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【随机过程】柯尔莫哥洛夫微分方程总结

news 来源：原创 2025/7/16 15:12:40

柯尔莫哥洛夫微分方程：用“水流扩散”理解概率演化

1. 核心思想

柯尔莫哥洛夫微分方程（Kolmogorov Equations）是描述**连续时间马尔可夫过程（CTMC）**中概率分布随时间演化的工具。

前向方程（Fokker-Planck方程）：描述“当前概率如何流向未来”。
后向方程：描述“未来状态如何依赖初始条件”。

类比：
想象一杯水中滴入墨水，墨水分子随机扩散：

前向视角：已知当前墨水的分布，预测未来的扩散形状。
后向视角：已知最终扩散范围，反推初始墨水的位置。

2. 数学背景：连续时间马尔可夫链

状态空间：系统可能处于的状态集合（如{健康, 生病}）。
转移速率：状态间的瞬时转移概率速率，由生成元矩阵Q表示。
- 例如，Q矩阵中的元素 $q_{ij}$ 表示从状态 $i$ 到 $j$ 的转移速率（ $\neq j$ ）。
- 对角线元素 $q_{ii} = -\sum_{j \neq i} q_{ij}$ ，保证每行和为0。

3. 柯尔莫哥洛夫前向方程

目标：给定当前时刻 $t$ 的概率分布 $P (t)$ ，求未来时刻的概率分布 $P(t+\Delta t)$ 。
方程形式：
$\frac{dP(t)}{dt} = P(t) \cdot Q$
解释：

左边：概率分布随时间的变化率。
右边：当前概率分布 $P (t)$ 与生成元矩阵 $Q$ 的乘积，表示状态间的概率流动。
直观理解：
每个状态 $i$ 的概率变化由“流入”和“流出”的速率决定。
例如：
- 健康状态的概率减少（流出），生病的概率增加（流入）。

4. 柯尔莫哥洛夫后向方程

目标：给定未来时刻 $t$ 的条件概率 $\mid s)$ （ $s < t$ ），求其如何依赖初始时刻 $s$ 。
方程形式：
$\frac{dP(t \mid s)}{ds} = -Q \cdot P(t \mid s)$
解释：

左边：条件概率随初始时间 $s$ 的变化率。
右边：生成元矩阵 $Q$ 与条件概率的乘积，表示初始条件的反向影响。
直观理解：
初始时刻的状态选择，会影响未来概率的演化路径。
例如：
- 若初始时健康概率高，未来生病的概率演化会不同。

5. 一个简单例子：生灭过程

场景：某细菌种群数量随时间变化，状态为当前数量 $n$ 。

生成元矩阵Q：
- $q_{n, n+1} = \lambda_n$ （出生率）；
- $q_{n, n-1} = \mu_n$ （死亡率）；
- $q_{n,n} = -(\lambda_n + \mu_n)$ 。

前向方程应用：
$\frac{dP_n(t)}{dt} = \lambda_{n-1} P_{n-1}(t) + \mu_{n+1} P_{n+1}(t) - (\lambda_n + \mu_n) P_n(t)$
解释：

第 $n$ 个状态的概率变化 = 从 $n - 1$ 出生流入 + 从 $n + 1$ 死亡流入 - 自身流出。

6. 实际应用场景

物理学：布朗运动的扩散方程。
金融学：期权定价中的随机波动率模型。
生物学：基因表达水平的随机演化。
排队论：服务系统中顾客到达和离开的动态。

7. 核心公式总结

方程类型	公式	物理意义
前向方程	$\frac{dP(t)}{dt} = P(t) Q$	当前状态决定未来概率流
后向方程	$\frac{dP(t \mid s)}{ds} = -Q P(t \mid s)$	初始条件影响未来演化路径

8. 总结

柯尔莫哥洛夫方程是连续时间马尔可夫过程的“动力学方程”，通过生成元矩阵 $Q$ 量化概率流动。
前向方程：预测未来，常用于实际模拟（如天气预报）。
后向方程：反推初始，用于优化控制（如机器人路径规划）。
核心价值：将随机过程的复杂性转化为微分方程的可计算形式。

