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[实战] 天线阵列波束成形原理详解与仿真实战（完整代码）

news 来源：原创 2025/9/21 11:06:01

天线阵列波束成形原理详解与仿真实战

1. 引言

在无线通信、雷达和声学系统中，波束成形（Beamforming）是一种通过调整天线阵列中各个阵元的信号相位和幅度，将电磁波能量集中在特定方向的技术。其核心目标是通过空间滤波增强目标方向的信号，同时抑制干扰和噪声。本文将从阵列模型、波束成形原理、数学推导及波束增益计算等方面展开详细分析。

2. 天线阵列模型

2.1 均匀线性阵列（ULA）

假设一个由 $N$ 个各向同性阵元组成的均匀线性阵列（Uniform Linear Array, ULA），阵元间距为 $d$ 。以第一个阵元为参考点，第 $n$ 个阵元的位置为：
$x_n = (n-1)d \quad (n=1,2,\dots,N)$

2.2 远场假设

当信号源距离阵列足够远时，入射波可视为平面波。假设信号入射方向与阵列法线方向的夹角为 $\theta$ ，则相邻阵元间的相位差为：
$\Delta \phi = \frac{2\pi d \sin\theta}{\lambda}$
其中 $\lambda$ 为波长。

3. 波束成形的基本原理

3.1 阵列响应向量

对于入射角度 $\theta$ ，阵列的响应向量（导向向量）为：
$\mathbf{a}(\theta) = \left[ 1, e^{j\Delta\phi}, e^{j2\Delta\phi}, \dots, e^{j(N-1)\Delta\phi} \right]^T$

3.2 加权合成

通过为每个阵元分配复权重 $w_n$ ，合成输出信号为：
$\mathbf{w}^H \mathbf{x}(t) = \sum_{n=1}^N w_n^* x_n(t)$
其中 $\mathbf{w} = [w_1, w_2, \dots, w_N]^T$ 为权重向量， $\mathbf{x}(t)$ 为接收信号向量。

3.3 波束方向图

阵列的波束方向图（Array Factor, AF）定义为：
$AF(\theta) = \mathbf{w}^H \mathbf{a}(\theta) = \sum_{n=1}^N w_n^* e^{j(n-1)\Delta\phi}$

4. 数学推导：波束成形的实现

4.1 相位补偿法

若需使主瓣对准方向 $\theta_0$ ，需补偿相邻阵元间的相位差。权重向量设计为：
$w_n = e^{-j(n-1)\frac{2\pi d \sin\theta_0}{\lambda}}$
此时，方向图在 $\theta_0$ 处达到最大值。

4.2 波束方向图分析

代入权重后，方向图简化为：
$AF(\theta) = \sum_{n=0}^{N-1} e^{j n \frac{2\pi d}{\lambda} (\sin\theta - \sin\theta_0)}$
利用等比数列求和公式：
$AF(\theta) = \frac{\sin\left( N \cdot \frac{\pi d}{\lambda} (\sin\theta - \sin\theta_0) \right)}{\sin\left( \frac{\pi d}{\lambda} (\sin\theta - \sin\theta_0) \right)}$

4.3 主瓣与栅瓣

主瓣宽度：与 $N$ 成反比， $N$ 越大波束越窄。
栅瓣条件：当 $d/\lambda > 0.5$ 时，可能出现多个主瓣（栅瓣）。

5. 波束增益计算

5.1 方向性系数

波束增益 $G$ 定义为最大辐射强度与各向同性辐射器的比值：
$\frac{4\pi |AF(\theta_0)|^2}{\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} |AF(\theta,\phi)|^2 \sin\theta d\theta d\phi}$
对于均匀加权ULA，最大增益近似为：
$\approx N \cdot \left( \frac{4\pi d}{\lambda} \right)$

5.2 阵元间距影响

最优间距：通常取 $\lambda/2$ ，以避免栅瓣并最大化增益。
过密阵元：间距过小导致互耦效应，降低效率。

5.3 实际增益公式

考虑效率 $\eta$ 后，实际增益为：
$G_{real} = \eta \cdot N \cdot G_{element}$
其中 $G_{element}$ 为单个阵元的增益。

6. 影响波束增益的关键因素

阵元数量（N）：增益随 $N$ 线性增加。
权重设计：非均匀加权（如切比雪夫加权）可降低旁瓣，但略微减小主瓣增益。
频率与带宽：宽带信号需考虑色散效应。
阵元方向性：若阵元非各向同性，总增益需乘以阵元方向图。
扫描角度：扫描至端射方向（ $\theta = 90^\circ$ ）时增益下降。

7. 扩展：平面阵列与二维波束成形

对于 $\times N$ 平面阵列，导向向量为：
$\mathbf{a}(\theta, \phi) = \mathbf{a}_x(\theta, \phi) \otimes \mathbf{a}_y(\theta, \phi)$
其中 $\otimes$ 表示Kronecker积。增益提升至 $\times N$ 倍。

