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算法之贪心算法

news 来源：原创 2025/8/17 20:46:30

贪心算法

  • 贪心算法
    • 核心思想
    • 常见应用场景
    • 典型案例
      • 案例一：找零问题
      • 案例二：活动选择问题
      • 案例三：货仓选址问题
    • 贪心算法的应用详解
      • 霍夫曼编码
      • 最小生成树
      • Dijkstra最短路径算法
    • 总结

贪心算法

核心思想

贪心算法（Greedy Algorithm）是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最优的选择，从而希望以这种方式能够达到全局最优解的一种算法思想。贪心算法并不总是能得到全局最优解，但在一些问题中，它能产生出足够好的解，而且相对简单高效。

贪心算法的基本思想是通过一系列局部最优的选择，希望最终达到全局最优。在每一步，贪心算法会选择当前状态下的最优解，而不考虑当前选择对以后的影响。这与动态规划的思想不同，动态规划考虑到每一步的选择对于整体解的影响，而做出相应的决策。

贪心算法通常适用于满足两个条件的问题：

  • 最优子结构性质： 当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。
  • 贪心选择性质： 通过局部最优选择，期望能够达到全局最优。

一旦一个问题可以通过贪心算法求解，那么贪心算法一般会比其他算法更加高效。然而，需要注意的是，并非所有问题都满足贪心选择性质和最优子结构性质。

常见应用场景

  • 霍夫曼编码：用于数据压缩，为高频字符分配短编码、低频字符分配长编码，减少整体数据量。
  • 活动选择问题：选择一组互不相容的活动，使得参与的活动数最大。
  • 最小生成树：如Kruskal和Prim算法，用于在加权连通图中找到权值之和最小的生成树。
  • Dijkstra最短路径算法：求解单源最短路径问题，从起始点开始，每次遍历到距离最近且未访问过的顶点的邻接节点。
  • 货仓选址问题：在一维数轴上为多个商店选择货仓位置，使得总距离最小。

在使用贪心算法时，必须确保贪心选择的局部最优解能够推导出全局最优解，否则可能得不到最优解。

典型案例

案例一：找零问题

问题描述：假设你是柜台售货员，需要给客户找零n元钱。你拥有无限数量的1元、2元、5元、10元、20元、50元面额的硬币/纸币。如何用最少数量的硬币/纸币来找零？

贪心策略：每次尽量用面额最大的硬币来找零。

示例：

假设要找零的金额为 n = 36 元。

可用的硬币面额为 1、2、5、10、20 和 50。

  1. 首先，找零最大的面额，即 50 元。但由于 50 元大于 36 元，所以不能使用。
  2. 接下来，尽量使用次大面额的硬币，即 20 元。36 元中能用一个 20 元，剩下 16 元。
  3. 然后使用次次大面额的硬币，即 10 元。16 元中能用一个 10 元，剩下 6 元。
  4. 继续使用 5 元的硬币，6 元中能用一张 5 元，剩下 1 元。
  5. 最后，用 1 元的硬币找零 1 元。

这样，用 20 元、10 元、5 元和 1 元的硬币一共找零 36 元，共需要 4 枚硬币，是最少数量的硬币。

在这个案例中，贪心算法的贪心策略是每次都选择当前情况下的最优解，即选择当前可用的最大面额的硬币。这种策略在这个特定问题中得到了最优解。但需要指出的是，对于不同的面额组合和要求找零的金额，贪心算法并不总是能够得到最优解。

代码实现：

#include <stdio.h>
void findChange(int amount) {int money[] = { 50, 20, 10, 5, 2, 1 };int num = sizeof(money) / sizeof(money[0]);printf("找零 %d :\n", amount);for (int i = 0; i < num; ++i) {int current = money[i];int numNotes = amount / current;if (numNotes > 0) {printf("%d 张 %d 块\n", numNotes, current);amount = amount % current;}}
}
int main() {int amount = 46;findChange(amount);return 0;
}

