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算法基础—二分算法

news 来源：原创 2025/9/18 9:03:11

一、⼆分查找例题

1 牛可乐和魔法封印

2 A-B 数对

3 烦恼的高考志愿

二、⼆分答案

1 木材加⼯

2 砍树

3 跳石头

⼆分算法的原理以及模板其实是很简单的，主要的难点在于问题中的各种各样的细节问题。因此，⼤多数情况下，只是背会⼆分模板并不能解决题目，还要去处理各种乱七⼋糟的边界问题。

【案例】

题⽬来源：⼒扣

题⽬链接： 34. 在排序数组中查找元素的第⼀个和最后⼀个位置

难度系数： ★★

【题⽬描述】

给你⼀个按照⾮递减顺序排列的整数数组 nums ，和⼀个⽬标值 target 。请你找出给定⽬标值

在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在⽬标值 target ，返回 [-1, -1] 。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题

【解法】

解法一：暴力解法->从前往后扫描数组（慢在没有利用数组有序的特征）

解法二：二分算法

解决时的细节问题（因题目而异）：

1.while循环里面的判断如何写：while(left <right)/while(left <=right)；

2.求中点的方法:(left + right)/2 / (left + right+1)/2；

3.二分结束后，相遇点的情况：需要判断一下，循环结束后，是否是我们想要的结果；
class Solution {
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {int n = nums.size();//处理边界情况if(n == 0) return {-1,-1};//1.求起始位置int left = 0,right = n - 1;while(left < right){int mid = (left + right) / 2;if(nums[mid] >= target) right = mid;else left = mid + 1;}if(nums[left] != target) return{-1,-1};int retleft = left;//2.求终止位置left = 0,right = n-1;while(left < right){int mid = (left + right + 1) / 2;if(nums[mid] <= target) left = mid;else right = mid - 1;}return {retleft,left};}
};

【算法原理】

当我们的解具有⼆段性时，就可以使⽤⼆分算法找出答案：

根据待查找区间的中点位置，分析答案会出现在哪⼀侧；
接下来舍弃⼀半的待查找区间，转⽽在有答案的区间内继续使⽤⼆分算法查找结果

【模板】

⼆分的模板在⽹上⾄少能搜出来三个以上。但是，我们仅需掌握⼀个，并且⼀直使⽤下去即可。

// ⼆分查找区间左端点
int l = 1, r = n;
while(l < r)
{int mid = (l + r) / 2;if(check(mid)) r = mid;else l = mid + 1;
}
// ⼆分结束之后可能需要判断是否存在结果

/ ⼆分查找区间右端点
int l = 1, r = n;
while(l < r)
{int mid = (l + r + 1) / 2;if(check(mid)) l = mid;else r = mid - 1;
}
// ⼆分结束之后可能需要判断是否存在结果

为了防止溢出，求中点时可以使用：mid = left + (right - left) / 2

【⼆分问题解决流程】

1. 先画图分析，确定使⽤左端点模板还是右端点模板，还是两者配合⼀起使⽤；

2. ⼆分出结果之后，不要忘记判断结果是否存在，⼆分问题细节众多，⼀定要分析全⾯。

【STL 中的⼆分查找】

1. lower_bound ：⼤于等于 x 的最⼩元素，返回的是迭代器；时间复杂度： O(log N) 。

2. upper_bound ：⼤于 x 的最⼩元素，返回的是迭代器。时间复杂度： O(log N) 。

⼆者均采⽤⼆分实现。但是 STL 中的⼆分查找只能适⽤于"在有序的数组中查找"，如果是⼆分答案就不能使⽤。因此还是需要记忆⼆分模板

一、⼆分查找例题

1 牛可乐和魔法封印

题⽬来源：⽜客⽹

题⽬链接：⽜可乐和魔法封印

难度系数： ★★

【解法】

解法一：暴力解法->从前往后扫描一遍（O(n*q)）

解法二：二分算法

1.找到大于等于x的起始位置

2.找到小于等于y的终止位置

【参考代码】

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5;
int a[N];
int n,q;
int main()
{cin >> n;for(int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i];cin >> q;while(q--){int x,y;cin >> x >> y;//大于等于x的最小元素int left = 1,right = n;while(left < right){int mid = (left + right) / 2;if(a[mid] >= x) right = mid;else left = mid + 1;}if(a[left] < x){cout << 0 << endl;continue;}int retleft = left;//小于等于y的最大元素left = 1,right = n;while(left < right){int mid = (left + right + 1) / 2;if(a[mid] <= y) left = mid;else right = mid - 1;}if(a[left] > y){cout << 0 << endl;continue;}cout << left - retleft + 1 << endl;}return 0;
}

