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SLAM十四讲【二】三维空间刚体运动

news 来源：原创 2025/8/4 23:11:21

SLAM十四讲【二】三维空间刚体运动

SLAM十四讲【一】基本概念
SLAM十四讲【二】三维空间刚体运动
SLAM十四讲【三】李群与李代数
SLAM十四讲【四】相机与图像
SLAM十四讲【五】线性优化
SLAM十四讲【六】视觉里程计
SLAM十四讲【七】回环检测
SLAM十四讲【八】建图

文章目录

SLAM十四讲【二】三维空间刚体运动
一、旋转矩阵
- 1.1 点、向量和坐标系
- 1.2 坐标系间的欧式变换
- - 1.2.1 旋转
  - 1.2.2 平移
- 1.3 变换矩阵和齐次坐标
二、旋转向量和欧拉角
- 2.1 旋转向量
- 2.2 欧拉角
三、四元数
四、相似、仿射、射影变换

一、旋转矩阵

刚体是指在运动中和受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点的相对位置不变的物体。刚体在三维空间的运动可以用一次旋转加一次平移来表示。

1.1 点、向量和坐标系

用数学语言来描述相机的位置和姿态，在三维坐标系里，用点来表示位置，向量来表示姿态。
刚体运动（旋转和平移）要求物体的形状和大小不变，即向量的长度和夹角在变换前后保持一致。内积的定义直接体现了这一点：
u⋅v=∥u∥⋅∥v∥⋅cosθ
刚体运动旋转时的旋转轴可以通过外积确定。外积的结果是一个向量，它的方向垂直于这两个向量，大小为absin(a,b),是两个向量张成的四边形的有向面积，其方向通常由右手定则确定。
在这里插入图片描述
a^就是反对称矩阵，这样就变成了线性运算了。

1.2 坐标系间的欧式变换

1.2.1 旋转

通过欧式变换可以将两个坐标系进行变换，欧氏变换由旋转和平移组成。
如果一个向量经过了一次旋转，那么在两个不同坐标系下的关系是
在这里插入图片描述
左右同乘，得

R就是旋转矩阵，由两组基之间的内积组成。因为R是正交矩阵，它的逆是一个相反的旋转。

1.2.2 平移

三维空间中同一坐标系下的平移将平移向量t相加就可以了。
在这里插入图片描述
R12和R21分别鞭炮声

1.3 变换矩阵和齐次坐标

当变换多次时，上式会变得不太优美，针对问题，引入了齐次坐标和变换矩阵：
在这里插入图片描述
在三维向量的末尾添加1，将其变为四维向量，就是齐次坐标，这里的T就是变换矩阵，那么计算就看起来简洁些了。

变换矩阵T,它具有比较特别的结构：左上角为旋转矩阵，右侧为平移向量，左下角为0向量，右下角为1。这种矩阵又称为特殊欧氏群(SpecialEuclideanGroup):
在这里插入图片描述
SO(n)是特殊正交群(Special Orthogonal Group)的意思。。这个集合由n维空间的旋转矩阵组成，特别地，SO(3)就是指三维空间的旋转。

二、旋转向量和欧拉角

2.1 旋转向量

任意旋转都可以用一个旋转轴和一个旋转角来刻画。于是，我们可以使用一个向量，其方向与旋转轴一致，而长度等于旋转角。这种向量称为旋转向量（或轴角/角轴，Axis-Angle）,只需一个三维向量即可描述旋转。同样，对于变换矩阵，我们使用一个旋转向量和一个平移向量即可表达一次变换。这时的变量维数正好是六维。
考虑某个用R表示的旋转。如果用旋转向量来描述，假设旋转轴为一个单位长度的向量n,角度为0，那么向量n也可以描述这个旋转。于是，我们要问，两种表达方式之间有什么联系吗？事实上推导它们的转换关系并不难。从旋转向量到旋转矩阵的转换过程由罗德里格斯公式(Rodrgucs’sFormula) 表明，由于推导过程比较复杂，这里不做描述，只给出转换的结果：
在这里插入图片描述
计算从一个旋转矩阵到旋转向量的转换：

2.2 欧拉角

用绕X轴，再绕Y轴，再绕Z轴旋转多少度，相比于上述的向量和矩阵，更容易直观理解。
现在常用到的定义是绕物体的Z轴旋转，得到偏航角yaw。再绕旋转之后的Y轴旋转，得到俯仰角pitch，绕旋转之后的X轴旋转，得到滚转角roll。
但是欧拉角有一个万向锁问题，就是在那些旋转在90°时，前后的旋转会使用后同一个轴，导致丢失一个自由度，这被称为奇异性问题。只要用三个实数来表达三位旋转就一定会遇到这种奇异性问题。所以这种方法只适合分解输出或交互，不适合迭代计算旋转。

三、四元数

复数乘法可以借鉴到三位空间旋转的计算上，乘上复数i相当于逆时针把一个复向量旋转90°。四元数是Hamilton找到的一种扩展的复数。它既是紧凑的，也没有奇异性，就是不够直观。
一个四元数有一个实部和三个虚部
在这里插入图片描述
并且虚部满足关系式

可以用由标量s和向量v组成的q来表示四元数

用单位四元数就可以表示三维空间中任意一个旋转。

四、相似、仿射、射影变换

在3D空间中，欧式变换是刚体的运动，具有6个自由度，而相似变换允许物体能够通过缩放因子s均匀缩放，它具有7个自由度：
在这里插入图片描述
仿射变换要求A是一个可逆矩阵即可，不要求是正交矩阵，变换后各个面就变成平行四边形的了，它具有12个自由度：
真实世界到相机图像的变换就是一个射影变换，3D的射影变换由15个自由度：

SLAM十四讲【二】三维空间刚体运动

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三、四元数

四、相似、仿射、射影变换

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