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高级数据结构应用：并查集、跳表、布隆过滤器与缓存结构

news 来源：原创 2025/8/8 5:03:54

高级数据结构应用：并查集、跳表、布隆过滤器与缓存结构

在解决复杂问题时，选择合适的数据结构往往是成功的关键。本文将深入探讨四种强大而实用的高级数据结构：并查集、跳表、布隆过滤器和高效缓存结构（LRU和LFU），包括它们的原理、实现、复杂度分析和实际应用场景。

1. 并查集（Disjoint Set / Union-Find）

1.1 基本原理

并查集是一种树形数据结构，用于处理一些不相交集合的合并及查询问题。主要支持两种操作：

查找(Find)：确定元素属于哪一个子集
合并(Union)：将两个子集合并成一个集合

并查集的核心思想是使用"代表元素"（或称"根节点"）来表示一个集合，并通过父指针将同一集合中的元素链接起来。

1.2 C++实现

下面是一个带路径压缩和按秩合并优化的并查集实现：

#include <iostream>
#include <vector>class DisjointSet {
private:std::vector<int> parent; // 父节点std::vector<int> rank;   // 秩（树的高度上界）int count;               // 集合数量public:// 构造函数，初始化n个单元素集合DisjointSet(int n) {count = n;parent.resize(n);rank.resize(n, 0);// 初始时，每个元素的父节点是自己for (int i = 0; i < n; i++) {parent[i] = i;}}// 查找操作：返回元素x所属集合的代表元素// 使用路径压缩优化int find(int x) {// 路径压缩：将x到根节点路径上的所有节点直接连接到根节点if (parent[x] != x) {parent[x] = find(parent[x]);}return parent[x];}// 合并操作：合并元素x和y所属的集合// 使用按秩合并优化void unionSets(int x, int y) {int rootX = find(x);int rootY = find(y);// 如果已经在同一集合中，则不需要合并if (rootX == rootY) {return;}// 按秩合并：将较矮的树连接到较高的树下if (rank[rootX] < rank[rootY]) {parent[rootX] = rootY;} else if (rank[rootX] > rank[rootY]) {parent[rootY] = rootX;} else {// 如果秩相同，则任意选择一个作为根，并增加秩parent[rootY] = rootX;rank[rootX]++;}// 集合数量减1count--;}// 判断元素x和y是否在同一集合中bool isConnected(int x, int y) {return find(x) == find(y);}// 返回集合数量int getCount() const {return count;}
};

1.3 优化技术

路径压缩(Path Compression)：在Find操作中，将查找路径上的所有节点都直接连接到根节点，减少后续查询的深度。
按秩合并(Union by Rank)：在Union操作中，总是将较小的树（秩较小）连接到较大的树（秩较大）下，避免树过深。
按大小合并(Union by Size)：类似按秩合并，但使用集合元素数量而不是树高作为决策依据。

1.4 复杂度分析

设n为元素数量，m为操作次数：

操作	时间复杂度（最坏）	时间复杂度（平均/摊销）
构造	O(n)	O(n)
Find	O(log n)	O(α(n))*
Union	O(log n)	O(α(n))*

*α(n)是阿克曼函数的反函数，增长极其缓慢，在实际应用中可视为常数（≤4）。

空间复杂度：O(n)，用于存储父节点和秩信息。

1.5 应用场景

连通性问题：判断网络中节点之间是否连通，例如社交网络中的朋友关系。
最小生成树算法：Kruskal算法中用于检测边是否会形成环。
等价类划分：将具有等价关系的元素归类。
集合合并：处理集合的动态合并操作。

1.6 实际应用示例

连通块问题

// 计算图中的连通分量数量
int countComponents(int n, std::vector<std::vector<int>>& edges) {DisjointSet ds(n);// 连接所有的边for (const auto& edge : edges) {ds.unionSets(edge[0], edge[1]);}return ds.getCount();
}

Kruskal算法实现最小生成树

#include <algorithm>struct Edge {int src, dest, weight;// 用于按权重排序bool operator<(const Edge& other) const {return weight < other.weight;}
};std::vector<Edge> kruskalMST(int n, std::vector<Edge>& edges) {std::vector<Edge> result;DisjointSet ds(n);// 按边的权重从小到大排序std::sort(edges.begin(), edges.end());// 按权重从小到大尝试加入边，如果不构成环则加入MSTfor (const auto& edge : edges) {int src = edge.src;int dest = edge.dest;// 如果src和dest不在同一连通分量中if (!ds.isConnected(src, dest)) {// 加入此边到MSTresult.push_back(edge);// 合并连通分量ds.unionSets(src, dest);}}return result;
}

