数

4.3.5 二叉树查找值为x的结点

4.3.6 通过前序遍历的数组构建二叉树

4.3.7 二叉树销毁

4.3.8 判断二叉树是否是完全二叉树

1.树

1.1树的概念

树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的 。

有一个特殊的结点，称为根结点 ，根结点没有前驱结点

除根结点外， 其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1 、 T2 、 …… 、 Tm ，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。因此， 树是递归定义 的。

如图A节点就是根节点，当只有一个节点时，那个节点就是根节点

对于A来说红色圈起来的就是它的子树

结点的度 ：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；如上图： A 的为3

叶结点或终端结点 ：度为 0 的结点称为叶结点；如上图：I 、J 、F 、G，K 结点为叶结点

非终端结点或分支结点 ：度不为 0 的结点；如上图：B，C，D，E，H 结点为分支结点

双亲结点或父结点 ：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图： A 是 B 的父结点,C是F和G的父节点

孩子结点或子结点 ：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图： B 是 A的孩子结点，F和G是C的子节点

兄弟结点 ：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图： B 、 C，D 是兄弟结点

树的度 ：一棵树中，最大的结点的度称为树的度；如上图：树的度为3

结点的层次 ：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子结点为第 2 层，以此类推；

树的高度或深度 ：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为 4

结点的祖先 ：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是 A 的子孙

森林：由 m （ m>0 ）棵互不相交的树的集合称为森林；

在树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2树的结构

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了， 既然保存值域，也要保存结点和结点之间 的关系 ，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法 。

typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* firstChild1; // 第一个孩子结点struct Node* pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点DataType data; // 结点中的数据域
};

2.二叉树

2.1二叉树的概念

树的度为2的树，可以为空，也可以只有一个（根）节点，只有左右子树和节点

2.2特殊的二叉树

1. 满二叉树 ：一个二叉树，如果每一个层的结点数都为2，则这个二叉树就是满二叉树。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为h的树，h-1层是满二叉树，同时第h层的节点是连续的就是完全二叉树

对于下面这个图，由于第h层的节点是不连续的，因此不是一个完全二叉树

2.3二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为 1 ，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2 *（i-1）个结点（*代表次方）

2. 若规定根结点的层数为 1 ，则 深度为 h的二叉树的最大结点数是 2*h-1（*代表次方)

3. 对任何一棵二叉树 , 如果度为 0 其叶结点个数为 , 度为 2 的分支结点个数为 , 则有＝＋ 1

4. 若规定根结点的层数为 1 ，具有 n 个结点的满二叉树的深度 ， h=log（n+1）

(ps ：是log 以 2为底，n+1 为对数 )

5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从 0 开始编号，则对于序号为i 的结点有：

        1. 若 i>0 ， i 位置结点的双亲序号： (i-1)/2 ； i=0 ， i 为根结点编号，无双亲结点

        2. 若 2i+1<n ，左孩子序号： 2i+1 ， 2i+1>=n 否则无左孩子

        3. 若 2i+2<n ，右孩子序号： 2i+2 ， 2i+2>=n 否则无右孩子

2.4二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构

2.4.1顺序结构

顺序结构存储就是使用 数组来存储 ，一般使用数组 只适合表示 完全二叉树 ，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆后面的会专门讲解。二叉树顺 序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

对于不是完全二叉树，就会浪费很多空间

2.4.2链式结构

用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是

链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我一般都是二叉链。

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* left; // 指向当前结点左孩子struct BinTreeNode* right; // 指向当前结点右孩子BTDataType data; // 当前结点值域
}

// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* parent; // 指向当前结点的双亲struct BinTreeNode* left; // 指向当前结点左孩子struct BinTreeNode* right; // 指向当前结点右孩子int data; // 当前结点值域
}；