一句话记住：

“前向看未来，后向溯源头，Q矩阵驱动概率流！”

更多例子详解：柯尔莫哥洛夫方程的应用

例1：电话呼叫中心模型（前向方程）

场景：呼叫中心在时间段 $[0, t]$ 内接到的电话数 $N (t)$ 是一个泊松过程，但考虑接线员处理电话的速率有限。
状态：当前等待处理的电话数 $n$ （状态空间为 $\dots$ ）。
转移速率：

呼入速率： $\lambda$ （单位时间新来电数）；
处理速率：每个通话处理速率为 $\mu$ ，若有 $n$ 个通话在处理，则总处理速率为 $\mu$ 。

生成元矩阵 $Q$ ：
$q_{n, n+1} = \lambda \quad (\text{来电增加})，\quad q_{n, n-1} = n \mu \quad (\text{处理完成减少})，\quad q_{n,n} = -(\lambda + n \mu).$
前向方程：
$\frac{dP_n(t)}{dt} = \lambda P_{n-1}(t) + (n+1)\mu P_{n+1}(t) - (\lambda + n\mu) P_n(t).$
解释：

第一项：从 $n - 1$ 状态新增一个来电的概率流；
第二项：从 $n + 1$ 状态完成一个通话的概率流；
第三项：从 $n$ 状态流出（新来电或处理完成）。
应用：预测未来时刻的排队长度，优化接线员数量。

例2：传染病传播模型（后向方程）

场景：某社区有 $N$ 人，初始有 $k$ 人感染，疾病传播速率为 $\beta$ ，康复速率为 $\gamma$ 。
目标：计算在时间 $t$ 时，初始感染者对最终感染规模的影响。
状态：当前感染人数 $n$ 。
转移速率：

感染： $q_{n, n+1} = \beta n (N - n)$ （健康者被感染）；
康复： $q_{n, n-1} = \gamma n$ （感染者康复）。

后向方程：
定义 $P_{ij}(t)$ 为从状态 $i$ 到 $j$ 的概率，后向方程为：
$\frac{dP_{ij}(t)}{dt} = \sum_{k \neq i} q_{ik} \left[ P_{kj}(t) - P_{ij}(t) \right].$
应用：

若已知最终感染人数 $j$ ，反推初始感染人数 $i$ 的可能性；
评估防控措施（如降低 $\beta$ ）对传播的影响。

例3：股票价格跳跃扩散模型（前向方程）

场景：股票价格 $S (t)$ 服从跳跃扩散过程，包含连续波动（布朗运动）和随机跳跃（泊松过程）。
状态：价格对数 $\ln S(t)$ 。
生成元：

扩散项：波动率 $\sigma$ ，漂移率 $\mu$ ；
跳跃项：跳跃强度 $\lambda$ ，跳跃幅度服从正态分布 $N(\mu_J, \sigma_J^2)$ 。

前向方程（Fokker-Planck方程）：
$\frac{\partial p(x, t)}{\partial t} = -\mu \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} + \lambda \int_{-\infty}^{\infty} \left[ p(x - y, t) - p(x, t) \right] f_J(y) dy,$
其中 $f_J(y)$ 是跳跃幅度的概率密度。
解释：

前两项描述连续扩散；
最后一项描述跳跃事件的概率流。
应用：期权定价、风险管理。

例4：设备故障维修系统（后向方程）

场景：一台设备有两种状态：正常（状态0）和故障（状态1），故障率 $\lambda$ ，修复率 $\mu$ 。
目标：计算设备在时间 $t$ 前发生故障的概率，假设初始状态为正常。
生成元矩阵 $Q$ ：
$\begin{pmatrix} -\lambda & \lambda \\ \mu & -\mu \end{pmatrix}.$
后向方程：
设 $P_{01}(t)$ 为从正常到故障的概率，方程为：
$\frac{dP_{01}(t)}{dt} = \lambda \left[ 1 - P_{01}(t) \right] - \mu P_{01}(t).$
解：
$P_{01}(t) = \frac{\lambda}{\lambda + \mu} \left( 1 - e^{-(\lambda + \mu)t} \right).$
应用：评估设备可靠性，优化维修策略。