2 A-B 数对

题⽬来源：洛⾕

题⽬链接：A-B 数对

难度系数： ★

【解法】

分析可得到：

性质一：元素的顺序是不影响最终结果的

可以先把整个数组排序
把A-B=C变形成B=A-C通过枚举A，然后查找有多少个B

【参考代码】

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;typedef long long LL;
const int N = 2e5 + 10;
LL a[N];
LL n,c;int main()
{cin >> n >> c;for(int i = 1;i <= n;i++)cin >> a[i];sort(a+1,a+n+1);LL ret = 0;for(int i = 2;i <=n;i++){LL b = a[i] - c;ret += upper_bound(a+1,a+i,b) - lower_bound(a+1,a+i,b);}cout << ret << endl;return 0;
}
//其实此题的最优解是哈希表 题解如下：
// #include<iostream>
// #include<unordered_map>
// using namespace std;// const int N = 2e5 + 10;
// typedef long long LL;
// LL a[N];
// unordered_map<LL,LL> mp;
// LL sum;
// int main(){
// 	LL n,c;cin >> n >> c;
// 	for(LL i = 1;i <= n;i++){
// 		cin >> a[i];
// 		mp[a[i]]++;
// 	}
// 	for(int i = 1;i <= n;i++){
// 		sum += mp[a[i] + c];
// 	}
// 	cout << sum << endl;
// 	return 0;
// }

3 烦恼的高考志愿

题⽬来源：洛⾕

题⽬链接： P1678 烦恼的⾼考志愿

难度系数： ★★

【解法】

分析题意：给点一个数b，然后在数组中找出离b最近的那个数

解法一：利用set来解决

解法二：排序+二分（找出大于等于B的最小的元素的位置）

【参考代码】

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
LL a[N];
int m,n;
LL ret;
int main()
{cin >> m >> n;for(int i = 1;i <= m;i++) cin >> a[i];sort(a,a+m+1);a[0] = -1e7 + 10;for(int i = 1;i <= n;i++){LL x;cin >> x;int left = 1,right = m;while(left < right){int mid = (left + right) / 2;if(a[mid] >= x) right = mid;else left = mid + 1;}ret += min(abs(a[left]-x),abs(a[left-1]-x));}cout << ret << endl;return 0;
}

二、⼆分答案

准确来说，应该叫做「⼆分答案 + 判断」。

⼆分答案可以处理⼤部分「最⼤值最⼩」以及「最⼩值最⼤」的问题。如果「解空间」在从⼩到⼤的「变化」过程中，「判断」答案的结果出现「⼆段性」，此时我们就可以「⼆分」这个「解空间」，通过「判断」，找出最优解。

刚接触的时候，可能觉得这个「算法原理」很抽象。没关系，道题的练习过后，你会发现这个「⼆分答案」的原理其实很容易理解，重点是如何去「判断」答案的可⾏性

1 木材加⼯

题⽬来源：洛⾕

题⽬链接： P2440 ⽊材加⼯

难度系数： ★★

【解法】

解法一：暴力解法（这个解法的时间复杂度O(n*L)->1e13,会超时）

枚举所有的切割长度x
求出在x的情况下，能切出来多少段->C
找出C>=k的情况下，最大的x

解法二：利用二分来优化

x表示：切割出来的小段长度

c表示：在x的基础下，最多能切出来多少段

k表示：最终要切出来的段数

根据题意，可以发现如下性质，：

当 x 增⼤的时候， c 在减⼩。也就是最终要切成的⻓度越⼤，能切的段数越少；
当 x 减⼩的时候， c 在增⼤。也就是最终要切成的⻓度越⼩，能切的段数越多。

那么在整个「解空间」里面，设最终的结果是 ret ，于是有：

当x ≤ ret 时，c ≥ k 。也就是「要切的⻓度」⼩于等于「最优⻓度」的时候，最终切出来的段数「⼤于等于」k；
当 x > ret时，c < k 。也就是「要切的⻓度」⼤于「最优⻓度」的时候，最终切出来的段数「⼩于」k ；

