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灰色预测模型:GM(1,1)预测模型

news 来源：原创 2025/9/10 14:52:39

灰色预测模型

灰色预测的主要特点是模型使用的不是原始数据序列，而是生成的数据序列。核心体系是灰色模型，即对原始数据作累加生成（或其他方法生成）得到近似的指数规律再进行建模的方法，优点是不需要很多的数据，一般只需要 4 个数据，就能解决历史数据少、序列的完整性及可靠性低的问题；能利用微分方程来充分挖掘系统本质，精度高；能将无规律的原始数据进行生成得到规律性较强的生成序列，运算简便，易于检验，不考虑分布规律，不考虑变化趋势。缺点是只适用于中短期的预测，只适合指数增长的预测。

GM(1,1)预测模型

$GM (1, 1)$ 表示的是一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色模型。

$GM (1, 1)$ 模型预测方法

定义：已知参考数据列 $x^{(0)} = (x^{(0)}(1), x^{(0)}(2), \dots, x^{(0)}(n))$
$1$ 次累加生成序列 $(1 - A GO)$
$\begin{align*} x^{(1)} &= (x^{(1)}(1), x^{(1)}(2), \dots, x^{(1)}(n)) \\ &= (x^{(0)}(1), x^{(0)}(1) + x^{(0)}(2), \dots, x^{(0)}(1) + \cdots + x^{(0)}(n)), \end{align*}$
式中： $x^{(1)}(k) = \sum\limits_{i=1}^{k} x^{(0)}(i)$ ， $1,2,\dots,n$ 。

$x^{(1)}$ 的均值生成序列
$z^{(1)} = (z^{(1)}(2), z^{(1)}(3), \dots, z^{(1)}(n)),$
式中： $z^{(1)}(k) = 0.5x^{(1)}(k) + 0.5x^{(1)}(k - 1)$ ， $2,3,\dots,n$ 。

建立灰微分方程
$x^{(0)}(k) + az^{(1)}(k) = b, \quad k = 2,3,\dots,n,$
相应的白化微分方程为
$\frac{dx^{(1)}}{dt} + ax^{(1)}(t) = b \quad (1).$

记 $u = [a, b]^T$ , $[x^{(0)}(2), x^{(0)}(3), \dots, x^{(0)}(n)]^T$ , $\begin{bmatrix} -z^{(1)}(2) & 1 \\ -z^{(1)}(3) & 1 \\ \vdots & \vdots \\ -z^{(1)}(n) & 1 \end{bmatrix}$ ，则由最小二乘法，求得使 $Bu)^{\mathrm{T}}(Y - Bu)$ 达到最小值的 $u$ 的估计值为
$\hat{\boldsymbol{u}} = [\hat{a}, \hat{b}]^{\mathrm{T}} = (B^{\mathrm{T}}B)^{-1}B^{\mathrm{T}}Y,$
于是求解方程(1)，得 :
$\hat{x}^{(1)}(k + 1) = \left( x^{(0)}(1) - \frac{\hat{b}}{\hat{a}} \right) e^{-\hat{a}k} + \frac{\hat{b}}{\hat{a}}, \quad k = 0,1,\cdots,n - 1,\cdots 。$
2. $GM (1, 1)$ 模型预测步骤

数据的检验与处理

为了验证建模方法的可行性，需要对已知数据列作必要的检验处理。设参考数据为 $x^{(0)} = (x^{(0)}(1), x^{(0)}(2), \dots, x^{(0)}(n))$ ，计算序列的级比 $\lambda(k) = \frac{x^{(0)}(k - 1)}{x^{(0)}(k)}$
$2,3,\dots,n$ 。如果所有的级比 $\lambda(k)$ 都落在可容覆盖 $\Theta = \left( e^{-\frac{2}{n + 1}}, e^{\frac{2}{n + 1}} \right)$ 内，则序列 $x^{(0)}$ 可以作为建模 $GM (1, 1)$ 的数据进行灰色预测。否则，需要对序列 $x^{(0)}$ 做必要的变换，使其落入可容覆盖内。如取适当常数 $c$ ，作平移变换 $y^{(0)}(k) = x^{(0)}(k) + c$ ， $1,2,\dots,n$ ，使序列 $y^{(0)} = (y^{(0)}(1), y^{(0)}(2), \dots, y^{(0)}(n))$ 的级比 $\lambda_y(k) = \frac{y^{(0)}(k - 1)}{y^{(0)}(k)} \in \Theta$ ， $2,3,\dots,n$

建立模型
按式 $(1)$ 建立 $GM (1, 1)$ 模型，则可以得到预测值 $\hat{x}^{(1)}(k + 1) = \left( x^{(0)}(1) - \frac{\hat{b}}{\hat{a}} \right) e^{-\hat{a}k} + \frac{\hat{b}}{\hat{a}}$
$0,1,\dots,n - 1,\dots$ ，而且 $\hat{x}^{(0)}(k + 1) = \hat{x}^{(1)}(k + 1) - \hat{x}^{(1)}(k)$ ， $1,2,\dots,n - 1,\dots$ 。
检验预测值
- 残差检验
  令残差为 $\varepsilon(k)$ ，计算 $\varepsilon(k) = \frac{x^{(0)}(k) - \hat{x}^{(0)}(k)}{x^{(0)}(k)}$ ， $1,2,\dots,n$ ，这里 $\hat{x}^{(0)}(1) = x^{(0)}(1)$ 。如果 $\varepsilon(k) < 0.2$ ，则认为达到一般要求；如果 $\varepsilon(k) < 0.1$ ，则认为达到较高的要求。
- 级比偏值检验
  首先由参考数据 $\frac{x^{(0)}(k - 1)}{x^{(0)}(k)}$ 计算出级比 $\lambda(k)$ ，再用发展系数 $a$ 求出相应的级比偏差 $\rho(k) = 1 - \left( \frac{1 - 0.5a}{1 + 0.5a} \right) \lambda(k)$ 。如果 $\rho(k) < 0.2$ 则认为达到一般要求；如果 $\rho(k) < 0.1$ 则认为达到较高的要求。
预测预报
由 $GM (1, 1)$ 模型得到指定时区的预测值，根据实际问题的需要，给出相应的预测预报。

灰色预测模型

GM(1,1)预测模型

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