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011数论——算法备赛

news 来源：原创 2025/8/3 22:56:33

素数筛

给定n, 求2~n内的所有素数

埃氏筛

利用素数的定义，

输出素数2，然后筛掉2的倍数，得 {2,3,5,7,9,11,13，…}
输出素数3，然后筛掉3的倍数，得 {2,3,5,7,11,13，…}

继续上述步骤，直到队列为空。

int E_sieve(int n) {vector<bool>fat(n+1,false);vector<int>tr(n);int s=0;for(int i=2;i<=sqrt(n);i++){  //筛选非负数if(!fat[i])for(int j=i*i;j<=n;j+=i) fat[j]=true;  //标记为非素数}for(int i=2;i<=n;i++)if(!fat[i])  tr[s++]=i;return s;}

以【1,14】为例：

在这里插入图片描述

欧拉筛

欧拉筛是一种线性筛，是对埃氏筛的改进。

**原理：**一个合数肯定有一个最小质因数；让每个合数只被它的最小质因数筛选一次。

逐次检查2~n的所有数。第一个检查的是2，他是第一个素数。
当检查到第i个数时，利用求得的素数筛掉对应的合数x，而且是用x的最小质因数筛。

int prime[N];
int euler_sieve(int n){int cnt=0;  //此时得到的素数数量bool vis[N];memset(vis,0,sizeof(vis));for(int i=2;i<=n;i++){  //i既在遍历时判断是否为素数，也充当筛选合数时的倍数。if(!vis[i]) prime[cnt++]=i;for(int j=0;j<cnt;j++){if(i*prime[j]>n) break;  //只筛小于等于n的数vis[i*prime[j]]=1;  //标记为筛除  循环中最少筛选1次，因为2是最小质数,合数的最小质因数>=2;if(i%prime[j]==0) break;//关键，此时下一个合数的最小质因数不是prime[j] 退出循环。//设i=prime[j]*t  i*prime[j+1]=prime[j]*t*prime[j+1]//说明下一个i*prime[j]的最小质因数不是prime[j];}}}

以【1,15】为例：
在这里插入图片描述

双子数

问题描述

若一个正整数能表示成（p^2*q2）的形式（p，q为质数且互不相等）这称这个数为双子数，

求在[2333,2333333333333]范围内有多少个双子数？

原题链接

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
vector<ll>dt;
void selve(ll n){  //欧拉筛，筛出所有平方*4小于23333333333333的质数unordered_set<ll>st;  //记录被筛除的数据int cnt=0;for(ll i=2;i<=n;i++){if(!st.count(i)) {dt.push_back(i);cnt++;}for(int j=0;j<cnt;j++){if(dt[j]*i>n) break;st.insert(dt[j]*i);if(i%dt[j]==0) break;}}
}
int main()
{// 请在此输入您的代码ll ans=0;ll t=sqrt(23333333333333/4);selve(t);  //筛选出小于t的所有素数int i=0,j=dt.size()-1;while(i<=j){int k=i+1;while(dt[i]*dt[i]*dt[k]*dt[k]<2333) k++;  //找下限while(dt[i]*dt[i]*dt[j]*dt[j]>23333333333333) j--;  //找上限if(j>=k) ans+=(j-k+1);  //dt[i]*dt[i]*dt[p]*dt[p]都满足范围约束，p属于[k,j];  k，j为i固定下的最小值与最大值i++;}cout<<ans;return 0;
}

质数拆分

问题描述

将2019拆分成若干个两两不同的质数的和，共有多少种不同的方案数？

注：交换顺序为同一种方案，如：2017+2=2019，与2+2017=2019为同种方案。

原题链接

代码

#include <iostream>
#include<vector>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int sum=0;
int cnt=0;
int main()
{// 请在此输入您的代码vector<int>data;vector<bool>vis(2020);vector<long long>dp(2020);dp[0]=1;for(int i=2;i<=2019;i++){if(!vis[i]) {data.push_back(i);cnt++;}for(int j=0;j<cnt;j++){if(i*data[j]>2019) break;vis[i*data[j]]=true;if(i%data[j]==0) break;}} /*dp[i]表示若干个data中的元素相加为i的组合数。特殊地，dp[0]=1；*/for(int i=0;i<cnt;i++){  //遍历ifor(int j=2019;j>=data[i];j--){  //每次以data[i]作为所选元素中最大值，确保不重复计算dp[j]+=dp[j-data[i]];  //更新若干个data元素相加为i的组合数}}cout<<dp[2019];return 0;
}

线性探测

求解前n个质数

前面的素数筛用于求解小于等于n的所有质数能在O(n)的时间复杂度内完成，那么求解前n个质数是否同样有高效率呢？

答案是没有，当求解前10^{6个质数时，第10}6个质数大于10^7，复杂度约为O(10n)，往后相差更大。此时用试除探测的方法会更好。

代码

vector<long long>d(1,2);
void sovle(int n){long long i=3; while(d.size()<n){int k=0;while(d[k]*d[k]<=i){if(i%d[k]==0){  //i是合数i+=2;k=1; //因为i是奇数，不用d[0]=2来试除。}else k++;}d.push_back(i);  //i是质数i+=2;  //偶数必定不是质数，每次加2，只探测奇数。}
}