2. 跳表（Skip List）

2.1 基本原理

跳表是一种随机化的数据结构，基于链表，但允许快速查找、插入和删除。其核心思想是通过维护多层链表，来实现"快速跳跃"查找，从而获得对数级别的操作复杂度。

跳表的特点：

每个节点包含一个值和多个前向指针
底层是一个普通的有序链表
上层链表是下层链表的"快速通道"，可以跳过多个元素
节点层数采用随机化策略确定，保证了平均性能

2.2 C++实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <climits>class SkipList {
private:// 跳表节点结构struct Node {int value;                 // 节点值std::vector<Node*> forward; // 前向指针数组Node(int val, int level) : value(val), forward(level, nullptr) {}};Node* head;         // 头节点int maxLevel;       // 最大层数int currentLevel;   // 当前层数float probability;  // 层数增加的概率（通常0.5）// 随机生成节点的层数int randomLevel() {int level = 1;// 生成[0,1)的随机数，如果小于probability且未超过最大层数，则层数加1while ((static_cast<float>(rand()) / RAND_MAX) < probability && level < maxLevel) {level++;}return level;}public:// 构造函数SkipList(int maxLevel = 16, float p = 0.5) : maxLevel(maxLevel), currentLevel(1), probability(p) {// 初始化随机数生成器srand(static_cast<unsigned int>(time(nullptr)));// 创建头节点，层数为最大层数head = new Node(INT_MIN, maxLevel);}// 析构函数~SkipList() {Node* current = head;Node* next;while (current) {next = current->forward[0]; // 下一个节点delete current;current = next;}}// 搜索值为target的节点bool search(int target) {Node* current = head;// 从最高层开始查找for (int i = currentLevel - 1; i >= 0; i--) {// 在当前层向前移动，直到找到一个值大于或等于target的节点，或到达末尾while (current->forward[i] && current->forward[i]->value < target) {current = current->forward[i];}}// 到达最底层，检查下一个节点是否是要找的值current = current->forward[0];// 如果找到了目标值，返回truereturn current && current->value == target;}// 插入节点void insert(int value) {// 用于记录每一层的插入位置std::vector<Node*> update(maxLevel, nullptr);Node* current = head;// 从最高层开始查找插入位置for (int i = currentLevel - 1; i >= 0; i--) {while (current->forward[i] && current->forward[i]->value < value) {current = current->forward[i];}update[i] = current;}// 随机生成新节点的层数int newLevel = randomLevel();// 如果新层数大于当前层数，更新update数组if (newLevel > currentLevel) {for (int i = currentLevel; i < newLevel; i++) {update[i] = head;}currentLevel = newLevel;}// 创建新节点Node* newNode = new Node(value, newLevel);// 插入新节点到各层链表中for (int i = 0; i < newLevel; i++) {// 设置新节点的前向指针newNode->forward[i] = update[i]->forward[i];// 更新插入位置的前向指针指向新节点update[i]->forward[i] = newNode;}}// 删除节点bool remove(int value) {std::vector<Node*> update(maxLevel, nullptr);Node* current = head;// 从最高层开始查找要删除的节点for (int i = currentLevel - 1; i >= 0; i--) {while (current->forward[i] && current->forward[i]->value < value) {current = current->forward[i];}update[i] = current;}// 获取可能要删除的节点current = current->forward[0];// 如果节点存在且值匹配if (current && current->value == value) {// 从每一层中删除该节点for (int i = 0; i < currentLevel; i++) {if (update[i]->forward[i] != current) {break;}update[i]->forward[i] = current->forward[i];}// 删除节点delete current;// 更新当前最大层数while (currentLevel > 1 && head->forward[currentLevel - 1] == nullptr) {currentLevel--;}return true;}return false;}// 打印跳表内容（用于调试）void printSkipList() {for (int i = currentLevel - 1; i >= 0; i--) {Node* current = head->forward[i];std::cout << "Level " << i << ": ";while (current) {std::cout << current->value << " ";current = current->forward[i];}std::cout << std::endl;}}
};

2.3 复杂度分析

操作	时间复杂度（平均）	时间复杂度（最坏）
搜索	O(log n)	O(n)
插入	O(log n)	O(n)
删除	O(log n)	O(n)

空间复杂度：O(n)，因为跳表平均会有1/(1-p)个指针，当p=0.5时为O(2n)，简化为O(n)。

跳表的随机性使得其时间复杂度分析相对复杂，但在平均情况下，跳表与平衡二叉树有类似的性能，且实现更简单。

2.4 优化技术

调整概率参数：概率p影响层数分布，通常取0.5，可根据应用特点调整。
内存优化：使用变长数组存储前向指针，仅分配必要的空间。
跳表变种：
- 后向指针：支持双向遍历
- 带间隔信息：支持快速排名查询
- 确定性跳表：使用确定性算法代替随机化

2.5 应用场景

有序集合实现：Redis中的Sorted Set使用跳表实现。
索引结构：作为数据库中的索引结构，支持范围查询。
替代平衡树：在需要平衡树功能但实现难度要求低的场景。
并发环境：相比平衡树，跳表的并发控制更简单。

2.6 实际应用示例

范围查询实现

// 扩展跳表，增加范围查询功能
std::vector<int> rangeQuery(SkipList& list, int startValue, int endValue) {std::vector<int> result;// 使用底层链表（0层）进行范围查询Node* current = list.findNodeBeforeValue(startValue)->forward[0];// 收集范围内的所有值while (current && current->value <= endValue) {result.push_back(current->value);current = current->forward[0];}return result;
}