3.堆

3.1堆的概念

注意：这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

就是一种二叉树，储存的方式是数组

3.2堆的分类

完全二叉树用数组存储堆有两种类型一种是小跟堆，一种是大根堆

小跟堆：任何一个父节点<=子节点

逻辑

存储

大根堆：任何一个父节点>=子节点

逻辑

存储

3.3堆的实现

创建文件不再叙述

3.3.1初始化

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* _a;int _size;int _capacity;
}Heap;

3.3.2堆的构建

void HeapCreate(Heap* hp)
{assert(hp);hp->_a = NULL;hp->_capacity = hp->_size = 0;
}

3.3.3堆的销毁

void HeapDestory(Heap* hp)
{assert(hp);free(hp->_a);hp->_a = NULL;hp->_capacity = hp->_size = 0;
}

3.3.4堆的插入

当插入一个数据时，此时可能不符合小堆（大堆），因此插入一个数据化，要对数据进行调整，此时我们就要用到向上调整算法

用小堆举例

当我们数据插入到最后一位时，根据小堆性质（任何一个父节点<=子节点）与当前节点的父节点比较，如果父节点>子节点,交换数据，如此重复，直到父节点<=子节点，或者子节点在数组的位置<=0跳出；

//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* HP, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;//找到父节点while (child > 0){if (HP[parent] > HP[child])//建小堆,父节点<=子节点{swap(&HP[parent], &HP[child]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}//if (HP[parent] < HP[child])//建大堆,父节点>=子节点//{//	swap(&HP[parent], &HP[child]);//	child = parent;//	parent = (child - 1) / 2;//}else{break;}}
}
//交换数据
void swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)
{assert(hp);//扩容if (hp->_capacity == hp->_size){int tmp = hp->_capacity == 0 ? 4 : 2 * hp->_capacity;HPDataType* new = (HPDataType*)ralloc(hp->_a, 2 * sizeof(HPDataType));if (new == NULL){perror("new");return;}hp->_capacity = tmp;hp->_a = new;}hp->_a[hp->_size++] = x;向上调整AdjustUp(hp->_a, hp->_size - 1);//第一个参数的数组指针，第二个参数是x在数组的位置
}

3.3.5堆的删除

对于堆的删除，我们不是删除堆的最后一个元素，而是删除堆顶的数据，也就是根节点的数据，对于根节点数据的删除，我们不能直接把数组的一个数据覆盖（根节点的数据）

我们发现直接覆盖根节点，父子关系就会混乱，同时小堆（大堆）的特性也会消失

这里，我们就可以用到，向下调整算法

同样用小堆举例

当删除数据之前，先把堆顶元素与最后一个元素交换，之后删除最后一个元素，对堆顶数据进行向下调整，当数据交换后，根据小堆性质（任何一个父节点<=子节点）,先判断左右子节点那个小，与较小的子节点比较，如果父节点>子节点,交换数据，如此重复，直到父节点数据<=子节点数据，或者子节点在数组的位置>=n（数组内有效数组个数后一位）跳出；

void AdjustDown(HPDataType* HP, int  n,int parent)
{//假设左孩子小int child = parent * 2 + 1;while (child < n){if (child+1<n && HP[child] > HP[child + 1]){child++;}if (HP[child] < HP[parent]){swap(&HP[child], &HP[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}//假设左孩子大//if (child + 1 < n && HP[child] > HP[child + 1])//大堆//{//	child++;//}//if (HP[child] > HP[parent])//{//	swap(&HP[child], &HP[parent]);//	parent = child;//	child = parent * 2 + 1;//}else{break;}}
}
void HeapPop(Heap* hp)
{assert(hp);assert(hp->_size > 0);Swap(&hp->_a[0], &hp->_a[hp->_size - 1]);hp->_size--;AdjustDown(hp->_a, hp->_size, 0);
}

其实这里有点有排序的意味，当我们每次pop都是堆里最小的元素，当pop完整个数组，对于小堆，就可以获取一份从小到大的数据，但是这里并不是排序，这里我们只是打印排序，并没有把数组中的元素排序