分解因数

//质因数存储在pa[]中
void zs(int n)
{for(int j=2;j<=n;j++)while(n%j==0){pa.push_back(j);n/=j;}
}

分解质因数的一个应用是求整数的正因数个数。

因数个数定理：大于1的整数n的约数个数等于n的每个质因数的幂（指数）加一的累乘

$对n进行质因数分解： n=p_1^{a_1}*p_2^{a_2}*p_3^{a_3}*...*p_s^{a_s}(ps为n的质因数)$

$sum=\prod_{i=1}^{s}(a_i+1);$

阶乘约数

蓝桥杯2020年国赛题

问题描述

求100！的约数个数。

原题链接

思路分析

前置知识：约数个数定理

因为任何一个正整数n都可以唯一分解为有限个素数的乘积，所以100！=p(1)*p(2)*p(3)*…p(100) p(x)为质因数分解式。

所以100！的因数个数为p(1)*p(2)*p(3)*…p(100) 中质因数的个数（指数）+1的累乘。

统计每个p（i）中质因数的个数最后在算总的即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int a[101]={0};//存储每个质数的个数  例a[2]=10 即质数2有10个（指数数为2）void zs(int n)
{for(int j=2;j<=n;j++)while(n%j==0){a[j]++;//若当前n中含有质数j,即将j存储到a数组中n/=j;}
}int main()
{long long num=1;//num的范围大for(int i=1;i<=100;i++)//统计每个质因数个数{zs(i);//可得当前数i含有的每个质数的个数}for(int i=1;i<=100;i++){if(a[i]!=0)num=num*(a[i]+1);//约数个数:等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘的积。}cout<<num<<endl;return 0;
}

乘积尾0

问题描述

给定一个正整数数组，求数组中所有数相乘的结果末尾0的个数.

原题链接

思路分析

1.把每个数都拆成2的m次方乘以5的n次方再乘以一个常数的形式.该数的尾0数即为min（m,n)

2.所有拆分的数有a个2和b个5,那么会有min(a,b)个尾0.

统计所有数中的2的个数（指数）a 和5的个数（指数）b，最后结果就是min(a,b).

因为2和5互质，分解因数2不影响分解因数5.

代码

int Zerosum(vector<int>&arr){int a=0,b=0;for(int i=0;i<arr.size();i++){int k=arr[i];while(k%2==0){  //分解因数2k/=2;  a++;  //因数2的指数+1}while(k%5==0){  //分解因数5k/=5;b++;  //因数5的指数+1}}return min(a,b);
}

阶乘尾零

将1*2*3*4*5*...*n当作一个整体看，只有5，10,15,20,25...含有因数5，定义这些乘数为因数5元子 且在整个阶乘式子中每个相邻的因数5元子中，都含有因数2元子与其配对。所以只需求因数5的个数即可。

原题链接

具体实现

代码中 n/5求当前因数5元子的个数，再对n/=5(相当于对所有的因数5元子降幂一次),重新计算当前因数5元子的个数，这个过程可用递归进行。

目前最优

代码

int trailingZeroes(int n) {return n==0?0:n/5+trailingZeroes(n/5);
}

丑数||

问题描述

给你一个整数 n ，请你找出并返回第 n 个丑数。

丑数就是质因子只包含 2、3 和 5 的正整数。

原题链接

思路分析

任何一个数都能唯一进行质因数分解，一个丑数必能分解成（2 ^i * 3 ^ j * 5^k）的形式（i，j，k为自然数）。

每次将上一阶段的丑数乘2或3或5，实现丑数的逐级递增。

何时该乘2，何时乘3，何时乘5呢？

可以采用动态规划，每次将上一阶段求得的丑数储存起来。当前阶段的丑数，为上一阶段的i，j，k指针对应的丑数分别乘2,3,5（分别记为num2,num3,num5）的最小值，同时让最小值对应的指针后移一位（保证下次求最小值时不是同一个数，实现丑数逐级递增）。

代码

int nthUglyNumber(int n) {vector<int> dp(n + 1);  //存储前面计算结果dp[1] = 1;int p2 = 1, p3 = 1, p5 = 1;  //p指针对应的是dp的下标for (int i = 2; i <= n; i++) {int num2 = dp[p2] * 2, num3 = dp[p3] * 3, num5 = dp[p5] * 5;dp[i] = min(min(num2, num3), num5);  //取三者最小值if (dp[i] == num2) p2++;if (dp[i] == num3) p3++;if (dp[i] == num5) p5++;}return dp[n];}

比特位计数

问题描述

给你一个整数 n ，对于 0 <= i <= n 中的每个 i ，计算其二进制表示中 1 的个数 ，返回一个长度为 n + 1 的数组 ans 作为答案。

原题链接

思路分析

每个数不是是偶数就是奇数：

奇数，二进制表示中，奇数一定比前面那个偶数多一个最低位的 1。
二进制表示中，偶数中 1 的个数一定和右移一位之后的那个数一样多。因为最低位是 0，右移一位就是把那个 0 抹掉而已，所以 1 的个数是不变的。