对比总结

例子	方程类型	核心思想	应用领域
电话呼叫中心	前向方程	预测未来排队长度	运营优化
传染病传播	后向方程	反推初始感染影响	流行病学
股票价格模型	前向方程	描述价格分布的扩散与跳跃	金融工程
设备故障维修	后向方程	计算故障概率依赖初始状态	可靠性工程

核心结论

前向方程：
- 关注点：从当前状态预测未来概率分布。
- 典型场景：排队系统、金融市场、化学反应动力学。
后向方程：
- 关注点：从未来结果反推初始条件或路径依赖。
- 典型场景：传染病溯源、设备寿命分析、最优控制问题。

关键技巧：

前向方程直接对概率分布建模，适合正向模拟；
后向方程通过条件概率关联初始状态，适合逆向推理。

一句话理解：

“前向方程是望远镜，预测未来的概率云；后向方程是显微镜，追溯初始的因果链。”

柯尔莫哥洛夫微分方程的严格定义与矩阵形式的对应关系

课本中的定义与矩阵形式的柯尔莫哥洛夫方程本质一致，但视角不同。以下是详细对比与解释：

1. 课本中的定义

(1) 柯尔莫哥洛夫向后方程

$p_{ij}'(t) = -q_i \cdot p_{ij}(t) + \sum_{k \neq i} q_{ik} \cdot p_{kj}(t)$

变量含义：
-$p_{ij}(t) $：从状态$ i $出发，在时间$ t $后处于状态$ j $的概率。 -$ q_i = \sum_{k \neq i} q_{ik} $：状态$ i $的总转出速率。 -$ q_{ik} $：从状态$ i $到$ k$的转移速率。
方程意义：
转移概率的变化率由两部分组成：
1. 流出项：由于状态 $i$ 以速率 $q_i$ 离开，导致 $p_{ij}(t)$ 的减少（对应 $q_i p_{ij}(t)$ ）；
2. 流入项：其他状态 $k$ 通过速率 $q_{ik}$ 转移到 $j$ 的贡献（对应 $\sum_{k \neq i} q_{ik} p_{kj}(t)$ ）。

(2) 柯尔莫哥洛夫向前方程

$p_{ij}'(t) = \sum_{k \neq j} p_{ik}(t) \cdot q_{kj} - p_{ij}(t) \cdot q_j$

变量含义：
-$q_j = \sum_{k \neq j} q_{jk} $：状态$ j $的总转出速率。 -$ q_{kj} $：从状态$ k $到$ j$的转移速率。
方程意义：
转移概率的变化率同样由两部分组成：
1. 流入项：其他状态 $k$ 以速率 $q_{kj}$ 转移到 $j$ 的贡献（对应 $\sum_{k \neq j} p_{ik}(t) q_{kj}$ ）；
2. 流出项：状态 $j$ 以速率 $q_j$ 离开，导致 $p_{ij}(t)$ 的减少（对应 $p_{ij}(t) q_j$ ）。

2. 矩阵形式的柯尔莫哥洛夫方程

定义概率分布行向量$\mathbf{P}(t) = [P_1(t), P_2(t), \dots] $，其中$ P_j(t) $表示时刻$ t $处于状态$ j $的概率。生成元矩阵$ Q$满足：

对角线元素$Q_{ii} = -q_i $；
非对角线元素$Q_{ij} = q_{ij} $（$ i \neq j $）。

(1) 前向方程（Forward Equation）

$\frac{d\mathbf{P}(t)}{dt} = \mathbf{P}(t) \cdot Q$

对应课本方程：对每个状态$j $，展开矩阵乘法后得到：
$\frac{dP_j(t)}{dt} = \sum_{k} P_k(t) Q_{kj} = \sum_{k \neq j} P_k(t) q_{kj} - P_j(t) q_j,$
与课本的向前方程完全一致。