复杂度分析：

  • 时间复杂度：O(1)，因为面额种类有限。
  • 空间复杂度：O(1)。

注意：对于某些面额组合，贪心算法不一定能得到最优解。

案例二：活动选择问题

问题描述：有n个活动，每个活动有开始时间和结束时间，要求选择最多数量的互不重叠活动。

贪心策略：每次选择结束时间最早且不与已选活动冲突的活动。

伪代码：

1. 按活动结束时间从小到大排序
2. 依次选择与已选活动不冲突的下一个活动

代码实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>// 定义活动结构体，包含开始时间和结束时间
typedef struct {int start;  // 活动开始时间int end;    // 活动结束时间int index;  // 活动编号（可选，用于标识活动）
} Activity;// 比较函数，用于按活动结束时间排序
int cmp(const void *a, const void *b) {return ((Activity*)a)->end - ((Activity*)b)->end;
}// 贪心算法选择活动函数
void selectActivities(Activity acts[], int n) {// 按活动结束时间从小到大排序qsort(acts, n, sizeof(Activity), cmp);// 选择第一个活动（结束时间最早的活动）int count = 0;  // 记录选择的活动数量int lastEnd = -1;  // 上一个选择的活动的结束时间，初始为-1printf("选择的活动：\n");for (int i = 0; i < n; ++i) {// 如果当前活动的开始时间大于等于上一个选择的活动的结束时间，则选择该活动if (acts[i].start >= lastEnd) {count++;printf("活动%d: [%d, %d]\n", acts[i].index, acts[i].start, acts[i].end);lastEnd = acts[i].end;  // 更新最后选择的活动的结束时间}}printf("共选择了 %d 个活动\n", count);
}// 主函数，演示活动选择问题
int main() {// 示例活动集合，每个活动有开始时间、结束时间和编号Activity activities[] = {{1, 4, 1},   // 活动1：开始时间1，结束时间4{3, 5, 2},   // 活动2：开始时间3，结束时间5{0, 6, 3},   // 活动3：开始时间0，结束时间6{5, 7, 4},   // 活动4：开始时间5，结束时间7{3, 9, 5},   // 活动5：开始时间3，结束时间9{5, 9, 6},   // 活动6：开始时间5，结束时间9{6, 10, 7},  // 活动7：开始时间6，结束时间10{8, 11, 8},  // 活动8：开始时间8，结束时间11{8, 12, 9},  // 活动9：开始时间8，结束时间12{2, 14, 10}, // 活动10：开始时间2，结束时间14{12, 16, 11} // 活动11：开始时间12，结束时间16};int n = sizeof(activities) / sizeof(activities[0]);printf("共有 %d 个活动\n\n", n);// 调用贪心算法选择活动selectActivities(activities, n);return 0;
}

复杂度分析：

  • 时间复杂度：O(nlogn)，主要是排序的时间复杂度。
  • 空间复杂度：O(1)，除了存储活动的数组外，只需要常数级的额外空间。

贪心策略正确性证明：

活动选择问题的贪心策略是选择结束时间最早的活动，这一策略的正确性可以通过反证法证明：

假设最优解集合为S，包含k个活动，按结束时间排序后为{a₁, a₂, …, aₖ}。如果a₁不是所有活动中结束时间最早的活动，那么存在活动b，其结束时间早于a₁。

我们可以用b替换S中的a₁，得到新的解集合S’ = {b, a₂, …, aₖ}。由于b的结束时间早于a₁，b不会与a₂, …, aₖ冲突，因此S’也是一个可行解，且|S’| = |S|。这说明选择结束时间最早的活动不会导致最优解的丢失。

通过归纳法，可以证明每次选择当前结束时间最早的、与已选活动不冲突的活动，最终能得到最优解。

应用场景：

活动选择问题在实际中有广泛应用，例如：

  • 会议室安排：在有限的会议室中安排尽可能多的会议
  • 课程表设计：在固定教室中安排尽可能多的课程
  • 任务调度：在单处理器上安排尽可能多的任务

案例三：货仓选址问题

问题描述：在一条数轴上有N家商店，它们的坐标分别为A1∼AN。现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。