8. 仿真

这里直接提供仿真代码和仿真结果：
先说结果，采用32阵元的阵列进行仿真，阵列布局如图如下，阵元间隔0.8 $\lambda$
在这里插入图片描述
仿真在俯仰角60度时，方位角指向不同方向的波束情况如下：

完整代码作为福利，如下：

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Tue Apr  8 22:13:36 2025@author: neol
"""import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Dplt.close('all')
# 设置全局字体为支持中文的字体
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['WenQuanYi Micro Hei']  # 黑体
# 解决负号显示问题
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False# 参数设置
c = 299792458  # 光速
freq = 1268.52e6  # 频率
wavelength = c / freq  # 波长
d = wavelength*0.7 # 阵元间距
N = 6  # 网格尺寸(6x6)
theta_res = 1  # 角度分辨率(度)# 生成阵元位置(四角空缺)
positions = []
for i in range(N):for j in range(N):# 排除四个角落(0,0),(0,5),(5,0),(5,5)if (i==0 and j==0) or (i==0 and j==5) or (i==5 and j==0) or (i==5 and j==5):continuepositions.append([i*d - (N-1)*d/2, j*d - (N-1)*d/2, 0])  # 中心对齐positions = np.array(positions)
num_elements = len(positions)
print(f"有效阵元数量: {num_elements}")# 生成12个目标方向(方位角均匀分布)
num_beams = 12
phi_targets = np.linspace(0, 2*np.pi, num_beams, endpoint=False)
# theta_target = np.pi/2  # 固定俯仰角为90度(水平面)
pitch = 60
theta_target = np.radians(pitch)  # 俯仰角设置# 波束方向图计算函数
def calculate_beam_pattern(weights, positions, wavelength):theta = np.linspace(0, np.pi, 181)phi = np.linspace(0, 2*np.pi, 361)THETA, PHI = np.meshgrid(theta, phi)# 转换为直角坐标X = np.sin(THETA) * np.cos(PHI)Y = np.sin(THETA) * np.sin(PHI)Z = np.cos(THETA)pattern = np.zeros_like(THETA, dtype=np.complex128)# 计算每个阵元的贡献for i, pos in enumerate(positions):phase_shift = 2*np.pi/wavelength * (pos[0]*X + pos[1]*Y + pos[2]*Z)pattern += weights[i] * np.exp(1j*phase_shift)return 20*np.log10(np.abs(pattern))# 创建绘图
fig = plt.figure(figsize=(18,12))
fig.suptitle('32-Element Array Beam Patterns (12 Directions)', fontsize=16)# 为每个波束生成权重并绘图
for beam_idx in range(num_beams):# 当前目标方向phi_target = phi_targets[beam_idx]# 计算导向矢量steering_vector = np.zeros(num_elements, dtype=np.complex128)for i, pos in enumerate(positions):phase = 2*np.pi/wavelength * (pos[0]*np.sin(theta_target)*np.cos(phi_target) +pos[1]*np.sin(theta_target)*np.sin(phi_target) +pos[2]*np.cos(theta_target))steering_vector[i] = np.exp(-1j*phase)# 归一化权重weights = steering_vector / np.linalg.norm(steering_vector)# 计算方向图pattern = calculate_beam_pattern(weights, positions, wavelength)# 转换为极坐标并绘图ax = fig.add_subplot(3, 4, beam_idx+1, projection='polar')ax.set_theta_offset(np.pi/2)ax.set_theta_direction(-1)#标志主瓣方向r_max = 15r_min = -40ax.plot([phi_target, phi_target], [r_min, r_max], color='red', linestyle='--', linewidth=1.5, alpha=0.8)phi_plot = np.linspace(0, 2*np.pi, 361)theta_plot = np.linspace(0, np.pi, 181)# 提取水平面方向图horizontal_cut = pattern[:, pitch]  # theta=90度# 绘制极坐标图ax.plot(phi_plot, horizontal_cut, linewidth=1.5)ax.set_title(f'Beam {beam_idx+1}\nAzimuth={np.degrees(phi_target):.1f}°\nPitch={pitch:.1f}°', pad=20)ax.set_rlim(r_min, r_max)ax.grid(True)plt.tight_layout()
plt.show()# 绘制阵列几何布局
plt.figure(figsize=(8,6))
plt.scatter(positions[:,0]/wavelength, positions[:,1]/wavelength, s=50, c='r')
plt.title('Array Geometry (Wavelength Normalized)')
plt.xlabel('X (λ)')
plt.ylabel('Y (λ)')
plt.grid(True)
plt.axis('equal')
plt.show()

9. 结论

天线阵列波束成形通过精确控制各阵元的相位和幅度，实现了信号的空间选择性。其性能直接取决于阵元数量、间距及权重设计。理解其数学本质和增益限制因素，对5G Massive MIMO、雷达等系统设计至关重要。