(2) 后向方程（Backward Equation）

$\frac{d\mathbf{P}(t)}{dt} = Q \cdot \mathbf{P}(t)$

对应课本方程：对每个状态$i $，展开矩阵乘法后得到：
$\frac{dP_{ij}(t)}{dt} = \sum_{k} Q_{ik} P_{kj}(t) = -q_i P_{ij}(t) + \sum_{k \neq i} q_{ik} P_{kj}(t),$
与课本的向后方程完全一致。

3. 两种形式的等价性

课本方程：从单个转移概率 $p_{ij}(t)$ 的微分方程出发，描述微观状态转移。
矩阵形式：从概率分布向量 $\mathbf{P}(t)$ 的演化出发，描述宏观概率流动。
核心关系：
- 前向方程是行向量与生成元矩阵的右乘；
- 后向方程是生成元矩阵与列向量的左乘。

4. 应用场景对比

方程类型	适用场景	例子
前向方程	已知当前分布，预测未来概率	预测未来时刻的排队长度、种群数量演化
后向方程	已知最终结果，反推初始条件	计算设备故障的初始影响、传染病溯源

5. 生灭过程的两种方程对比

以生灭过程为例，状态 $i$ 表示个体数，转移速率$q_{i,i+1} = \lambda_i $，$ q_{i,i-1} = \mu_i $。

前向方程（矩阵形式）：
$\frac{dP_j(t)}{dt} = \lambda_{j-1} P_{j-1}(t) + \mu_{j+1} P_{j+1}(t) - (\lambda_j + \mu_j) P_j(t).$
后向方程（课本形式）：
$\frac{dp_{ij}(t)}{dt} = -(\lambda_i + \mu_i) p_{ij}(t) + \lambda_i p_{i+1,j}(t) + \mu_i p_{i-1,j}(t).$
两者描述同一过程，只是视角不同：前向方程关注整体分布演化，后向方程关注单个转移路径。

总结

课本定义与矩阵形式本质一致，只是表达方式不同：
- 课本定义从单个转移概率 $p_{ij}(t)$ 出发，适合理论推导；
- 矩阵形式从概率分布向量出发，适合实际计算和编程实现。
前向方程和后向方程分别对应“预测未来”和“追溯源头”的需求。
符号一致性：
- 生成元矩阵 $Q$ 的非对角线元素 $q_{ij}$ 对应课本的转移速率；
- 矩阵方程通过乘法规则将微观转移速率汇总为宏观概率流。

一句话理解：

课本方程是“微观视角的微分方程”，矩阵形式是“宏观视角的动力学法则”，两者殊途同归。

切普曼-柯尔莫哥洛夫方程（Chapman-Kolmogorov 方程）详解

1. 基本定义

切普曼-柯尔莫哥洛夫方程（Chapman-Kolmogorov Equation）是马尔可夫过程中的核心方程，用于描述多步转移概率之间的关系。它表明，从状态 $i$ 到状态 $j$ 的 $n + m$ 步转移概率，可以通过中间状态 $k$ 的 $n$ 步和 $m$ 步转移概率的乘积之和来计算。

数学形式：
对于离散时间马尔可夫链（DTMC）：
$P_{ij}^{(n+m)} = \sum_{k} P_{ik}^{(n)} P_{kj}^{(m)},$
对于连续时间马尔可夫链（CTMC）：
$P_{ij}(t + s) = \sum_{k} P_{ik}(t) P_{kj}(s).$

2. 直观解释

物理意义：
若系统从状态 $i$ 出发，经过时间（或步数） $t + s$ 到达状态 $j$ ，则所有可能的路径可以分解为：
1. 先经过时间 $t$ 到达某个中间状态 $k$ ；
2. 再从 $k$ 经过时间 $s$ 到达状态 $j$ 。
  方程将所有中间路径的概率求和，得到总体的转移概率。
类比：
类似于计算从北京到上海的旅行时间，可以分解为“北京→南京”和“南京→上海”两段路程的时间组合。

3. 应用场景

离散时间马尔可夫链（DTMC）：
- 计算多步转移概率矩阵。例如，若已知一步转移矩阵 $P$ ，则 $n$ 步转移矩阵为 $P^n$ 。
- 验证状态间的可达性和周期性。
连续时间马尔可夫链（CTMC）：
- 结合生成元矩阵 $Q$ ，推导柯尔莫哥洛夫前向/后向方程。
- 计算时间 $t$ 后的状态分布 $P (t)$ 。