贪心策略：将货仓建在所有商店坐标的中位数位置。

代码实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>// 比较函数，用于排序
int compare(const void* a, const void* b) {return (*(int*)a - *(int*)b);
}// 计算距离之和的函数
int sum(int warehouse, int* shops, int n) {int totalDistance = 0;for (int i = 0; i < n; ++i) {totalDistance += abs(warehouse - shops[i]);}return totalDistance;
}// 找到货仓位置的函数
int find(int* shops, int n) {// 将商店坐标排序qsort(shops, n, sizeof(int), compare);// 中位数位置int warehousePosition = shops[n / 2];return warehousePosition;
}int main() {int n;printf("输入商店的数量：");scanf("%d", &n);int* shops = (int*)malloc(n * sizeof(int));printf("输入商店的坐标：");for (int i = 0; i < n; ++i) {scanf("%d", &shops[i]);}int pos = find(shops, n);int total = sum(pos, shops, n);printf("把货仓建在坐标 %d 处，使得货仓到每家商店的距离之和最小，为：%d\n", pos, total);free(shops);return 0;
}

复杂度分析：

  • 时间复杂度：O(nlogn)，主要是排序的时间复杂度。
  • 空间复杂度：O(n)，需要存储n个商店的坐标。

注意：这个问题的贪心策略是选择中位数位置，这是因为在一维数轴上，到各点距离之和最小的位置就是这些点的中位数。

贪心算法的应用详解

霍夫曼编码

霍夫曼编码是一种变长编码方式，它根据字符出现的频率来设计编码长度，频率高的字符使用较短的编码，频率低的字符使用较长的编码，从而达到压缩数据的目的。

贪心策略：每次选择两个频率最低的节点合并，构建一棵哈夫曼树，然后根据从根到叶子的路径确定编码。

最小生成树

最小生成树是连通无向图的一个生成树，其权值之和最小。常用的算法有：

Prim算法：

  1. 从图中任选一个顶点作为起始点，加入到最小生成树中
  2. 在所有与当前最小生成树中顶点相邻的边中，选择权值最小的边，将其连接的未访问顶点加入到最小生成树中
  3. 重复步骤2，直到所有顶点都加入到最小生成树中

Kruskal算法：

  1. 将图中所有边按权值从小到大排序
  2. 按照权值从小到大的顺序选择边，如果该边不会与已选择的边构成环路，则将其加入到最小生成树中
  3. 重复步骤2，直到选择了n-1条边（n为顶点数）

Dijkstra最短路径算法

Dijkstra算法用于求解单源最短路径问题，即从一个顶点到其余各顶点的最短路径。

贪心策略：每次选择当前未访问的距离起点最近的顶点，然后更新与该顶点相邻的其他顶点的距离。

总结

贪心算法通过每一步的局部最优选择，期望获得全局最优解。适用于满足最优子结构和贪心选择性质的问题。常见应用有找零、活动选择、最小生成树、最短路径、霍夫曼编码等。实际应用时需验证贪心策略的正确性，因为贪心算法并不总是能得到全局最优解。

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编程日记 2025/8/17 21:28:36

1-9 堆宝塔

堆宝塔游戏是让小朋友根据抓到的彩虹圈的直径大小&#xff0c;按照从大到小的顺序堆起宝塔。但彩虹圈不一定是按照直径的大小顺序抓到的。聪明宝宝采取的策略如下&#xff1a; 首先准备两根柱子&#xff0c;一根 A 柱串宝塔&#xff0c;一根 B 柱用于临时叠放。把第 1 块彩虹圈…...

编程日记 2025/8/17 18:17:22

Java虚拟机（JVM）平台无关？相关？

计算机的概念模型 计算机实际上就是实现了一个图灵机模型。即&#xff0c;输入参数&#xff0c;根据程序计算&#xff0c;输出结果。图灵机模型如图。 Tape是输入数据&#xff0c;Program是针对这些数据进行计算的程序&#xff0c;中间横着的方块表示的是机器的状态。 目前使…...

编程日记 2025/8/17 15:25:30

第七章--查找

查找表 定义 由同一类型的数据元素(或记录)构成的集合。 1&#xff09;特点&#xff1a;数据元素的类型相同&#xff1b;结构松散→先后次序无关紧要&#xff0c;只关心是否在集合内。 2&#xff09;常用操作&#xff1a;查询某个“特定的”数据元素是否在查找表中&#xf…...

编程日记 2025/8/17 8:33:04

photo-sphere-viewer 4.8.1在vue中使用

photo-sphere-viewer 加载单张平面图 import { Viewer } from photo-sphere-viewerthis.viewer new Viewer({panorama: ‘完整的url,也可以是一个base64’,// Containercontainer: document.getElementById(viewer1),navbar: true,// Resize the panoramasize: {width: 100%,…...

