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逐位逼近法计算对数的小数部分

news 来源：原创 2025/7/16 23:30:33

逐位逼近法（Bit-by-Bit Approximation）是一种通过 迭代和位操作 高效计算数学函数（如对数、平方根等）的方法。它特别适用于 不支持浮点运算的环境（如区块链智能合约），因为所有计算均通过 整数乘法、位移和比较完成。

本文只介绍其数学推导。

假设我们要计算\log_{2}1.2，显然其结果是小于1的，接下来我们来推导其结算过程。

假设0.b1b2b3b4=\log_{2}1.2,这里的0.b1b2b3b4是一个二进制的数字也就是说bn\epsilon [0,1]

两边同时乘以2得到b1.b2b3b4=\log_{2}1.2^{^{2}}
也就是说b1.b2b3b4=\log_{2}1.44

由于1.44<2^{_{1}} ， 所以b1.b2b3b4<1,得出b1=0
继而得出0.b2b3b4=\log_{2}1.44
继续两边同时乘以2得出：b2.b3b4=\log_{2}1.44^{^{2}}=\log_{2}2.0736
2^{1}<2.0736所以b2.b3b4>1,得出b2=1
接下来1.b3b4=\log_{2}2.0736
也就是说2^{1.b3b4}=2.0736  ====>  2^{_{1+0.b3b4}}=2.0736  ,我们两边同时除以2得到2^{_{0.b3b4}}=1.0368

0.b3b4=\log_{2}1.0368
继续前面的步骤:
b3.b4=\log_{2}1.07495424 也就是说b3=0
接下来按照前面的计算b4也为0
也就是说\log_{2}1.2的结果约为二进制的0.01也就是十进制的0.25

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