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800 中值定理

news 来源：原创 2025/8/26 0:52:15

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文章目录

前言
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372
373
总结

前言

中值定理貌似是压轴题，但是也没什么难的，我一定可以拿下。

background music : 《还是分开》张叶蕾

365

构造出罗尔定理需要的 F(x) 我现在没啥问题，然后就是要找出两个相等的点，然后区间中间一个点的导数值为零，但是我找不到两个相等的点，有点扯。用了一下积分中值定理，也转换不到位。。

有点被秀翻，这个就差了一行，不是找零这个点，就是直接用我积分中值定理得出的那个，形式上对应起来，不是找严格的区间的端点，是找，一个端点和一个不知道哪里的点，这个点当然也在区间内部，但是具体在哪里我们是不关心的，只要存在一个这样的点就可以了，然后在这个点和区间端点之间，存在一个我们最后需要的点，也就是说绕了一小步。

366

把 800 题刷完，希望能变强一些。

这个比较简单，积分中值定理和罗尔定理结合，就可以秒杀这题。关键是积分中值定理。看错了，不是积分中值定理，是闭区间连续函数的平均值定理。
$x_1<x_2<\cdots<x_n,f(x) \text{ 在 }[x_1,x_n] \text{ 上连续，至少存在} \xi \in [x_1,x_n] s.t. f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}$

一些结论还是挺重要的。不知道完全做不了这题，或者说没啥思路。额。

但是答案是用介值定理来证得。这个实际上也是非常快速，介值定理就是一定存在一个点，这个点对应的函数值就是最小值和最大值之间的一个函数值。也就是 $f(\eta)=1$

367

有点简单，构造一个符合罗尔定理的函数，然后找两个区间内相等的点，结束。

368

简单构造。关键是看积分能否积出来，积分出来，此题结束。此题积分：
$\int csc xdx=ln|cscx-cotx|+C$

369

第一问构造零点定理，零点定理的构造和罗尔定理的区别是，一个是没有导数，罗尔定理有导数，第二问是罗尔定理，注意找相等的点，可以大胆地把点代进去，大概率就能相等了。这种简单的构造对我没啥难度了。

370

零点定理是直接构造，甚至不需要求积分，另外，除了介值定理，其他的结论都是开区间，积分中值定理本来是闭区间，但是可以推广到开区间，然后我们一般也是使用开区间的结论，因为单个的点，对于一个区间来说，无足轻重。

第二问的积分，我有点懵，下面这个积分是啥？
$\int (xe^{-\lambda x})'dx=xe^{-\lambda x}+C\\[0.5cm]\int F'(x)dx=F(x)+C\\[0.5cm]\int dF(x)=F(x)+C$
讲义 p74 的内容，不定积分的内容，当时学的时候感觉不痛不痒，就这啊，现在确实感觉有点漏洞。就是一个函数的导数，这个导数的变量也是积分变量，那么求不定积分就是原函数。

下面这个不定积分，最好一眼看出来是一个原函数导数的形式，不然算起来稍微有点复杂。
$\int (-\lambda x + 1)e^{-\lambda x}dx=\int (xe^{-\lambda x})'dx=xe^{-\lambda x}+C$
后面代入非常简单，罗尔定理的简单应用。爽飞了。

371

这个题是罗尔定理和积分中值定理的综合。很可能不是取端点值，相等的值也可能不是具体的值，可能约分之后形式上两个式子一模一样，这样我们就找到了两个相等的点，然后这两个点夹住的区间内存在一个点的导数为零，用罗尔定理。

我们认为是玄学的东西，很可能被别人研究得非常透彻了，只是我们接触不到这个精华凝炼的信息，所以需要付出额外的时间和精力去内卷。非常有道理。

372

拉格朗日中值定理，非常简单。这就是基础题吗？？？太爽了。

373

皮亚诺余项的泰勒展开和导数定义，中间用了定型的方法算出极限的数值，然后某邻域内有导数，表示邻域内可导，那么邻域内连续，连续就有极限等于函数值，环环相扣，邻域就用皮亚诺余项的泰勒展开，区间就用拉格朗日余项的泰勒展开。

奥我可能是运气做对的。我只泰勒展开了一部分，或者可以理解为只等价无穷小了一部分。纯运气做对的。。。还是得研究解析。

实际上假设把 f(x) 同时皮亚诺余项泰勒展开，答案直接出来了，也不需要用什么导数定义。直接一箭双雕。

其实也还好，我做法也还好，就是相当于极限化简做法去做的，但是没有答案那么合理，这个解析真的可以，一题多解，开拓我的思路，考试的时候一种方法就好，平时的时候多积累几种方法，可以选择的空间多一些。

总结

非常简单。我飘了。

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前言

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