4. 与柯尔莫哥洛夫微分方程的关系

Chapman-Kolmogorov 方程是马尔可夫过程的基本公理，适用于离散和连续时间。
柯尔莫哥洛夫微分方程（前向/后向方程）是 Chapman-Kolmogorov 方程在连续时间下的微分形式，通过取极限 $\to 0$ 或 $\to 0$ 推导而来。

推导示意（连续时间）：
假设 $\to 0$ ，展开 $P_{ij}(t + s)$ 并利用生成元矩阵 $Q$ ，可导出柯尔莫哥洛夫前向方程：
$\frac{dP(t)}{dt} = P(t) \cdot Q.$

5. 经典例子

场景：天气预报模型，状态为 {晴, 雨}，转移概率矩阵为：
$\begin{pmatrix} 0.7 & 0.3 \\ 0.4 & 0.6 \end{pmatrix}.$
计算两天后的转移概率 $P^{(2)}$ ：
$P^{(2)} = P \cdot P = \begin{pmatrix} 0.7 \cdot 0.7 + 0.3 \cdot 0.4 & 0.7 \cdot 0.3 + 0.3 \cdot 0.6 \\ 0.4 \cdot 0.7 + 0.6 \cdot 0.4 & 0.4 \cdot 0.3 + 0.6 \cdot 0.6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.61 & 0.39 \\ 0.52 & 0.48 \end{pmatrix}.$
这直接应用了 Chapman-Kolmogorov 方程。

6. 重要性质

马尔可夫性的体现：方程依赖无记忆性，未来仅与当前状态相关。
矩阵乘法的一致性：离散时间下，转移概率矩阵的幂运算满足方程。
概率守恒：方程确保所有路径的概率之和为 1。

总结

Chapman-Kolmogorov 方程是马尔可夫过程的基石，通过分解多步转移路径，将复杂问题简化为单步转移的组合。
核心公式：
$P_{ij}^{(n+m)} = \sum_{k} P_{ik}^{(n)} P_{kj}^{(m)} \quad \text{（离散时间）}$
$P_{ij}(t + s) = \sum_{k} P_{ik}(t) P_{kj}(s) \quad \text{（连续时间）}$
应用领域：排队论、统计物理、金融模型、生物信息学等。

一句话记住：

“多步转移，路径分解；概率守恒，马尔可夫之魂。”

【随机过程】柯尔莫哥洛夫微分方程总结

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编程日记 2025/7/13 13:59:50

逐位逼近法计算对数的小数部分

逐位逼近法（Bit-by-Bit Approximation）是一种通过迭代和位操作高效计算数学函数（如对数、平方根等）的方法。它特别适用于不支持浮点运算的环境（如区块链智能合约），因为所有计算均通过整数乘…...

编程日记 2025/7/14 18:01:05

SpringbootWeb开发（注解和依赖配置）

Lombok 工具 Spring Web web开发相关依赖 MyBatis Framework MyBatis驱动 MySQL Driver MySql驱动包 Restful 风格 Slf4j 记录日志对象 RequestMapping(value “/depts”, method RequestMethod.GET) //指定请求方式为GET method 指定请求方式 GetMapping 限定请求方式为Get…...

编程日记 2025/6/29 19:33:21

【AI News | 20250422】每日AI进展

AI Repos 1、no-ocr 不需要复杂文本提取的 AI 文档处理工具，只需上传 PDF 文件，即可快速搜索或询问关于多个文档集合中的内容，无需依赖传统 OCR 技术，大大提升文档分析效率。创建和管理 PDF/文档集合，按"案例&qu…...

编程日记 2025/7/9 23:02:29

110. 平衡二叉树

目录一、问题描述二、解题思路三、代码四、复杂度分析一、问题描述给定一个二叉树，判断它是否是平衡二叉树二、解题思路 ✅ 平衡二叉树的定义一棵二叉树是平衡的，满足以下两个条件： 左子树是平衡二叉树； 右子树…...

