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第 4 篇：平稳性 - 时间序列分析的基石

news 来源：原创 2025/7/23 14:33:31

第 4 篇：平稳性 - 时间序列分析的基石

在上一篇中，我们学习了如何将时间序列分解为趋势、季节性和残差。我们看到，很多真实世界的时间序列（比如 CO2 浓度）都包含明显的趋势（长期向上或向下）和/或季节性（固定周期的波动）。

这些成分虽然揭示了数据的内在模式，但也带来了一个“问题”：它们使得序列的统计特性随时间而变化。例如，带有上升趋势的序列，其均值（平均水平）会随着时间推移而增加。这种“不稳定”的特性，在时间序列分析中被称为非平稳性 (Non-stationarity)。

为什么我们要关心这个？因为许多经典且强大的时间序列预测模型（如 ARIMA 模型家族）都建立在一个关键假设之上：数据是平稳的 (Stationary)。

本篇我们就来深入探讨这个时间序列分析的基石——平稳性。我们将了解：

  1. 什么是平稳性？
  2. 为什么平稳性如此重要？
  3. 如何判断一个序列是否平稳？
  4. 如果序列不平稳，最常用的处理方法是什么？

什么是平稳性 (Stationarity)？

想象一条平静的湖面（Stationary）和一条奔腾的河流（Non-stationary）。

  • 平静的湖面： 在任何位置取一瓢水，它的平均深度、水面的波动程度（方差）看起来都差不多。
  • 奔腾的河流： 在上游和下游取水，平均深度可能截然不同；在急流和缓滩处，水流的湍急程度（方差）也相差甚远。

平稳性 就是时间序列数据拥有类似“平静湖面”的特性。更严谨地说，一个时间序列是**（弱）平稳**的，如果它的：

  1. 均值 (Mean) 不随时间 t 变化。
  2. 方差 (Variance) 不随时间 t 变化。
  3. 自协方差 (Autocovariance) 只依赖于时间的间隔 k，而不依赖于具体的时间点 t。（这保证了序列内部的相关性结构是稳定的，我们暂时不用深究数学细节，理解前两点更重要）。

看图说话：

  • 平稳序列 (Stationary): 数据点围绕一个固定的水平线上下波动，且波动的幅度大致稳定。典型的例子是白噪声 (White Noise)，即纯粹的随机波动。
    在这里插入图片描述
  • 非平稳序列 (Non-stationary):
    • 含趋势: 数据明显呈现长期上升或下降。 (例如我们上一篇分解出的 CO2 趋势部分)
    • 含季节性: 数据存在固定的周期性波动。 (例如 CO2 的季节性部分)
    • 方差变化: 数据的波动幅度随时间变化（例如，早期波动小，后期波动剧烈）。
    • 随机游走 (Random Walk): 一个典型的非平稳过程，下一步的位置是当前位置加上一个随机步长。股价有时被建模为类似随机游走。
    • 在这里插入图片描述

为什么平稳性如此重要？

  1. 模型假设： 很多经典时间序列模型（如 ARMA, ARIMA）明确要求输入数据是平稳的。如果用非平稳数据直接建模，可能会导致模型参数估计不准、预测结果不可靠。
  2. 可预测性基础： 平稳序列意味着其统计特性在未来可能保持不变。这为我们基于历史模式进行预测提供了更坚实的基础。如果一个序列的均值和方差都在不断变化，预测其未来将非常困难。
  3. 简化分析： 处理平稳序列通常比处理非平稳序列更简单。我们可以专注于分析其内部的相关性结构（自相关性），而不用同时处理变化的趋势和季节性。

如何判断平稳性？

主要有两种方法：

  1. 视觉检查 (Visual Inspection):

    • 直接绘制时间序列图： 观察是否存在明显的趋势或季节性模式？数据的均值线是否大致水平？数据的波动幅度是否大致恒定？
    • 查看分解图 (来自上一篇)： seasonal_decompose 的结果可以帮助我们。如果趋势 (Trend) 成分不是水平的，或者季节性 (Seasonal) 成分很明显，那么原始序列很可能不是平稳的。

  2. 统计检验 (Statistical Tests):

    • 肉眼观察有时会骗人，我们需要更客观的统计方法。最常用的检验之一是 ADF 检验 (Augmented Dickey-Fuller Test)。

    • ADF 检验的目的： 它的“原假设 (Null Hypothesis)”是序列存在单位根 (Unit Root)，即序列是非平稳的。它的“备择假设 (Alternative Hypothesis)”是序列没有单位根，即序列是平稳的。

    • 如何解读结果？ 我们主要关心检验输出的 p-value：

      • 如果 p-value > 0.05 (常用的显著性水平)： 我们没有足够证据拒绝原假设。也就是说，我们倾向于认为序列是非平稳的。
      • 如果 p-value <= 0.05： 我们拒绝原假设。也就是说，我们倾向于认为序列是平稳的。