在解空间中，根据的位置，可以将解集分成两部分，具有「⼆段性」，那么我们就可以「⼆分答案」。

当我们每次⼆分⼀个切成的⻓度 x 的时候，如何算出能切的段数 c ？

很简单，遍历整个数组，针对每⼀根⽊头，能切成的段数就是 a[i] / x 。

【参考代码】

#include<iostream>
using namespace std;typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
LL a[N];
int n,k;//当切割长度为mid的时候，最多能切出来多少段 
LL calc(int mid)
{LL c = 0;for(int i = 1;i <= n;i++){c += a[i] / mid;}return c;
}
int main()
{cin >> n >> k;LL m = 0;for(int i = 1;i <= n;i++){cin >> a[i];m = max(m,a[i]);}LL left = 0,right = m;while(left < right){LL mid = (left + right + 1) / 2;if(calc(mid) >= k) left = mid;else right = mid - 1;}cout << left << endl;return 0;
}

2 砍树

题⽬来源：洛⾕

题⽬链接：P1873 [COCI 2011/2012 #5] EKO / 砍树

难度系数： ★★

【解法】

H表示：伐木机的高度

C表示:当伐木机的高度为h的时候，所能获得的木材

当 H 增⼤的时候， C 在减⼩；
当 H 减⼩的时候， C 在增⼤。

那么在整个「解空间」⾥⾯，设最终的结果是 ret ，于是有：

当H<=ret 时，C>=M 。也就是「伐⽊机的⾼度」⼤于等于「最优⾼度」时，能得到的⽊材「⼩于等于」M ；

当H>ret 时，C < M 。也就是「伐⽊机的⾼度」⼩于「最优⾼度」时，能得到的⽊材「⼤于」M 。

在解空间中，根据的位置，可以将解集分成两部分，具有「⼆段性」，那么我们就可以「⼆分答案」。
当我们每次⼆分⼀个伐⽊机的⾼度 H 的时候，如何算出得到的⽊材 C ？

很简单，遍历整个数组，针对每⼀根⽊头，能切成的⽊材就是 a[i] - H

【参考代码】

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e6 + 10;
LL a[N];
int n,m;// 当伐木机的高度为 x 时，所能获得的木材
LL calc(int x)
{LL c = 0;for(int i = 1;i <= n;i++){if(a[i] > x) c += a[i] - x;}return c;
}
int main()
{cin >> n >> m;LL maxh = 0;for(int i = 1;i <= n;i++){cin >> a[i];maxh = max(maxh,a[i]);}LL left = 1,right = maxh;while(left < right){LL mid = (left + right + 1) / 2;if(calc(mid) >= m) left = mid;else right = mid - 1;}cout << left << endl;return 0;
}

3 跳石头

题⽬来源：洛⾕

题⽬链接： P2678 [NOIP2015 提⾼组] 跳⽯头

难度系数： ★★

【解法】

x表示：最短的跳跃距离

c表示：在跳跃距离为x的情况下，移走的岩石

根据题意，我们可以发现如下性质：

当 x 增⼤的时候， c 也在增⼤；
当 x 减⼩的时候， c 也在减⼩。

那么在整个「解空间」⾥⾯，设最终的结果是 ret ，于是有：

当时x ≤ ret，c ≤ M。也就是「每次跳的最短距离」⼩于等于「最优距离」时，移⾛的⽯头块数「⼩于等于」M ；
当时x > ret，c > M。也就是「每次跳的最短距离」⼤于「最优距离」时，移⾛的⽯头块数「⼤于」 M。