编程日记 2025/8/17 20:41:28

vue MarkdownIt标签多出了＜p＞标签导致高度变丑

​ 效果如下&#xff1a; ​ [点击并拖拽以移动] ​ F12观察后发现多了 标签包裹&#xff0c;所以要解决 标签。 在 markdown-it 中禁用自动包裹 <p> 标签的方法 要让 markdown-it 渲染的 Markdown 内容不自动包裹 <p> 标签&#xff0c;你可以使用以下两种方…...

编程日记 2025/8/16 22:41:32

《Java 并发编程实践》阅读笔记（一）：线程重要性

文章目录 一. 并发历史二. 线程优势三. 线程带来的风险1. 安全性问题2. 活跃性问题3. 性能问题 四. 线程无处不在示例1: Timer示例2: 远程方法调用(Remote Method Invocation, RMI)示例3: GUI 程序 一. 并发历史 操作系统的出现 大型机时代, 没有操作系统, 一台主机只能执行一…...

编程日记 2025/8/17 20:10:08

算法思想之分治-归并

欢迎拜访&#xff1a;雾里看山-CSDN博客 本篇主题&#xff1a;算法思想之分治-归并 发布时间&#xff1a;2025.4.17 隶属专栏&#xff1a;算法 目录 算法介绍核心思想与步骤时空复杂度分析C代码实现关键特性与优化 例题排序数组题目链接题目描述算法思路代码实现 交易逆序对的总…...

编程日记 2025/8/17 19:14:46

Vue基础(5)_事件修饰符

事件修饰符 Vue中的事件修饰符&#xff1a; 1、prevent&#xff1a;阻止默认事件(常用)。 2、stop&#xff1a;阻止事件冒泡(常用)。 3、once&#xff1a;事件只触发一次(常用)。 4、capture&#xff1a;使用事件的捕获模式。 5、self&#xff1a;只有event.target是当前操作的…...

编程日记 2025/8/17 20:37:09

网络编程 - 1

目录 为什么需要网络编程&#xff1f; —— 丰富的网络资源 什么是网络编程 网络编程中的基本概念 发送端和接收端 请求和相应 客户端和服务端 常见的客户端服务端模型 Socket 套接字 概念 分类 解释 有连接 / 无连接 可靠传输 / 不可靠传输 面向字节流 / 面向数…...

编程日记 2025/8/17 18:17:15

github | 仓库权限管理 | 开权限

省流版总结&#xff1a; github 给别人开权限&#xff1a;仓库 -> Setting -> Cllaborate -> Add people GitHub中 将公开仓库改为私有&#xff1a;仓库 -> Setting -> Danger Zone&#xff08;危险区&#xff09; ->Change repository visibility( 更改仓…...

编程日记 2025/8/17 20:01:04

【系统搭建】DPDK关键概念与l2fwd源码解析

DPDK&#xff08;Data Plane Development Kit&#xff09;是一套用于高性能网络数据面处理的开发框架&#xff0c;其核心设计在于绕过内核协议栈&#xff0c;它提供了一个用户空间下的高效数据包处理库函数&#xff0c;可以用于快速开发高性能的网络应用程序&#xff0c;如网络…...

编程日记 2025/8/17 21:25:12

【Qt】初识Qt（一）

目录 一、Qt的背景二、认识Qt项目 一、Qt的背景 关于客户端开发&#xff1a; 客户端开发的重要任务&#xff0c;是编写和用户交互的界面&#xff0c;和用户交互的界面有两种风格&#xff1a; TUI&#xff1a;命令行界面&#xff0c;也叫终端界面GUI&#xff1a;图形化界面 Q…...

编程日记 2025/8/17 21:12:15

Django REST framework 并结合 `mixin` 的示例

下面为你提供一个使用 Django REST framework 并结合 mixin 的示例，该示例将实现一个简单的图书管理 API。 项目需求 我们要创建一个图书管理系统的 API，支持对图书信息的创建、读取、更新和删除操作。 实现步骤 1. 项目初始化 首先，确保你已经安装了 Django 和 Django…...

编程日记 2025/8/17 20:05:41