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概率论与数理统计核心知识点与公式总结（就业版）

news 来源：原创 2025/9/10 15:28:04

文章目录

概率论与数理统计核心知识点与公式总结（附实际应用）
- 一、概率论基础
- - 1.1 基本概念
  - 1.2 条件概率与独立性
- 二、随机变量及其分布
- - 2.0 随机变量
  - 2.0 分布函数（CDF）
  - 2.1 离散型随机变量
  - 2.2 连续型随机变量
  - 2.3 多维随机变量
  - - 2.3.1 联合分布
    - 2.3.2 边缘分布
    - 2.3.3 条件分布
    - 2.3.4 独立性判断
- 三、数字特征
- - 3.1 期望（均值）🌟🌟🌟🌟
  - 3.2 方差与标准差
  - 3.3 协方差与相关系数
- 四、大数定律与中心极限定理
- - 4.1 大数定律
  - 4.1 大数定律（辛钦）
  - 4.2 中心极限定理（CLT）
  - 4.3 切比雪夫不等式
- 五、数理统计基础
- - 5.1 抽样分布
  - 5.2 参数估计
- 六、假设检验
- - 6.1 检验步骤
  - 6.2 常见检验方法
- 七、回归分析
- - 7.1 一元线性回归
- 八、其他常用公式
- - 1. 协方差矩阵
  - 2. 标准化公式（Z分数）
- 九、实际应用案例
- - 案例1：正态分布在数据分析中的应用
  - 案例2：假设检验在A/B测试中的应用

概率论与数理统计核心知识点与公式总结（附实际应用）

一、概率论基础

1.1 基本概念

样本空间（Ω）
所有可能结果的集合，例如掷骰子的样本空间为 $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$ 。
概率公理
- 非负性： $\geq 0$
- 规范性： $P(\Omega) = 1$
- 可列可加性：若 $A_i$ 事件两两互斥，则
  $P\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i)$
事件：样本空间的子集，记为 $A, B$ 等。
基本事件：只含一个结果的事件。
必然事件：一定发生， $\Omega$ 。
不可能事件：不会发生， $\varnothing$ 。
互斥事件： $\cap B = \varnothing$ 。
古典概率
$\frac{\text{事件A包含的基本事件个数}}{\text{样本空间中基本事件总数}}$

前提：所有基本事件等可能发生

1.2 条件概率与独立性

条件概率公式 🌟🌟🌟🌟
$\frac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (\text{要求 } P(A) > 0)$
全概率公式（完备事件组）
若事件 ${B_i\}$ 是样本空间的划分（互斥且全覆盖），则：
$\sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A|B_i)$
贝叶斯定理 🌟🌟
$P(B_i|A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j) \cdot P(A|B_j)}$
独立事件 🌟🌟🌟🌟
若 $\cap B) = P(A)P(B)$ ，则称事件 $A$ 和 $B$ 独立。
事件 $A$ 与 $B$ 独立当且仅当：
$\cap B) = P(A) \cdot P(B)$
乘法公式🌟🌟🌟🌟
$\cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$

二、随机变量及其分布

2.0 随机变量

离散型：取有限或可数个值
连续型：在某区间内取无限多个值

2.0 分布函数（CDF）

$\leq x)$

性质：右连续，单调不减， $\le F(x) \le 1$

2.1 离散型随机变量

分布律
$P(X = x_i) = p_i$ ，满足 $\sum p_i = 1$ 。
常见分布
- 二项分布 $B (n, p)$
  描述 $n$ 次独立重复试验的成功次数：
  $P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$
  应用场景：产品质检中的合格品数量预测。
- 泊松分布 $P(\lambda)$
  描述单位时间内事件发生的次数：
  $\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$
  应用场景：客服中心每小时接到的电话数。
离散型分布🌟🌟

