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1.2 斐波那契数列模型：LeetCode 面试题 08.01. 三步问题

news 来源：原创 2025/7/5 17:15:41

动态规划解三步问题：LeetCode 面试题 08.01. 三步问题

1. 题目链接

LeetCode 面试题 08.01. 三步问题
题目要求：小孩上楼梯，每次可以走1、2或3步，计算到达第 n 阶台阶的不同方式数，结果需对 1e9 + 7 取模。

2. 题目描述
  • 输入：整数 n，表示台阶数。
  • 输出：不同的方式数（模 1e9 + 7）。
  • 约束条件：
    • 1 ≤ n ≤ 1e6
    • 结果可能超过 2^31 - 1，需取模处理。
3. 示例分析

示例 1：
输入：n = 3
输出：4
解释：方式为 1+1+1, 1+2, 2+1, 3。

示例 2：
输入：n = 4
输出：7
解释：新增方式如 1+3, 2+2, 3+1, 1+1+2 等。

4. 算法思路
动态规划递推
  1. 状态定义：
    • dp[i] 表示到达第 i 阶的方式数。
  2. 递推公式：
    • dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]。
    • 每次可从前3个台阶走1、2或3步到达当前台阶。
  3. 初始条件：
    • dp[1] = 1, dp[2] = 2, dp[3] = 4。
空间优化
  • 直接使用数组存储所有状态，空间复杂度为 O(n)。
  • 可优化为滚动变量（见注意事项）。
5. 边界条件与注意事项
  1. 边界处理：
    • n < 4 时直接返回初始值。
  2. 取模运算：
    • 每次更新状态后需立即取模，防止溢出。
6. 代码实现与解析
class Solution {
public:const int MOD = 1e9 + 7;int waysToStep(int n) {if (n == 1) return 1;if (n == 2) return 2;if (n == 3) return 4;vector<int> dp(n + 1);dp[1] = 1;dp[2] = 2;dp[3] = 4;for (int i = 4; i <= n; i++) {// 使用 long 避免中间结果溢出dp[i] = ( (long)dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3] ) % MOD;}return dp[n];}
};
代码解析
  1. 初始化处理：
    • 直接处理 n ≤ 3 的边界情况，返回初始值。
  2. 动态规划数组：
    • dp[i] 存储到达第 i 阶的方式数，初始化前3项。
  3. 递推计算：
    • 循环从 i = 4 开始，递推公式使用 long 类型防止溢出。
    • 每次计算后立即取模，确保结果合法。
  4. 返回值：
    • dp[n] 即为最终结果。
优化
  1. 滚动变量优化：
    • 仅保留前3个状态，空间复杂度降至 O(1)。
    int waysToStep(int n) {if (n == 1) return 1;if (n == 2) return 2;if (n == 3) return 4;int a = 1, b = 2, c = 4, d;for (int i = 4; i <= n; i++) {d = ( (long)a + b + c ) % MOD;a = b;b = c;c = d;}return c;
}
  2. 统一取模逻辑：
    • 所有中间操作统一用 long 类型，避免隐式溢出。
总结

通过动态规划递推解决三步问题，关键点在于状态转移和取模处理。代码使用 long 类型确保大数计算正确性，适用于 n ≤ 1e6 的场景。此方法可推广至类似递推问题（如泰波那契数），需注意数值溢出和空间优化。

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