实现有序计数器

// 扩展跳表节点，增加计数信息
struct CountNode {int value;int count;  // 元素出现次数std::vector<CountNode*> forward;CountNode(int val, int level, int cnt = 1) : value(val), count(cnt), forward(level, nullptr) {}
};// 扩展跳表函数以处理计数
void incrementCount(int value) {// 寻找value对应的节点Node* current = findNodeBeforeValue(value)->forward[0];// 如果存在此值，增加计数if (current && current->value == value) {current->count++;} else {// 否则插入新节点insert(value);}
}

3. 布隆过滤器（Bloom Filter）

3.1 基本原理

布隆过滤器是一种空间效率很高的概率型数据结构，用于判断一个元素是否在集合中。它的特点是：

可能会出现假阳性（误判元素存在），但绝不会出现假阴性（误判元素不存在）
无法删除元素（标准布隆过滤器）
占用空间极小，远小于存储元素本身所需空间

布隆过滤器的核心是一个位数组和多个哈希函数。添加元素时，用多个哈希函数计算位置并将对应位置为1；查询时，检查所有哈希位置是否都为1。

3.2 C++实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <functional>
#include <string>
#include <cmath>class BloomFilter {
private:std::vector<bool> bitArray;  // 位数组int size;                    // 位数组大小

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编程日记 2025/8/7 1:50:25

论文略读（2025.3.18-更新中）

关于可控视频生成 I2V3D: Controllable image-to-video generation with 3D guidance Image to Video工作，能够实现给一张图，输出一个视频，且可以控制相机。动态信息来自于用户手工设计（相机移动，人体骨骼驱动&#x…...

编程日记 2025/7/30 11:15:35

基于SpringBoot的“校园招聘网站”的设计与实现（源码+数据库+文档+PPT)

基于SpringBoot的“校园招聘网站”的设计与实现（源码数据库文档PPT) 开发语言：Java 数据库：MySQL 技术：SpringBoot 工具：IDEA/Ecilpse、Navicat、Maven 系统展示系统整体功能图局部E-R图系统首页界面系统注册…...

编程日记 2025/8/5 9:51:11

【Linux进程七】程序地址空间

【Linux进程七】程序地址空间 1.进程的地址空间分布2.类型的本质是偏移量3.什么是进程地址空间4.页表的映射和访问权限字段5.地址空间的作用 1.进程的地址空间分布堆是向上扩展的，栈是向下扩展的因为字符常量区和代码区相邻，受到同样的保护&#xff0c…...

编程日记 2025/8/6 21:06:50

Linux C/C++编程——线程

线程是允许应用程序并发执行多个任务的一种机制，线程参与系统调度。系统调度的最小单元是线程、而并非进程。线程包含在进程之中，是进程中的实际运行单位。一个线程指的是进程中一个单一顺序的控制流（或者说是执行路线、执行流）…...

编程日记 2025/8/4 19:12:25

【Spring Boot 中 `@Value` 注解的使用】

文章目录一、前言二、Value 注解简介三、Value 注解的常见用法1. 读取 application.properties 或 application.yml 配置值（1）配置文件示例（2）Java 代码示例（3）测试输出 2. 使用 Value 设置默认值3. 读取系…...

编程日记 2025/8/5 20:25:30

【CAD二次开发】调试无法进入断点提示无可用源问题（非空心断点）

问题截图：显示无可用源，关闭后F5走完后，启动的调试就中断了操作是：打开Cad，打开dwg后，执行命令，就出现以上截图问题。问题来源：通常是由于 AutoCAD 的纤程模式（Fiber&…...

编程日记 2025/6/28 6:02:44

Ubuntu下Docker部署Misskey：打造你的去中心化社交平台

引言在信息爆炸的时代，人们对于社交平台的需求日益增长，同时也更加注重数据的隐私和自由。Misskey作为一个开源的去中心化社交平台，为用户提供了一个全新的选择。本文将详细介绍如何在Ubuntu Linux环境下，利用Docker快速部署Mis…...

编程日记 2025/8/7 5:59:53

【Vue3】01-vue3的基础 + ref reactive

首先确保已经有了ES6的基础本文介绍 vue 的基础使用以及两种响应数据的方式。目录 1. 创建一个vue应用程序 2. Vue模块化开发 3. ref 和 reactive 的区别 1. 创建一个vue应用程序所需的两个文件： https://unpkg.com/vue3/dist/vue.global.js https://un…...

编程日记 2025/8/6 17:19:43

高级数据结构应用：并查集、跳表、布隆过滤器与缓存结构

1. 并查集（Disjoint Set / Union-Find）

1.1 基本原理

1.2 C++实现

1.3 优化技术

1.4 复杂度分析

1.5 应用场景

1.6 实际应用示例

连通块问题

Kruskal算法实现最小生成树

2. 跳表（Skip List）

2.1 基本原理

2.2 C++实现

2.3 复杂度分析

2.4 优化技术

2.5 应用场景

2.6 实际应用示例

范围查询实现

实现有序计数器

3. 布隆过滤器（Bloom Filter）

3.1 基本原理

3.2 C++实现

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