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线性代数-矩阵的秩

news 来源：原创 2025/7/23 14:41:52

矩阵的秩（Rank）是线性代数中的一个重要概念，表示矩阵中线性无关的行（或列）的最大数量。它反映了矩阵所包含的“有效信息”的维度，是矩阵的核心特征之一。

直观理解

  1. 行秩与列秩：
    • 行秩：矩阵中线性无关的行向量的最大个数。
    • 列秩：矩阵中线性无关的列向量的最大个数。
    • 关键性质：对任意矩阵，行秩 = 列秩，因此统称为“秩”。
  2. 几何意义：
    • 秩描述了矩阵对应的线性变换后空间的维度。例如：一个3×3矩阵的秩为2，表示它将三维空间压缩到一个二维平面。

计算方法

  1. 初等变换法：
    • 通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形（REF），非零行的数量即为秩。
    • 示例：非零行有2行，故秩为2。求解矩阵秩demo
      [ 1 2 3 0 1 4 0 0 0 ] \left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] ​100​210​340​ ​
  2. 行列式法（仅适用于方阵）：
    • 矩阵的秩是其最高阶非零子式的阶数。例如，若存在一个2阶子式不为零，但所有3阶子式为零，则秩为2。

重要性质

  1. 秩的范围：

    • 对于 m × n m \times n m×n 矩阵， 0 ≤ r a n k ( A ) ≤ m i n ( m , n ) 0 \leq rank(A) \leq min(m, n) 0≤rank(A)≤min(m,n)
    • 若秩达到最大值 m i n ( m , n ) min(m, n) min(m,n)，称矩阵为满秩矩阵。

  2. 与线性方程组的关系：

    • 有解条件：方程组 A x = b Ax = b Ax=b 有解当且仅当 rank ( A ) = rank ( [ A ∣ b ] ) \text{rank}(A) = \text{rank}([A|b]) rank(A)=rank([A∣b])。
    • 解的个数：
      • 若 rank ( A ) = n \text{rank}(A) = n rank(A)=n（未知数个数），则唯一解。
      • 若 rank ( A ) < n \text{rank}(A) < n rank(A)<n，则有无穷多解（自由变量存在）。

  3. 矩阵运算的影响：

    • rank ( A + B ) ≤ rank ( A ) + rank ( B ) \text{rank}(A+B) \leq \text{rank}(A) + \text{rank}(B) rank(A+B)≤rank(A)+rank(B)
    • rank ( A B ) ≤ min ⁡ ( rank ( A ) , rank ( B ) ) \text{rank}(AB) \leq \min(\text{rank}(A), \text{rank}(B)) rank(AB)≤min(rank(A),rank(B))

总结

矩阵的秩本质上是其行或列向量的独立信息量的度量，决定了矩阵在变换中的“自由度”。理解秩有助于分析方程组、空间变换以及矩阵的稳定性等问题。

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