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图论2图的应用补充

news 来源：原创 2025/5/12 22:17:18
图论1基础内容-CSDN博客

图的应用

4.1 拓扑排序

拓扑排序针对有向无环图的顶点进行线性排列的算法，使得对于任何来自顶点A指向顶点B的边，A都在序列中出现在B之前。这样的排序存在于有向无环图中，而对于非有向无环图则不存在拓扑排序。

拓扑排序也可以用来检测图中有无成环

4.2 最小生成树

生成树是连通图的极小连通子图，多一条边就会成环，少一条边即无法构成连通图

生成树的代价：

G=(V,E)是一个无向连通图，代价是生成树上各边的边权和

生成树代价=9+49+11+1+21=91

最小生成树即是代价最小的生成树

上图中代价min=1+7+10+7+5=30

最小生成树解析

4.2.1 Kruskal（加边）

将边从小到大排序

利用并查集 合并边

如果该边的加入不会成换，则加入，否则不加入

时间复杂度分析：边排序时间+并查集时间

蓝桥账户中心

蓝桥889

# n 个交叉路口 -- n个点 m条边 无向图
# 最小生成树
# 1≤n≤300，1≤m≤1e5  边>>点 稠密图 最好用Prmie
# Kruskal版
n,m = map(int,input().split())
# 存图
e = []
# m条边 连边
for i in range(m):
  u,v,c = map(int,input().split())
  e.append((c,u,v)) # 把分值c放第一位，方便后续排序
# 边排序
e.sort()
# 把所有的交叉路口直接或间接的连通起来 -- 并查集
p = list(range(n+1))
# 递归找根
def find_root(x):if x != p[x]:
    p[x] = find_root(p[x])return p[x]
# 从小到大遍历所有边，进行合并 找最小的生成树
# sum记录边权和，max_val记录最大的边权
sum, max_val = 0,0
for w,u,v in e:
  rootu = find_root(u)
  rootv = find_root(v)if rootv != rootu:
    p[rootv] = rootu# 合并次数+1 修路的条数+1sum += 1
    max_val = max(max_val,w)
print(sum,max_val)

4.2.2 Prime（加点）

算法流程：d[i]表示点i和集合的距离

选择一个初始点(随意)u加入集合S，d[u]=0

利用点u更新其它的点（加入离当前集合最近的点）

在d中选择最小未加入集合的点作为新一轮的u

重复上述至所有点加入集合（过程中有两个分区，一个是加入集合的点，另一个是还未加入的点）

# 蓝桥889
# n 个交叉路口 -- n个点 m条边 无向图
# 最小生成树
# 1≤n≤300，1≤m≤1e5  边>>点 稠密图 最好用Prmie
# Prime版
import math
n,m = map(int,input().split())
INF = math.inf
# 存图
mapp = [[INF]*(n+1) for _ in range(n+1)]
for _ in range(m):
  u,v,w = map(int,input().split())
  mapp[u][v] = mapp[v][u] = min(mapp[u][v],w)
# 定义集合d
d = [INF] * (n+1)
max_val = 0
# 初始化d[1]=0
u = 1
# 跑Prime加点
for i in range(n-1): # 除去第一个点，还有n-1个点
  d[u] = 0
  # 初始化下一个点，下一条边
  next_u = 0
  next_val = INF
  for v in range(1,n+1):
    if d[v] == 0: continue # 该点不与当前集合d连通
    d[v] = min(d[v], mapp[u][v]) # mapp[u][v]点u到v的边权
    # 第i次加点时找到离当前集合更近的点
    if d[v] < next_val:
      next_val = d[v]
      next_u = v
  # 基于上一轮扩大下一轮集合，更新d
  u = next_u
  max_val = max(next_val, max_val)
print(n-1, max_val)

4.3 最短路问题

最短路径是两个顶点之间经历的边上边权之和最小的可达路径

4.3.1 Floyed

用于处理多源最短路，从多个点出发到一个点的最短路，可以存在负权边。

蓝桥账户中心

蓝桥8336

# n点m边
# floyd 利用动态规划 三层循环
# 定义dp[k][i][j]表示点i到点j的路径(除去起点和终点)中编号最大不超过k的情况下，i到j的最短距离
# 当加入 第k个点 作为i到j的 中间点
# dp[k][i][j] = mian(dp[k-1][i][j], dp[k-1][i][k]+dp[k-1][k][j])
import math
n,m = map(int,input().split())
# 城市i的商品产量
a = [0] * (n+1)
# 城市i的商品生产成本
p = [0] * (n+1)
# 城市i的商品售卖单价
s = [0] * (n+1)
INF = math.inf
# 一件商品从城市i运往城市j的利润：gi,j=sj-pi-fij
# 其中fi,j是路径费用
f = [[INF] *(n+1) for _ in range(n+1)] # fij为INF表示不通路
g = [[0] *(n+1) for _ in range(n+1)] 
# 输入a，p，s
for i in range(1,n+1):
  a[i],p[i],s[i] = map(int,input().split())
# 输入图
for i in range(1,m+1):
  u,v,w = map(int,input().split())
  f[u][v] = f[v][u] = min(f[u][v],w)
# 对角线费用为0 n个点 
for i in range(1,n+1):
  f[i][i] = 0 
# floyd 动态规划 三层循环 跑一遍多源全图最短路填f路费表
for k in range(1,n+1):for i in range(1,n+1):for j in range(1,n+1):
      f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j])
# 填完路费 现在算利润 填g 把i城市生产的产品送到城市j卖
for i in range(1,n+1):for j in range(1,n+1):
    g[i][j] = s[j] - p[i] - f[i][j]
# 求全图的最大利润
max_g = 0
for i in range(1,n+1):# 在第二层循环中作一个判断是否有交易的依据
  max_s = -1for j in range(1,n+1):
    max_s = max(max_s,g[i][j])
  max_g += max(0, max_s) * a[i] # 乘上产品数量
print(max_g)