编程日记 2025/7/8 14:18:36

yarn的介绍与操作，yarn和npm的选择

🧶 一、Yarn 是什么？ Yarn 是由 Facebook（Meta）开发的 JavaScript 包管理工具，用于替代 npm，解决它在早期版本中存在的一些问题。 ✅ Yarn 的优势（v1.x）： &#x1f4e…...

编程日记 2025/7/9 9:55:47

人工智能赋能医疗影像诊断：开启精准医疗新时代

在当今数字化、智能化飞速发展的时代，人工智能（AI）技术正逐渐渗透到各个行业，其中医疗领域更是成为了 AI 技术大展身手的重要舞台，而医疗影像诊断作为医疗行业中的关键环节，正因 AI 的赋能而发生着深刻变革…...

编程日记 2025/7/11 8:10:16

【汽车ECU电控数据管理篇】S19文件格式解析篇章

一、S19格式是啥在电控文件管理的初期阶段，我首次接触到的是 A2L 和 HEX 文件。其中，A2L 文件主要承担着描述性功能，它详细地描述了各种参数和配置等相关信息。而 HEX 文件则是一种刷写文件，其内部明确记录了具体的地址以及对应的…...

编程日记 2025/7/16 1:59:34

快速定位达梦缓存的执行计划并清理

开发告诉你一个sql慢，你想看看缓存中执行计划时，怎么精准快速定位？ 可能一般人通过文本内容模糊搜索 select cache_item, substr(sqlstr,1,60)stmt from v$cachepln where sqlstr like %YOUR SQL STRING%; 搜出来的内容比较多，研…...

编程日记 2025/7/15 22:26:35

Windows 同步-Windows 单向链表和互锁链表

Windows 单向链表（SList）同步机制详解核心概念 SList（Singly-Linked List）是一种基于非阻塞算法实现的线程安全链表结构，具有以下特性： 原子性操作：所有插入/删除操作均通过硬件级原…...

编程日记 2025/7/15 23:45:47

Trent硬件工程师培训完整135讲

课程大小：44.2G 课程下载：https://download.csdn.net/download/m0_66047725/90616401 更多资源下载：关注我 ├──135讲配套资料 | ├──4620afc.pdf 707.58kb | ├──4620fa_chs.pdf 880.23kb | ├──4630fa.pdf 695.36kb | ├─…...

编程日记 2025/7/8 20:36:54

[PTA]2025 CCCC-GPLT天梯赛胖达的山头

来源：L2-055 胖达的山头-Pintia题意：给定 n n n 个事件的起始和终止时刻(以hh:mm:ss给出)，求最多并行事件数。关键词：差分(签到,模板题)题解：将所有时刻转换为秒，当某事件开始1，结束则-1。按时…...

编程日记 2025/7/5 14:49:49

CSS 记载

CSS优先级是通过一个权重值来决定的，这个权重值由以下几个部分组成： 内联样式：直接写在HTML元素的style属性中，权重最高。ID选择器：权重值为100。类选择器、属性选择器和伪类：权重值为10。元素选择器和伪…...

编程日记 2025/7/13 16:26:20

ESP32音频识别（FFT）实测调整（ESP-IDF 5.4）

#ifndef YC_AUDIO_H #define YC_AUDIO_H // I2S配置（根据硬件调整） #define I2S_CHANNEL I2S_NUM_0 #define I2S_BCK_PIN 42 #define I2S_WS_PIN 41 #define I2S_DATA_PIN 2 /*======= 系统配置 =======*/ #define FFT_SIZE 4096 // …...

编程日记 2025/7/13 10:54:39

解决找不到字体的问题

PlayerView在创建的时候回生成一个PlayerControlView，PlayerControlView构造方法中会用到字体。这个字体在某些机型上找不到。导致应用崩溃。报错信息大概是这样的 Binary XML file line #14: Error inflating class androidx.media3.ui.PlayerView androidx.media…...

编程日记 2025/7/8 14:38:26

交易所开发:构建高效数字交易枢纽

数字资产交易所在全球数字经济浪潮中已成为价值流通的核心枢纽。本文基于2025年最新技术标准和行业实践，从微秒级撮合引擎到跨链互操作性，从AI增强型风控到合规化路径，系统解析高效数字交易枢纽的构建方法论。一、技术架构设计&#xff1a…...