3.3.6取堆顶的数据

HPDataType HeapTop(Heap* hp)
{assert(hp);assert(hp->_size > 0);return hp->_a[0];
}

3.3.7堆的数据个数

int HeapSize(Heap* hp)
{assert(hp);return hp->_size;
}

3.3.8堆的判空

// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp)
{return hp->_size == 0;
}

3.4堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，首先第一步就是对数据建堆，那到底是建大堆还是建小堆？

首先来看看当要排一个升序的数组时，可以用向上调整算法建一个小堆试试，发现数组第一个数不需要动，因为小堆的根节点是最小的数，向下调整对剩下的数据进行排序，这时我们发现父子关系全乱了

因此对升序的数，我们可以建大堆，当建大堆后，我们可以把根节点的数与最后一个数交换，此时，最后一个数就是整个数组中最大的数，之后可以不用动最后一个位置的数，在向下调整，如此重复，数组就有序了

void HeapSort()
{int a[] = { 4,8,1,5,6,9,7,3,2};Heap hp;//升序建大堆//降序建小堆int n = sizeof(a) / sizeof(int);for (int i = 0; i <n; i++){AdjustUp(a, i);}int end = n-1;//最后一个元素的位置while (end > 0){Swap(&a[0], &a[end]);AdjustDown(a, end, 0);end--;}for (int i = 0; i < n; i++){printf("%d ", a[i]);}
}

对于向上调整建堆，它的时间复杂度是O(N*logN)

当我们用向下调整算法建堆时，时间复杂度为O(N)(此文章不做证明，有兴趣可以去查询)

void HeapSort()
{int a[] = { 4,8,1,5,6,9,7,3,2};Heap hp;//升序建大堆//降序建小堆int n = sizeof(a) / sizeof(int);int end = n-1;//最后一个元素的位置for (int i = (end - 1) / 2; i >= 0; i--)//(end - 1) / 2求父亲节点{AdjustDown(a, i, 0);}while (end > 0){Swap(&a[0], &a[end]);AdjustDown(a, end, 0);end--;}for (int i = 0; i < n; i++){printf("%d ", a[i]);}
}

3.5 TOP-K问题

TOP-K 问题：即求数据结合中前 K 个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大 。

比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。

对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，例如100亿，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。

因此我们就可以利用堆数据结构进行排序，

eg:我们要找到世界前100游戏高手，创建一个只有100个数据的小堆，当堆内的数据满后，每次插入的数据，与根节点比较，如果比根节点大，当前数据就和根节点数据交换，之后向下调整，如此重复，直到选出世界前100游戏高手

前 k 个最大的元素，则建小堆

前 k 个最小的元素，则建大堆

//创建数据
void CreateNDate()
{// 造数据int n = 100000;srand(time(0));const char* file = "data.txt";FILE* fin = fopen(file, "w");if (fin == NULL){perror("fopen error");return;}for (int i = 0; i < n; ++i){int x = (rand() + i) % 10000000;fprintf(fin, "%d\n", x);}fclose(fin);
}
void TestHeap()
{int k;printf("请输入k>:");scanf("%d", &k);int* kminheap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);if (kminheap == NULL){perror("malloc fail");return;}const char* file = "data.txt";FILE* fout = fopen(file, "r");if (fout == NULL){perror("fopen error");return;}// 读取文件中前k个数for (int i = 0; i < k; i++){fscanf(fout, "%d", &kminheap[i]);}// 建K个数的小堆for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){AdjustDown(kminheap, k, i);}// 读取剩下的N-K个数int x = 0;while (fscanf(fout, "%d", &x) > 0)//读取文件剩下的数据{if (x > kminheap[0]){kminheap[0] = x;AdjustDown(kminheap, k, 0);}}printf("最大前%d个数：", k);for (int i = 0; i < k; i++){printf("%d ", kminheap[i]);}printf("\n");
}int main()
{//创建数据CreateNDate();TestHeap();return 0;
}