在解空间中，根据ret 的位置，可以将解集分成两部分，具有「⼆段性」，那么我们就可以「⼆分答案」。

当我们每次⼆分⼀个最短距离 x 时，如何算出移⾛的⽯头块数 c ？

定义前后两个指针 i, j 遍历整个数组，设 i ≤ j ，每次 j 从 i 的位置开始向后移动；
当第⼀次发现 a[j] - a[i] ≥ x 时，说明 [i + 1, j - 1] 之间的⽯头都可以移⾛；
然后将 i 更新到 j 的位置，继续重复上⾯两步。

【参考代码】

#include<iostream>
using namespace std;const int N = 5e4 + 10;
int a[N];
int l,n,m;
//当最短跳跃距离为x时，移走的岩石数目 
int calc(int x)
{int ret = 0;for(int i = 0;i <= n;i++){int j = i + 1;while(j <= n && a[j] - a[i] < x) j++;ret += j - i -1;i = j - 1;}return ret;
}
int main()
{cin >> l >> n >> m;for(int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i];a[n+1] = l;n++;int left = 1,right = l;while(left < right){int mid = (left + right + 1) / 2;if(calc(mid) <= m) left = mid;else right = mid - 1;}cout << left << endl;return 0;}

算法基础—二分算法

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编程日记 2025/9/12 6:52:15

S32K144的m_data_2地址不够存,重新在LD文件中配置地址区域

在开发平台软件的时候代码中超出了64K的内存，单纯在ld文件中，增加m_data_2的存储长度，原先是0x00007000,我将长度修改为0x00008000,起始地址还是0x20000000,软件编译没有报错堆栈超出，但是软件下载到单片机中之后，144不…...

编程日记 2025/9/8 5:01:47

Spyder、PyCharm、VS Code 和 Jupyter Notebook 对比分析

在进行 Python 编程时，Spyder、PyCharm、VS Code 和 Jupyter Notebook 是最常用的几款开发工具（IDE/编辑器）。以下是它们在不同维度下的对比分析 🔧 一、基础介绍软件类型主要特点Spyder科学计算IDE类似 MATLAB，集成…...

编程日记 2025/9/16 13:51:24

vue3腾讯云直播前端拉流（前端页面展示直播）

1、引入文件，在index.html <link href"https://tcsdk.com/player/tcplayer/release/v5.3.2/tcplayer.min.css" rel"stylesheet" /><script src"https://tcsdk.com/player/tcplayer/release/v5.3.2/t…...

编程日记 2025/9/11 0:38:54

应急物资仓库管理系统|基于GAV仓库管理的应用

基于AGV应用的应急物资管理系统(智物资DW-S300)建设的目标是实现应急物资管理的信息化、智能化、规范化,保证应急物资的安全性和使用时的高效性，做到应急物资可追踪、可溯源。构建一个应急物资仓储管理系统实现包括系统基本信息管理、入库管理、出库管理、筹措管理…...

编程日记 2025/9/5 11:50:19

ArkTS语言入门之接口、泛型、空安全、特殊运算符等

前言臭宝们，今天我们来学习ArkTS中最后的一些内容。实现接口包含implements子句的类必须实现列出的接口中定义的所有方法，但使用默认实现定义的方法除外。 interface DateInterface {now(): string; } class MyDate implements DateInterface {no…...

编程日记 2025/9/5 21:45:47

蓝桥杯c++每日刷题（洛谷）

目录 P10385 [蓝桥杯 2024 省 A] 艺术与篮球 - 洛谷 (luogu.com.cn) P8706 [蓝桥杯 2020 省 AB1] 解码 - 洛谷 (luogu.com.cn) P8711 [蓝桥杯 2020 省 B1] 整除序列 - 洛谷 (luogu.com.cn) P8722 [蓝桥杯 2020 省 AB3] 日期识别 - 洛谷 (luogu.com.cn) P10385 [蓝桥杯 2024…...

编程日记 2025/9/15 3:36:18

Python+Requests 企业级接口测试入门（1~3天）

PythonRequests 企业级接口测试入门 1、GET接口简单案例我的答案： import time import requestsdef get_all_users():try:response requests.get(urlhttps://reqres.in/api/users, #接口地址timeout10 #超时时间)respons…...