编程日记 2025/7/10 16:18:27

极狐GitLab 项目功能和权限解读

极狐GitLab 是 GitLab 在中国的发行版，关于中文参考文档和资料有： 极狐GitLab 中文文档极狐GitLab 中文论坛极狐GitLab 官网项目功能和权限 (FREE ALL) 配置项目功能和权限要配置项目的功能和权限： 1.在左侧边栏中，选择搜…...

编程日记 2025/7/12 14:12:39

pdf多文件合并

【第三方工具】点我传送：https://www.ilovepdf.com/ 【java功能实现】导入jar包 <dependency><groupId>com.itextpdf</groupId><artifactId>itextpdf</artif…...

编程日记 2025/7/14 21:52:41

AI日报 - 2025年4月23日

🌟 今日概览(60秒速览) ▎🤖 AGI突破 | Sam Altman称指向AGI的系统初现端倪，强调安全标准紧迫性；DeepMind CEO预测AI 5-10年内具备科学猜想能力。 AGI定义及测试标准引关注 (Dario Amodei)，AI安全与非扩散方法成讨论焦…...

编程日记 2025/7/7 7:08:09

【RAG】一篇文章介绍多模态RAG（MRAG）

一、引言研究背景与动机：随着大语言模型（LLMs）的广泛应用，其在处理复杂任务时暴露出如产生幻觉、算术能力不足和缺乏可解释性等问题。多模态学习的兴起为解决这些问题提供了新方向，通过融合图像、文本、音频等多种模…...

编程日记 2025/7/5 8:21:53

学习笔记：黑马程序员JavaWeb开发教程(2025.3.25)

11.3 案例-文件上传-本地存储文件名后缀解决，找到文件最后一个点的位置，截取点及其后面的字符，得到扩展名。代码实现，找到最后一个点的位置，使用方法originalFilename.lastIndexOf(“.”)，括号里面是指…...

编程日记 2025/7/14 17:08:56

启动当前文件夹下所有快捷方式批处理bat文件

新建文本文件写入下列代码 echo off chcp 65001 >nul setlocal enabledelayedexpansionfor %%F in (*.lnk) do (echo 正在运行：%%Fstart "" "%%F" )echo 所有快捷方式已启动。 exit 将文件重命名为 start.bat 双击运行...

编程日记 2025/7/16 12:14:38

蓝桥杯算法实战分享：C/C++ 题型解析与实战技巧

蓝桥杯全国软件和信息技术专业人才大赛，作为国内知名的算法竞赛之一，吸引了众多编程爱好者参与。在蓝桥杯的赛场上，C/C 因其高效性和灵活性，成为了众多选手的首选语言。本文将结合蓝桥杯的赛制特点、常见题型以及实战案例&#xf…...

编程日记 2025/7/10 19:19:52

IDEA下载kotlin-compiler-embeddable特别慢

问题： 在创建IDEA插件项目时发现下载kotlin-compiler-embeddable特别慢，然后等待几十分钟然后失败可以先用控制台显示正在下载的链接，下载好 jar包： https://repo.maven.apache.org/maven2/org/jetbrains/kotlin/kotlin-compi…...

编程日记 2025/7/12 10:09:43

武装Burp Suite工具：HaE 分析辅助类_插件.【高亮标记和信息提取利器】

武装 Burp Suite 插件：HaE 分析辅助类. HaE 分析辅助类是一款基于正则表达式的高效数据提取与标记工具，常用于安全测试、日志分析等场景，通过预定义规则快速定位敏感信息（如API密钥、URL参数），提升…...

编程日记 2025/7/8 4:57:11

使用Nacos 打造微服务配置中心

一、背景介绍 Nacos 作为服务注册中心的使用方式，同时 Nacos 还可以作为服务配置中心，用于集中式维护各个业务微服务的配置资源。作为服务配置中心的交互流程图如下。这样设计的目的，有一个明显的好处就是：有利于对各个微服务…...

编程日记 2025/7/16 5:17:52