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机器学习中的数学(PartⅡ)——线性代数：概述

news 来源：原创 2025/9/11 8:16:12

首先引入代数和线性代数的概念：

  • 在将一些直观的、基于经验或直觉的概念转化为严格的数学或逻辑定义时，一种常用方法是构建一组对象和一组操作这些对象的规则，这就是代数。
  • 线性代数是研究向量和某些操作向量的规则。

其次从更广泛的意义上定义了向量，即满足以下两个特性的对象都可视为向量：

  • 两个对象可以相加；
  • 能乘以标量产生一个同类型的对象。

一些例子：

  • 几何向量：通常表示为一个有向线段，也是我们最熟悉的形式。
  • 多项式：也满足可加性和缩放性；

  • 语音信号：语音信号可被表示为一系列数值，也可以进行相加和缩放；
  • n维实数空间的元素（n个实数元组）：在机器学习中常用的向量表示形式，也是本书重点关注的形式；

\boldsymbol{a}=\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3}

数学中闭合(closure)的概念，即问题是：我的操作能产生的所有可能结果的集合是什么？在向量的例子中：对一组向量进行相加和缩放的操作，能产生的向量的集合是什么？这就涉及到了向量空间的概念。

作者还提供了思维导图，表示了各种概念和章节之间的联系：

可以简单看一下思维导图的脉络：由向量的概念出发，其具有一些特性，例如线性无关等；结合“闭合”的概念可引出向量空间；多个向量可组成矩阵，矩阵则可表示为对向量的一种线性/仿射变换，也可表示为一个线性方程组，可用高斯消元法进行求解等等。

最后还提供了一些线性代数优质课程的参考资料，其中还提到了3Blue1Brown的线性代数系列，该系列在B站有字幕版本，强烈推荐。

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