分布	参数	概率质量函数 $P (X = x)$	期望 $E (X)$	方差 $D (X)$
0-1分布	$p$	$P(1)=p,\ P(0)=1-p$	$p$	$p (1 - p)$
二项分布	$n, p$	$P(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$	$n p$	$n p (1 - p)$
几何分布	$p$	$P(k)=(1-p)^{k-1}p$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$
泊松分布	$\lambda$	$P(k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$	$\lambda$	$\lambda$

2.2 连续型随机变量

概率密度函数（PDF）
$\geq 0$ ，且 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = 1$ 。
常见分布 🌟🌟
- 正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$
  $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
  应用场景：学生考试成绩分布。
- 指数分布 $Exp(\lambda)$
  $\lambda e^{-\lambda x} \quad (x \geq 0)$
  应用场景：电子元件的寿命建模。
连续型分布

分布	参数	密度函数 $f (x)$	期望 $E (X)$	方差 $D (X)$
均匀分布	$a, b$	$f(x)=\frac{1}{b-a}$ , $x\in[a,b]$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a)^2}{12}$
指数分布	$\lambda$	$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ , $x\ge0$	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{1}{\lambda^2}$
正态分布	$\mu,\sigma^2$	$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$	$\mu$	$\sigma^2$

2.3 多维随机变量

2.3.1 联合分布

联合分布函数： $\le x, Y \le y)$
联合密度函数： $f (x, y)$ （连续）或 $P (X = x, Y = y)$ （离散）

2.3.2 边缘分布

$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y)dy,\quad f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y)dx$

2.3.3 条件分布

条件密度： $f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}$

2.3.4 独立性判断

若 $f_X(x) \cdot f_Y(y)$ ，则 $X$ 与 $Y$ 独立。

三、数字特征

3.1 期望（均值）🌟🌟🌟🌟

定义
离散型： $\sum x_i P(X=x_i)$
连续型： $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)dx$
线性性质 🌟🌟
$E (a X + b) = a E (X) + b$

3.2 方差与标准差

方差 🌟🌟🌟🌟🌟🌟
$D(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2$
标准差
$\sigma_X = \sqrt{D(X)}$
性质
$D(aX + b) = a^2D(X)$

3.3 协方差与相关系数

协方差：
$\mathrm{Cov}(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]$
相关系数：
$\rho_{XY} = \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)} \cdot \sqrt{D(Y)}}$

四、大数定律与中心极限定理

4.1 大数定律

弱大数定律
样本均值依概率收敛于期望：
$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow{P} \mu \quad (n \to \infty)$

4.1 大数定律（辛钦）

设 $X_1, ..., X_n$ 独立同分布， $E(X_i)=\mu$ ，则：
$\overline{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow{P} \mu$

4.2 中心极限定理（CLT）

核心结论
独立同分布随机变量的和近似正态分布，设 $X_i$ 独立同分布， $E(X_i)=\mu, D(X_i)=\sigma^2$ ，则：
$\frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0, 1)$
应用场景：民意调查中样本均值的分布。

4.3 切比雪夫不等式

$\mu| \ge \varepsilon) \le \frac{D(X)}{\varepsilon^2}$

五、数理统计基础

5.1 抽样分布

样本均值
$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$
样本方差
$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$
样本统计量
样本均值： $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum X_i$
样本方差： $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum (X_i - \overline{X})^2$
三大分布
- 卡方分布 $\chi^2(n)$ ：若 $X_i \sim N(0,1)$ ，则 $\sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2(n)$
- t分布 $t (n)$ ： $\frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$
- F分布 $F (m, n)$ ： $\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2} \sim F(m-1, n-1)$

5.2 参数估计

点估计：直接用样本统计量估计总体参数
区间估计：构造置信区间估计参数
最大似然估计（MLE）
通过最大化似然函数 $L(\theta) = \prod f(x_i; \theta)$ 求解参数。
正态总体均值的置信区间
- $\sigma$ 已知： $\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
- $\sigma$ 未知： $\bar{X} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}}$
点估计
- 矩估计法：用样本矩估计总体矩。
- 最大似然估计（MLE）：最大化似然函数 $L(\theta) = \prod f(x_i; \theta)$ 。
区间估计
- 正态总体均值置信区间（ $\sigma$ 已知）：
  $\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
- $\sigma$ 未知时：
  $\bar{X} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}}$