如何确定这前k个数是最大的，在创建数据时可以模上一个数，int x = (rand() + i) % 10000000;

就像这样，代表随机出来的数不可能超过10000000，之后我们可以在文件中改变几个数据，让这几个数据大于10000000，然后运行程序，看看前k个数是否为你改的几个数。

4.二叉树链式结构的实现

4.1二叉树结构

二叉树：

1. 空树

2. 非空：根结点，根结点的左子树、根结点的右子树组成的。

typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType _data;struct BinaryTreeNode* _left;struct BinaryTreeNode* _right;
}BTNode;

在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，但是这里我们就手动的创建一颗树

BTNode* BuyNode(int x)
{BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (node == NULL){perror("malloc fail");return NULL;}node->_data = x;node->_left = NULL;node->_right = NULL;return node;
}
BTNode* CreatBinaryTree()
{BTNode* node1 = BuyNode(1);BTNode* node2 = BuyNode(2);BTNode* node3 = BuyNode(3);BTNode* node4 = BuyNode(4);BTNode* node5 = BuyNode(5);BTNode* node6 = BuyNode(6);node1->_left = node2;node1->_right = node4;node2->_left = node3;node4->_left = node5;node4->_right = node6;return node1;
}

注意：上述代码并不是创建二叉树的方式

4.2二叉树遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓 二叉树遍历 (Traversal) 是按照某种特定的规则，依次对二叉 树中的结点进行相应的操作，并且每个结点只操作一次 。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。

按照规则，二叉树的遍历有：前序 / 中序 / 后序的递归结构遍历

1. 前序遍历 (Preorder Traversal 亦称先序遍历 )—— 访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。

2. 中序遍历 (Inorder Traversal)—— 访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。

3. 后序遍历 (Postorder Traversal)—— 访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以 N(Node ）、 L(Left subtree ）和 R(Right subtree ）又可解释为 根、根的左子树和根的右子树 。 NLR 、 LNR 和 LRN 分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

4.2.1前序遍历

根左子树右子树

void PrevOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("N ");return;}printf("%d ", root->_data);PrevOrder(root->_left);PrevOrder(root->_right);
}

4.2.2中序遍历

左子树根右子树

void InOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("N ");return;}InOrder(root->_left);printf("%d ", root->_data);InOrder(root->_right);
}

4.2.3后序遍历

左子树右子树根

void Postorde(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("N ");return;}Postorde(root->_left);Postorde(root->_right);printf("%d ", root->_data);
}

4.2.4层序遍历

每层每层遍历

遍历的结果就是1,2,3,4,5,6，而这种遍历则需要用到队列来实现，当把1放进队列，把1的左右节点放进队列，把1丢出，再把2和4的左右节点放进队列，把2,4丢出，重复如此，就完成了层序遍历

void LevelOrder(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);//初始化队列if (root){QueuePush(&q, root);}while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);printf("%d ", front->_data);if (front->_left){QueuePush(&q,front->_left);}if (front->_right){QueuePush(&q, front->_right);}}QueueDestroy(&q);//队列销毁
}

4.3基础接口实现

4.3.1二叉树结点个数

int size = 0;
int TreeSize(BTNode* root)
{if (root == NULL)return 0;else++size;TreeSize(root->_left);TreeSize(root->_right);return size;
}

对于这个程序，每次我们调用都要使size=0，我们可以优化一下

int TreeSize(BTNode* root)
{return root == NULL ? 0 :TreeSize(root->_left) + TreeSize(root->_right) + 1;
}

这个就相当于左子树的节点+右子树的节点+1（自己本身）

4.3.2二叉树的高度

int TreeHeight(BTNode* root)
{if (root == NULL)return 0;return TreeHeight(root->left) > TreeHeight(root->right) ?TreeHeight(root->left) + 1 : TreeHeight(root->right) + 1;
}

