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【算法中的数学】裴蜀定理（Bézout’s Identity）总结

news 来源：原创 2025/5/9 0:41:18

裴蜀定理（Bézout’s Identity）总结

裴蜀定理是数论中的一个重要定理，描述了整数线性组合与最大公约数（GCD）之间的关系。

1. 裴蜀定理的内容

对于任意两个整数 $a$ 和 $b$ ，设它们的最大公约数为 $\gcd(a, b)$ ，那么：

存在整数 $x$ 和 $y$ ，使得：

$a x + b y = d$

推论：
- 方程 $a x + b y = m$ 有整数解 当且仅当 $\mid m$ （即 $m$ 能被 $d$ 整除）。
- 特别地，如果 $\gcd(a, b) = 1$ ，则存在 $x, y$ 使得 $a x + b y = 1$ 。

推广到多个数：
对于 $n$ 个数 $a_1, a_2, \dots, a_n$ ，设 $\gcd(a_1, a_2, \dots, a_n)$ ，则：

方程 $a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dots + a_n x_n = m$ 有整数解 当且仅当 $\mid m$ 。

2. 裴蜀定理在算法竞赛中的使用场景

裴蜀定理在算法竞赛中常用于以下问题：

(1) 判断方程是否有解

问题：给定 $a, b, m$ ，判断 $a x + b y = m$ 是否有整数解。
解法：计算 $\gcd(a, b)$ ，如果 $\mid m$ ，则有解，否则无解。

例题：

Codeforces 1244C：给定 $n, p, w, d$ ，求 $x, y$ 满足 $x w + y d = p$ 且 $\leq n$ 。

(2) 判断无限解问题

问题：给定若干个数 $A_1, A_2, \dots, A_n$ ，问是否存在无限多个数无法表示为它们的非负整数组合。
解法：
- 如果 $\gcd(A_1, A_2, \dots, A_n) = 1$ ，则只有有限多个数无法表示（如本题的包子凑数问题）。
- 如果 $\gcd(A_1, A_2, \dots, A_n) > 1$ ，则所有不能被 $d$ 整除的数都无法表示，即无限多个解（输出 INF）。

例题：

蓝桥杯 P8646 包子凑数：给定若干蒸笼容量，判断有多少个数无法被组合表示。

(3) 求解线性丢番图方程

问题：给定 $a, b, c$ ，求 $a x + b y = c$ 的所有整数解。
解法：

检查 $\gcd(a, b) \mid c$ ，否则无解。
用扩展欧几里得算法（Extended GCD）求特解 $x_0, y_0)$ 。
通解为：

$x_0 + k \cdot \frac{b}{d}, \quad y = y_0 - k \cdot \frac{a}{d}, \quad k \in \mathbb{Z}$

例题：

POJ 1061 青蛙的约会：求解 $\equiv 0 \pmod{m - n}$ 。

(4) 判断互质问题

问题：给定 $a, b$ ，判断是否存在 $x, y$ 使得 $a x + b y = 1$ 。
解法：直接检查 $\gcd(a, b) = 1$ 。

例题：

判断两个数是否互质，如 RSA 加密中的公钥选择。

(5) 背包问题优化

问题：某些背包问题中，如果物品体积的 $\gcd = 1$ ，则所有足够大的数都能被表示。
解法：用裴蜀定理优化 DP 范围。

例题：

完全背包问题的可行性优化。

3. 典型例题

题目	考察点	解法
蓝桥杯 P8646 包子凑数	无限解判断 + DP	先计算 GCD，再 DP
Codeforces 1244C	线性方程求解	扩展欧几里得
POJ 1061 青蛙的约会	同余方程	扩展欧几里得
判断互质性	裴蜀定理推论	计算 GCD

4. 总结

裴蜀定理：描述整数线性组合与 GCD 的关系，是数论的基础工具。
应用场景：
- 判断方程是否有解
- 判断无限解问题
- 求解线性丢番图方程
- 优化背包问题
算法竞赛中的关键点：
- 结合 GCD 和 动态规划（如包子凑数问题）
- 使用 扩展欧几里得算法 求解方程

掌握裴蜀定理能帮助解决许多数论和组合数学问题，是算法竞赛中的重要知识点！ 🚀

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