    • Python 实现 (使用 statsmodels):

    from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
import statsmodels.api as sm
import pandas as pd# 仍然使用上一篇的月度 CO2 数据
data = sm.datasets.co2.load_pandas().data
data['co2'].interpolate(inplace=True)
monthly_data = data.resample('M').mean()print("对原始月度 CO2 数据进行 ADF 检验:")
result = adfuller(monthly_data['co2'])print('ADF Statistic: %f' % result[0])
print('p-value: %f' % result[1])
print('Critical Values:')
for key, value in result[4].items():print('\t%s: %.3f' % (key, value))# 解释 p-value
if result[1] > 0.05:print("\n结论：p-value > 0.05，未能拒绝原假设，数据很可能非平稳。")
else:print("\n结论：p-value <= 0.05，拒绝原假设，数据很可能平稳。")

    运行上述代码，你会发现 CO2 数据的 p-value 远大于 0.05，印证了我们视觉观察到的非平稳性。

如何让序列平稳？—— 差分 (Differencing)

如果我们的序列被判断为非平稳，怎么办？最常用、最简单的处理方法就是差分 (Differencing)。

差分的思想很简单：计算相邻时间点数据之间的差值。

  • 一阶差分 (First Difference): Y'(t) = Y(t) - Y(t-1)

    • 目的： 主要用于消除序列中的线性趋势。
    • 效果： 如果原序列有稳定增长或下降的趋势，差分后的序列通常会围绕 0 值上下波动。

  • 季节性差分 (Seasonal Difference): Y'(t) = Y(t) - Y(t-s)，其中 s 是季节性周期长度（例如，对于月度数据年度季节性，s=12）。

    • 目的： 主要用于消除序列中的季节性。

  • 高阶差分: 有时需要进行多次差分（例如，对一阶差分后的序列再做一次差分，称为二阶差分），或者结合使用普通差分和季节性差分，来达到平稳。但通常一阶或二阶差分就足够了。过度差分可能会引入不必要的模式。

Python 实现一阶差分 (.diff()):

import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns# 对 CO2 数据进行一阶差分
monthly_data['co2_diff'] = monthly_data['co2'].diff()# 差分后第一个值是 NaN，需要去掉或填充
monthly_data_diff = monthly_data.dropna() # 去掉 NaN 值print("\n差分后的数据 (前几行):")
print(monthly_data_diff.head())# 绘制差分后的序列图
plt.figure(figsize=(12, 6))
sns.lineplot(data=monthly_data_diff, x=monthly_data_diff.index, y='co2_diff')
plt.title('First Difference of Monthly CO2 Data')
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('First Difference')
plt.axhline(0, color='red', linestyle='--') # 添加 0 值参考线
plt.show()# 对差分后的序列再次进行 ADF 检验
print("\n对一阶差分后的 CO2 数据进行 ADF 检验:")
result_diff = adfuller(monthly_data_diff['co2_diff'])
print('ADF Statistic: %f' % result_diff[0])
print('p-value: %f' % result_diff[1])
print('Critical Values:')
for key, value in result_diff[4].items():print('\t%s: %.3f' % (key, value))if result_diff[1] > 0.05:print("\n结论：p-value > 0.05，差分后数据仍可能非平稳 (可能需要进一步处理，如季节性差分)。")
else:print("\n结论：p-value <= 0.05，拒绝原假设，差分后数据很可能平稳。")# 注意：CO2 数据同时有强趋势和强季节性，仅一阶差分可能不足以完全平稳，
# ADF检验的 p-value 可能会显著降低，但仍可能大于 0.05 或略小于 0.05。
# 完全平稳化可能需要再做季节性差分: .diff(12)
# monthly_data['co2_diff_seasonal'] = monthly_data['co2'].diff().diff(12).dropna()
# 但我们这里主要演示一阶差分的效果。

在这里插入图片描述

解读结果：

  1. 差分后的图形： 你会看到，原始 CO2 数据那个明显的上升趋势消失了！差分后的序列现在看起来更像是在 0 附近波动，尽管可能还保留着一些季节性模式。
  2. 差分后的 ADF 检验： 运行 ADF 检验，你会发现差分后序列的 p-value 显著降低了（可能已经小于 0.05，或者非常接近）。这表明一阶差分有效地移除了大部分非平稳性（主要是趋势）。如果 p-value 仍然偏高，可能意味着还需要处理季节性（进行季节性差分）。

重要提醒： 我们的目标是使用尽可能少的差分次数来使序列平稳。过度差分会丢失信息。

小结

今天我们学习了时间序列分析中一个至关重要的概念——平稳性：

  • 定义： 平稳序列的均值、方差和自协方差结构不随时间改变。
  • 重要性： 是许多经典时间序列模型的基础假设。
  • 判断方法：
    • 视觉检查： 观察时间序列图和分解图中的趋势、季节性及波动幅度。
    • 统计检验： 使用 ADF 检验，通过 P-value 判断是否存在单位根（非平稳）。
  • 处理方法： 最常用的使序列平稳的方法是差分（一阶差分消除趋势，季节性差分消除季节性）。