4.3.2 Dijkstra

用于处理单源最短路，从一个点出发到一个点的最短路，不可以存在负权边。

# n点m边 有向图
# 从皇宫到每个建筑的最短路径是多少 -- 单源最短路
from queue import PriorityQueue
import math
INF = math.inf
# dijkstra ，s:起点
def dijkstra(s):# 求从起点s出发到各个点i的最短路径# d[i]表示从起点s出发到点i的最短的最短路径
  d = [INF]*(n+1)# vis[i]表示第i个点是否出队列
  vis = [0]*(n+1)# 创建优先队列
  q = PriorityQueue()# 起点初始化距离0
  d[s] = 0# 起点入队列
  q.put((d[s],s))# 当队列非空while q.queue:
    dis,u = q.get()# 每个点只有第一次出队列有效if vis[u]:continue
    vis[u] = 1# 松弛 找离当前点在连通状态下的最近点for v,w in G[u]:if d[v] > d[u] + w:
        d[v] = d[u] + w
        q.put((d[v],v))# 处理完成d数组后按题目要求不通的距离为视为-1      for i in range(n+1):if d[i] == INF:
      d[i] = -1print(*d[1:],sep=' ')n,m = map(int,input().split())
# 存图
G = [[] for i in range(n+1)]
for _ in range(m):
  u,v,w = map(int,input().split())
  G[u].append([v,w])
dijkstra(1)

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编程日记 2025/5/11 11:30:31

新能源汽车充电基础设施短板问题多，如何实现高效、综合、智能化管理？

随着城市经济的发展&#xff0c;人民生活水平的提升&#xff0c;新能源汽车保有量快速增长&#xff0c;而日益增长的新能源汽车需求与充电基础设施建设不平衡的矛盾日益突出。由于停车泊位充电基础设施总量不足、布局待优化、利用效率低、建设运营存在短板问题等原因&#xff0…...

编程日记 2025/5/11 8:18:04

DBA面试题-1

面临失业&#xff0c;整理一下面试题&#xff0c;找下家继续搬砖 主要参考&#xff1a;https://www.csdn.net/?spm1001.2101.3001.4476 略有修改 一、mysql有哪些数据类型 1&#xff0c; 整形 tinyint,smallint,medumint,int,bigint&#xff1b;分别占用1字节、2字节、3字节…...

编程日记 2025/5/9 13:20:47

LAN,WAN,VLAN,WLAN,VPN了解笔记

局域网LAN---公司的内部网络就是局域网LAN。 提供有线连接的接口允许局域网内的设备&#xff08;如台式电脑、网络打印机、网络存储设备等&#xff09;通过以太网线连接到路由器并与其他局域网设备进行通信实现设备之间的数据传输和资源共享一种私有的网络相对其他网络传输速度…...

编程日记 2025/5/7 23:34:24

1.2 算法和算法评价

1.2.1 算法的基本概念 算法&#xff1a;对特定问题求解步骤的一种描述&#xff0c;它是指令的有限序列&#xff0c;其中的每条指令表示一个或多个操作。 算法的五个重要特性 “好”的算法的五个目标 1.2.2 算法效率的度量 一、时间复杂度 算法的时间复杂度是指一个算法每行…...

编程日记 2025/5/12 8:01:57

各大常见编程语言应用领域

不同编程语言因其特性和设计目标而适用于不同的应用领域。以下是一些常见编程语言及其主要应用领域&#xff1a; 1. Python 数据科学与人工智能&#xff1a;Python 在数据分析、机器学习、深度学习等领域广泛使用&#xff0c;因其丰富的库&#xff08;如 NumPy、Pandas、Tens…...

编程日记 2025/5/6 14:07:44

【FFT】数据点数是否一定为2的n次方？不补零会如何处理？

一般来说&#xff0c;FFT的数据点个数为以2为基数的整数次方&#xff08;采用以2为基的FFT算法&#xff0c;可以提升运算性能&#xff09;&#xff0c;但是并没有要求FFT的数据点个数一定为2的n次方。 因此针对数据点数不是以2为基数的整数次方&#xff0c;有两种处理方法&…...

编程日记 2025/5/10 15:37:03

shell脚本小练习#003:查找并拷贝目录

实例1&#xff1a; # 从当前执行脚本的路径位置开始向上搜索一个名为sourceProject目录名 # 并将这个文件目录的路径名称打印出来#!/bin/bashfunction find_dir() {local current_dir$PWDwhile [[ $current_dir ! "/" ]]; doif [[ -d "${current_dir}/sourcePr…...

编程日记 2025/5/1 12:35:49

frp内网穿透

目录 1&#xff0c;准备公网服务器 2&#xff0c;下载安装frp服务端 3&#xff0c;服务端安装 2&#xff09;编辑服务端配置文件fprs.toml 3&#xff09;配置启动服务 4&#xff09;启动服务 5 &#xff09;设置开机启动服务 6&#xff09;查看服务启动状态 3&#xff0c…...

编程日记 2025/5/5 4:00:36