六、假设检验

6.1 检验步骤

提出原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$ 。
选择检验统计量（如Z统计量、t统计量）。
确定显著性水平 $\alpha$ （如 0.05）和拒绝域。
求出 P 值或临界值并判断是否拒绝 $H_0$ ，计算p值并得出结论。

6.2 常见检验方法

Z检验：已知总体方差时使用。
t检验：小样本且总体方差未知时使用。
卡方检验：检验方差或分布拟合优度。

检验类型	条件	分布
单样本Z检验	$\sigma$ 已知	$\sim N(0,1)$
单样本t检验	$\sigma$ 未知	$\sim t(n-1)$
双样本t检验	两正态总体	$\sim t(n_1+n_2-2)$
卡方检验	适配性、独立性检验	$\chi^2$ 分布

七、回归分析

7.1 一元线性回归

模型
$\beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$
最小二乘法估计
$\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}, \quad \hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}$

Python代码示例

import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegressionX = np.array([1, 2, 3, 4, 5]).reshape(-1, 1)
y = np.array([2, 4, 5, 4, 5])
model = LinearRegression().fit(X, y)
print(f"斜率: {model.coef_[0]:.2f}, 截距: {model.intercept_:.2f}")

八、其他常用公式

1. 协方差矩阵

$\Sigma = \begin{bmatrix} D(X) & \mathrm{Cov}(X,Y) \\ \mathrm{Cov}(Y,X) & D(Y) \end{bmatrix}$

2. 标准化公式（Z分数）

$\frac{X - \mu}{\sigma} \Rightarrow Z \sim N(0,1)$

九、实际应用案例

案例1：正态分布在数据分析中的应用

场景：某班级学生身高服从正态分布 ( N(170, 5^2) )，计算身高超过180cm的概率。
Python实现：

from scipy.stats import norm
prob = 1 - norm.cdf(180, loc=170, scale=5)
print(f"概率: {prob:.4f}")  # 输出：0.0228

案例2：假设检验在A/B测试中的应用

场景：对比新旧页面转化率，使用Z检验判断差异是否显著。

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编程日记 2025/9/6 6:57:27

Linux : 多线程互斥

目录一前言二线程互斥三 Mutex互斥量 1. 定义一个锁（造锁） 2. 初始化锁 3. 上锁 4. 解锁 5. 摧毁锁四锁的使用五锁的宏初始化六锁的原理 1.如何看待锁？ 2. 如何理解加锁和解锁的本质七 c封装互斥锁八可重入…...

编程日记 2025/9/6 15:55:55

【数学建模】佳点集(Good Point Set)在智能优化算法中的应用与实现

佳点集(Good Point Set)在智能优化算法中的应用与实现文章目录佳点集(Good Point Set)在智能优化算法中的应用与实现1. 佳点集概述2. 佳点集的数学原理3. 佳点集在智能优化算法中的应用3.1 改进麻雀搜索算法(SSA)3.2 改进量子粒子群优化算法(QPSO)3.3 自适应分组差分变异狼群…...

编程日记 2025/9/6 9:31:25

redis linux 安装简单教程（redis 3.0.4）

redis.3.0.4.tar.gz 下载地址链接: https://pan.baidu.com/s/19VAcrA6XS4mIesH6e5Jftg 提取码: bn2r （1）以安装目录：/home/zsl （2）将redis-3.0.4.tar.gz 拷贝到/home/zsl （3）tar xzvf redis-3.…...

编程日记 2025/9/7 1:23:53

探秘 Python 网络编程：构建简单聊天服务器

在计算机网络的世界里，网络编程是实现不同设备之间通信的关键技术。Python 凭借其简洁的语法和强大的库支持，在网络编程领域有着广泛的应用。无论是构建简单的聊天服务器，还是开发复杂的网络应用，Python 都能轻松胜任。 1 理论基础…...