编程日记 2025/9/16 4:54:50

【android bluetooth 框架分析 01】【关键线程 3】【bt_jni_thread 线程介绍】

1. bt_jni_thread 职责介绍 bt_jni_thread 这个线程的作用是专门负责处理蓝牙 JNI 层的消息循环，也可以说是 C 层和 Java 层交互的桥梁线程。 1.1 什么是 JNI 层？为什么需要这个线程？ JNI（Java Native Interface）是 …...

编程日记 2025/9/9 3:01:03

CCF - GESP Python三级考试题目示例

CCF - GESP Python三级考试题目示例，你可以根据实际需求进行调整。一、单选题（每题2分，共30分） 以下关于Python中函数的说法，错误的是（ ） A. 函数定义使用def关键字 B. 函数必须有返回值 C.…...

编程日记 2025/9/3 14:04:28

Windows10系统更改盘符

Windows10系统更改盘符导航文章目录 Windows10系统更改盘符导航更改盘符更改盘符按下wini,再按k进入磁盘管理器右击你想更改的磁盘，选择“更改驱动器号”和路径，选择好驱动器号后确定即可...

编程日记 2025/9/17 15:02:30

软件功能性测试有多重要?功能性测试工具有哪些?

软件功能性测试是指对软件应用程序进行的测试，旨在验证软件的每一个功能是否按预定要求正常运作。功能性测试通常基于软件的需求文档，从用户的角度出发，确保所有功能都能够满足用户的需求。软件功能性测试在软件开发生命周期中扮演着至关重…...

编程日记 2025/9/11 16:48:21

未来生态映像：杭州的科技自然协奏曲

故事背景故事发生在2050年的中国杭州，这座千年古城已蜕变为科技与自然完美交融的未来生态之城。从晨曦微露的西湖到暮色中的良渚文化村，每个角落都上演着人类智慧与自然韵律的动人对话。故事摘要当第一缕阳光亲吻西湖的生态浮岛，无人机携带…...

编程日记 2025/9/16 6:10:07

电商核心指标解析与行业趋势：数据驱动的增长策略【大模型总结】

电商核心指标解析与行业趋势：数据驱动的增长策略在电商领域，数据是决策的核心。从流量监测到用户行为分析，从价格策略到技术赋能，每一个环节的优化都离不开对核心指标的深度理解。本文结合行业最新趋势与头部平台实践&#xff0…...

编程日记 2025/9/9 8:11:06

ubuntu自动更新--unattended-upgrades

ubuntu自动更新--unattended-upgrades 1 介绍2 发展历程3 配置与使用4 disable Auto update服务命令参考 1 介绍 Unattended-Upgrades 是一个用于自动更新 Debian 及其衍生系统（如 Ubuntu）的工具。它的主要功能是自动检查、下载并安装系统更新&#xf…...

编程日记 2025/9/16 3:55:47

在Ubuntu 22.04上配置【C/C++编译环境】

在Ubuntu 22.04上配置C/C编译环境如果你想在Ubuntu 22.04上编译和运行C或C程序，首先需要安装一个合适的编译器和相关工具。本文将为你提供详细的安装建议和操作步骤，帮助你快速搭建开发环境。准备工作在开始之前，确保你的系统可以通过终…...

编程日记 2025/9/12 8:04:18

费马小定理

快速幂理论 a n a a ⋯ a a^n a a \cdots a anaa⋯a，暴力的计算需要 O(n) 的时间。快速幂使用二进制拆分和倍增思想，仅需要 O(logn) 的时间。对 n 做二进制拆分，例如， 3 13 3 ( 1101 ) 2 3 8 ⋅ 3 4 ⋅ 3 1 3^{13}…...

编程日记 2025/9/15 7:35:18

一、⼆分查找例题

1 牛可乐和魔法封印

2 A-B 数对

3 烦恼的高考志愿

二、 ⼆分答案

1 木材加⼯

2 砍树

3 跳石头

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二、⼆分答案