理解并能够处理数据的平稳性，是进行有效时间序列建模的关键一步。

下一篇预告

到目前为止，我们已经掌握了如何加载、可视化、分解时间序列，以及如何处理非平稳性。现在，我们终于可以开始尝试做一些简单的预测 (Forecasting) 了！

下一篇，我们将学习几种最基础、最直观的预测方法，比如朴素预测、平均法、移动平均法等。它们虽然简单，但有时效果惊人，并且是理解更复杂模型的重要起点。

准备好迎接你的第一个时间序列预测模型了吗？敬请期待！

（对你的数据进行 ADF 检验和差分，结果如何？差分后的序列看起来平稳了吗？欢迎在评论区分享你的实践！）

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编程日记 2025/6/29 11:15:12

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引言 大语言模型（LLM）在近年的飞速发展，让机器在各种任务上表现出令人瞩目的能力。然而，与人类不同，传统的语言模型往往倾向于直接给出答案，而缺乏可解释的中间推理过程。这在复杂推理任务中成为瓶颈：模型可能由于一步推理不当而得出错误结论，却没有过程可供检查。为了…...

编程日记 2025/7/4 11:43:13

对接点餐接口需要有哪些准备？

以下是一般点餐接口对接的相关信息&#xff0c;包括常见的接口功能、对接步骤及注意事项等&#xff1a; 常见接口功能 餐厅信息查询&#xff1a;获取合作餐厅的基本信息&#xff0c;如餐厅名称、地址、营业时间、联系电话、菜单等。菜品查询&#xff1a;查询具体餐厅的菜品详情…...

编程日记 2025/7/16 14:49:29

LintCode第192题-通配符匹配

描述 给定一个字符串 s 和一个字符模式 p &#xff0c;实现一个支持 ? 和 * 的通配符匹配。匹配规则如下&#xff1a; ? 可以匹配任何单个字符。* 可以匹配任意字符串&#xff08;包括空字符串&#xff09;。 两个串完全匹配才算匹配成功。 样例 样例1 输入: "aa&q…...

编程日记 2025/7/9 17:10:05

uv运行一个MCP Server的完整流程

uv是一个高性能的Python包管理器&#xff0c;专注于性能提升。与pip相比&#xff0c;uv利用全局模块缓存&#xff0c;减少磁盘空间使用&#xff0c;并支持Linux、Windows和macOS系统。安装uv可以通过多种方式实现&#xff0c;例如使用Homebrew、Pacman、pip等。 step 1 安装uv:…...

编程日记 2025/6/29 11:15:54

ts中的类型

在 TypeScript 中&#xff0c;类型是静态类型系统的核心&#xff0c;用于在编译阶段检查代码的正确性。TypeScript 提供了丰富的类型系统&#xff0c;包括基本的原始类型、复合类型、以及用户自定义的类型。以下是对 TypeScript 中各种类型的详细分类和说明&#xff1a; 1. 原…...

编程日记 2025/7/22 18:36:04

把dll模块注入到游戏进程的方法_基于文件修改的注入方式

1、概述 本文主要是介绍两种基于文件修改的注入方式，一种是“DLL劫持”，另一种是“修改导入表”。这两种注入方式都是利用操作系统加载PE时的特点来实现的，我们在实现这两种注入方式时只需专注于注入dll的实现，而不用花费额外的精力去关注注入器的实现。要想深入了解这两种…...

编程日记 2025/7/19 11:39:29

判断点是否在多边形内

代码段解析： const intersect = ((yi > y) !== (yj > y)) && (x < (xj - xi) * (y - yi) / (yj - yi) + xi); 第一部分：(yi > y) !== (yj > y) 作用：检查点 (x,y) 的垂直位置是否跨越多边形的当前边。 yi > y 和 yj > y 分别检查边的两个端…...

编程日记 2025/7/10 14:25:22

【形式化验证基础】活跃属性Liveness Property和安全性质（Safety Property）介绍

文章目录 一、Liveness Property1、概念介绍2、形式化定义二、Safety Property1. 定义回顾2. 核心概念解析3. 为什么强调“有限前缀”4. 示例说明4.1 示例1：交通信号灯系统4.2 示例2：银行账户管理系统5. 实际应用的意义三. 总结一、Liveness Property 1、概念介绍 在系统的…...

编程日记 2025/7/23 9:25:13

Linux——信号（2）信号保存与捕捉

一、信号的保存 上次我们说到&#xff0c;捕捉一个信号后有三种处理方式&#xff1a;默认、忽略、自定义&#xff0c;其中自定义我们用signal系统调用完成&#xff0c;至于忽略信号&#xff0c;也需要signal实现&#xff0c;比如我现在想忽略2号信号&#xff0c;则&#xff1a…...

编程日记 2025/7/8 4:10:30

Vue的模板编译过程

&#x1f468; 作者简介&#xff1a;大家好&#xff0c;我是Taro&#xff0c;全栈领域创作者 ✒️ 个人主页&#xff1a;唐璜Taro &#x1f680; 支持我&#xff1a;点赞&#x1f44d;&#x1f4dd; 评论 ⭐️收藏 文章目录 前言一、编程范式的分类1.编程范式分为声明式和命令…...

编程日记 2025/7/11 7:24:11