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单位矩阵的特点

news 来源：原创 2025/9/19 6:54:12

《单位矩阵的特性与重要性质》

单位矩阵是一种特殊的方阵，具有以下特点：

主对角线元素全为 1：单位矩阵 I n I_n In​是一个 n × n n\times n n×n的方阵，其主对角线（从左上角到右下角的对角线）上的元素均为 1 1 1，而其他位置的元素均为 0 0 0。例如， 3 × 3 3\times3 3×3的单位矩阵为 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} ​100​010​001​ ​。

与任何矩阵相乘结果不变：若 A A A是一个 m × n m\times n m×n的矩阵， I m I_m Im​是 m × m m\times m m×m的单位矩阵， I n I_n In​是 n × n n\times n n×n的单位矩阵，则有 I m A = A I_mA = A Im​A=A， A I n = A AI_n = A AIn​=A。这就好比数学中的数字 1 1 1，任何数乘以 1 1 1都等于它本身，单位矩阵在矩阵乘法中就起到了类似 “ 1 1 1” 的作用。

行列式的值为 1：单位矩阵的行列式 ∣ I n ∣ = 1 \vert I_n\vert = 1 ∣In​∣=1。行列式是一个方阵的一个重要特征值，单位矩阵的行列式值为 1 1 1，这是它的一个重要性质。

逆矩阵是其本身：单位矩阵的逆矩阵就是它自身，即 I − 1 = I I^{-1}=I I−1=I。因为 I I = I II = I II=I，满足逆矩阵的定义。

转置矩阵是其本身：单位矩阵转置后仍然是单位矩阵，即 I T = I I^T = I IT=I。这是由于单位矩阵关于主对角线对称，其转置不改变矩阵的元素，所以还是单位矩阵。

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