定义一个数组res，res[i]存储了i的二进制表示的1的个数，从0到n枚举，

枚举到i是奇数res[i] = res[i >> 1] + 1；

枚举到i是偶数res[i] = res[i >> 1] 。

代码

vector<int> countBits(int n) 
{vector<int> res(n + 1, 0);for (int i = 0; i <= n; i++){res[i] = res[i >> 1] + (i & 1);}return res;
}

分解质因数求单个欧拉函数

int euler(int n){int ans=n;for(int p=2;p*p<=n;p++){  //试除法if(n%p==0){  ans=ans/p*(p-1);  //欧拉公式的通解while(n%p==0) n/=p;  //去掉这个因数的幂，并使下一个p是质因数。}}if(n!=1) ans=ans/n*(n-1);  //情况1，n是一个质数，没有执行上面的分解return ans;
}

优质数对的总数

问题描述

给你两个整数数组 nums1 和 nums2，长度分别为 n 和 m。同时给你一个正整数 k。

如果 nums1[i] 可以被 nums2[j] * k 整除，则称数对 (i, j) 为 优质数对（0 <= i <= n - 1, 0 <= j <= m - 1）。

返回 优质数对 的总数。

原题链接

思路

为方便描述，把 nums1 和 nums2 简记作 a 和 b。

a[i] 能被 b[j]⋅k 整除，等价于 a[i] 是 k 的倍数且 a[i]/k 能被 b[j] 整除。

也就是说，a[i]/k 有一个因子 d 等于 b[j]。

遍历 a，枚举 a[i]/k的所有因子，统计到哈希表 cnt 中。比如遍历完后 cnt[3]=5，说明有 5 个 a[i]/k可以被 3 整除，等价于有 5 个 a[i] 可以被 3⋅k 整除。(因子为3的a[i]/k)有5个
遍历 b，把 cnt[b[j]] 加入答案。例如 b[j]=3，那么就找到了 cnt[3] 个优质数对。

代码

long long numberOfPairs(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2, int k) {unordered_map<int, int> cnt;for (int x : nums1) {if (x % k) {continue;}x /= k;for (int d = 1; d * d <= x; d++) { // 枚举因子if (x % d) {continue;}cnt[d]++; // 统计因子if (d * d < x) {cnt[x / d]++; // 因子总是成对出现}}}long long ans = 0;for (int x : nums2) {ans += cnt.contains(x) ? cnt[x] : 0;}return ans;}
作者：灵茶山艾府

时间复杂度：O(n sqrt(U/k)+m)，其中 n 是 nums 1的长度，m 是 nums 2的长度，U=max(nums 1 )。
空间复杂度：O(U/k)。不同因子个数不会超过 U/k

将元素分配给组

问题描述

给你一个整数数组 groups，其中 groups[i] 表示第 i 组的大小。另给你一个整数数组 elements。

请你根据以下规则为每个组分配一个元素：

如果 groups[i] 能被 elements[j] 整除，则元素 j 可以分配给组 i。
如果有多个元素满足条件，则分配下标最小的元素 j 。
如果没有元素满足条件，则分配 -1 。

返回一个整数数组 assigned，其中 assigned[i] 是分配给组 i 的元素的索引，若无合适的元素，则为 -1。

**注意：**一个元素可以分配给多个组。

原题链接

思路分析

设 groups 中的最大值为 mx。我们直接预处理 1,2,3,…,mx 中的每个数能被哪个 elements[i] 整除。如果有多个相同的 elements[i]，只考虑最左边的那个（i最小的那个）。

从左到右遍历 elements，设 x=elements[i]。枚举 x 的倍数 y（x，y都要小于mx），标记 y 可以被下标为 i 的元素整除，记作 target[y]=i。标记过的数字不再重复标记（保证获取的i为最小的）。

⚠注意：如果我们之前遍历过 x 的因子 d，那么不用枚举 x 的倍数，因为这些数必然已被 d 标记。

最后，回答询问，对于 groups[i]来说，答案为 target[groups[i]]。

初始 target所有元素都为−1。

代码

vector<int> assignElements(vector<int>& groups, vector<int>& elements) {int mx = *max_element(groups.begin(),groups.end());vector<int> target(mx + 1, -1);for (int i = 0; i < elements.size(); i++) {int x = elements[i];if (x>mx||target[x] >= 0) { // x 及其倍数已被标记continue;}for (int y = x; y <= mx; y += x) { // 枚举 x 的倍数 yif (target[y] < 0) {target[y] = i; // 标记 y 可以被 x 整除}}}// 回答询问for (int& x : groups) {x = target[x]; // 原地修改}return groups;}

素数筛

埃氏筛

欧拉筛

双子数

质数拆分

线性探测

分解因数

阶乘约数

乘积尾0

阶乘尾零

丑数||

比特位计数

分解质因数求单个欧拉函数

优质数对的总数

将元素分配给组

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