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齐次坐标变换+Unity矩阵变换

news 来源：原创 2025/8/6 17:42:11

矩阵变换

变换（transform)：指的是我们把一些数据，如点，方向向量甚至是颜色，通过某种方式（矩阵运算），进行转换的过程。

变换类型

线性变换：保留矢量加和标量乘的计算

f(x)+f(y)=f(x+y)

kf(x)=f(kx)

包含：旋转，缩放，镜像，投影

可以使用3x3矩阵，表示

非线性变换

包含：平移

可以使用4x4矩阵，表示

仿射变换：仿射变换就是合并线性变换与平移变换的变换类型，仿射变换可以

使用一个4x4的矩阵表示，所以需要将矢量扩展到四维空间下，这就是齐次坐标

空间，变换矩阵称为齐次矩阵

齐次坐标： $\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ w \end{bmatrix}$

点的列矩阵w分量：补1，因为点受到平移变化的影响

方向矢量列矩阵的w分量：补0，因为平移不会影响到方向向量的方向

齐次矩阵构成

$\begin{bmatrix} M_{3*3} &T_{3*1} \\ 0_{1*3}& 1 \end{bmatrix}$

$M_{3*3}$ :表示线性变换矩阵

$T_{3*1}$ ：表示平移变换矩阵

平移矩阵

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 &x \\ 0& 1& 0 & y\\ 0& 0& 1&z \\ 0& 0& 0 & 1 \end{bmatrix}$ ( x,y,z分别代表x平移量，y平移量，z平移量)

缩放矩阵(缩放是线性变换，所以可以用 $M_{33}$ 表示这个变换的过程)

$\begin{bmatrix} X_{s} & 0 &0 &0 \\ 0& Y_{s} & 0 &0 \\ 0& 0 & Z_{s} &0 \\ 0 & 0 & 0& 1 \end{bmatrix}$

旋转矩阵

绕X轴，旋转 $\theta$ 角度

$\begin{bmatrix} 1 & 0& 0 &0 \\ 0& cos\theta &-sin\theta &0 \\ 0 & sin\theta & cos\theta &0 \\ 0 & 0 & 0& 1 \end{bmatrix}$

绕Y轴，旋转 $\theta$ 角度

$\begin{bmatrix} cos\theta & 0& sin\theta &0 \\ 0& 1 &0 &0 \\ -sin\theta & 0 & cos\theta &0 \\ 0 & 0 & 0& 1 \end{bmatrix}$

绕Z轴，旋转 $\theta$ 角度

$\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta& 0 &0 \\ sin\theta& cos\theta &0 &0 \\ 0 & 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 0& 1 \end{bmatrix}$

复合变换

一个点P（1，1，1），需要做绕z轴旋转30度，平移（5，4，2），

缩放（3，2，1）复合变换，是存在顺序的，因为矩阵乘运算，不满足乘法交换律

$\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0&0 \\ 0& 2&0 & 0\\ 0& 0& 1 &0 \\ 0& 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ x $\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 &5 \\ 0& 1&0 & 4\\ 0& 0& 1& 2\\ 0 &0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ x $\begin{bmatrix} cos30 &-sin30 &0 &0 \\ sin30& cos30 & 0 &0 \\ 0& 0 &1 &0 \\ 0& 0 &0 & 1 \end{bmatrix}$ x $\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{bmatrix}$