这个程序有一些效率问题，每次判断完后，还要进入递归，导致重复计算很多，效率很低，因此可以用一个变量来存储

int TreeHeight(BTNode* root)
{if (root == NULL)return 0;int leftHeight = TreeHeight(root->_left);int rightHeight = TreeHeight(root->_right);return leftHeight > rightHeight ?leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}

4.3.3 二叉树叶子结点个数

int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}if (root->_left == NULL && root->_right == NULL)//判断是否是叶子节点{return 1;}return BinaryTreeLeafSize(root->_left)+BinaryTreeLeafSize(root->_right);//递归左右子树}

4.3.4 二叉树第k层结点个数

int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)//根节点为第一层
{if (k == 1){return 1;}if (root == NULL){return 0;}return BinaryTreeLevelKSize(root->_left, k - 1) +BinaryTreeLevelKSize(root->_right, k - 1);//递归左右子树
}

4.3.5 二叉树查找值为x的结点

BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{if (root->_data == x){return root;}BTNode* ret = BinaryTreeFind(root->_left, x);//存储结果if (ret)//当查到就返回{return ret;}return BinaryTreeFind(root->_right, x);
}

4.3.6 通过前序遍历的数组构建二叉树

// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(char* a, int n, int* pi)//char*a代表要构建的数据 n代表a内的数据个数
{if (a[*pi] == '#'){(*pi)++;return NULL;}if (n == *pi){return NULL;}BTNode* ret = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));ret->_data = a[(*pi)++];ret->_left = BinaryTreeCreate(a,n,pi);ret->_right = BinaryTreeCreate(a,n,pi);return ret;
}

4.3.7 二叉树销毁

对于二叉树的销毁，要选择后序遍历，如果选择前中序遍历销毁，就无法找到所有节点

void BinaryTreeDestory(BTNode* root)
{if (root == NULL)return;TreeDestory(root->_left);TreeDestory(root->_right);free(root);
}

4.3.8 判断二叉树是否是完全二叉树

如果要判断满二叉树，我们可以利用满二叉树的性质，节点数量判断，但是完全二叉树就不行，因为可能会是下列这种情况

我们可以利用层序遍历方式

当第一次遇到空时，判断后面是否都为空，如果为空则是完全二叉树，如果不为空就不是

int BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);if (root){QueuePush(&q, root);}while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (front == NULL){break;}if (front->_left){QueuePush(&q, front->_left);}if (front->_right){QueuePush(&q, front->_right);}}while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);// 如果有非空，就不是完全二叉树if (front){QueueDestroy(&q);return false;}}QueueDestroy(&q);return true;
}

1.树

1.1树的概念

1.2树的结构

2.二叉树

2.1二叉树的概念

2.2特殊的二叉树

2.3二叉树的性质

2.4二叉树的存储结构

2.4.1顺序结构

2.4.2链式结构

3.堆

3.1堆的概念

3.2堆的分类

3.3堆的实现

3.3.1初始化

3.3.2堆的构建

3.3.3堆的销毁

3.3.4堆的插入

3.3.5堆的删除

3.3.6取堆顶的数据

3.3.7堆的数据个数

3.3.8堆的判空

3.4堆排序

3.5 TOP-K问题

4.二叉树链式结构的实现

4.1二叉树结构

4.2二叉树遍历

4.2.1前序遍历

4.2.2中序遍历

4.2.3后序遍历

4.2.4层序遍历

4.3基础接口实现

4.3.1二叉树结点个数

4.3.2二叉树的高度

4.3.3 二叉树叶子结点个数

4.3.4 二叉树第k层结点个数

4.3.5 二叉树查找值为x的结点

4.3.6 通过前序遍历的数组构建二叉树

4.3.7 二叉树销毁

4.3.8 判断二叉树是否是完全二叉树

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