编程日记 2025/9/9 4:08:50

debian转移根目录

如何在 BIOS 启动的 Debian 虚拟机中将根目录转移到 /dev/sda 设备上？本文将从硬盘分区，根目录复制，重新启动等几个方面介绍。硬盘分区 1.检查磁盘：查看当前的磁盘和分区情况，确认新添加的磁盘设备名称。 parted -…...

编程日记 2025/9/6 10:02:22

vue3 element-plus表单验证

第一准备一个表单 form.vue <template><div><el-form><el-form-item label"姓名" prop"name"><el-input v-model"data.name" placeholder"请输入姓名"></el-input></el-form-item></e…...

编程日记 2025/9/10 11:14:47

Deepseek IP-Adapter与InstantID的区别

IP-Adapter与InstantID均为基于扩散模型的图像生成控制技术，但两者的算法设计目标、核心模块及应用场景存在显著差异。以下从技术架构、特征处理、条件控制等维度对比两者的差异： 1. 核心设计目标 IP-Adapter 由腾讯团队提出（2023年8月&…...

编程日记 2025/9/7 15:37:21

OSI 七层模型与 TCP/IP 协议栈详解

OSI 七层模型与 TCP/IP 协议栈详解网络协议模型是理解计算机网络和通信的基础，而 OSI 七层模型和 TCP/IP 协议栈是最常见的两种网络通信模型。虽然这两者有些不同，但它们都提供了一种分层的结构，帮助我们理解和设计网络通信。本文将详细介绍…...

编程日记 2025/9/9 0:26:54

synchronize 或者lock 锁常见的使用场景

在 Java 多线程编程中，synchronized 和 Lock（如 ReentrantLock）是两种常见的线程同步机制。以下是它们的核心区别和典型使用场景，结合代码示例说明： 一、synchronized 的常见场景 1. 简单的临界区保护 public class …...

编程日记 2025/9/5 15:37:23

Redis之缓存更新策略

缓存更新策略文章目录缓存更新策略一、策略对比二、常见的缓存更新策略三、如何选择策略四、实际应用示例五、使用 Cache-Aside TTL 的方式，实现缓存商铺信息详情1.引入StringRedisTemplate2.将查询商铺信息加入缓存3.更新商铺信息时移除缓存总结六、注意事项一…...

编程日记 2025/8/29 19:57:25

【操作系统学习篇-Linux】进程

1. 什么是进程课本概念：程序的一个执行实例，正在执行的程序等内核观点：担当分配系统资源（CPU时间，内存）的实体。如果你就看这个来理解进程，那么恭喜你，作为初学者，你…...

编程日记 2025/9/6 18:07:57

Docker 前瞻

一、namespace 指令 1.1 dd 命令 dd 命令用于读取、转换并输出数据。 dd 命令可从标准输入或文件中读取数据，根据指定的格式来转换数据，再输出到文件、设备或标准输出。语法 dd option if 文件名：输入文件名，默认为标准输入…...

编程日记 2025/9/4 15:49:07

【maxENT】最大熵模型（Maximum Entropy Model）R语言实现

文章目录一、相关package介绍1.1 dismo 包1.2 raster包1.3 常见问题与解决二、代码示例 🟢🟠先看：【maxENT】最大熵模型（Maximum Entropy Model）介绍与使用（maxENT软件） ASCII文件太大&#…...

编程日记 2025/9/9 6:18:44

高负载WEB服务器--Tomcat

高负载WEB服务器–Tomcat Tomcat介绍 Tomcat 是一个开源的轻量级应用服务器，在 Java Web 应用开发中被广泛使用。发展历程：Tomcat 最初由 Sun Microsystems 开发，后来成为 Apache 软件基金会的一个项目。它的发展与 Java 技术的发展密切相…...

编程日记 2025/8/28 12:38:00