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让“树和二叉树”埋在记忆土壤中--性质和概念

news 来源：原创 2025/8/8 7:18:27

Nice to meet your!

目录

树的介绍：

树的创建：

二叉树的概念和结构：

二叉树的存储结构：

树的介绍：

概念和结构：

不知你们是否在现实中看见过分为两个叉的枯树，大概长这样：

那我们数据结构中的二叉树有长什么样呢？它是倒着的结构，仿佛你进入了颠倒的世界，它由许多结点构成，且每个子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继，因此树是递归定义的

如下图：

在树型结构中子树是不能交叉的哦

相关名词：

结点的度：一个节点含有的子树个数称为该结点的度

树的度：最大结点的度称为树的度，如上图树的度为2

结点的层次：从根开始算，根为第一层，向下依次计算

双亲结点/父结点：有子数的根结点称为双亲结点/父结点

子结点：父结点下的结点叫做子结点

兄弟结点：具有相同父结点的称为兄弟结点

叶结点：度为0的结点，如上图最下面的一排都为叶结点

树的高度：一个树的最大层次，如上图树的高度为3

树的创建：

首先我们必然要创建一个结构体，它既要保存值域，还需保存结点和结点的关系，表示的方法有很多，我们使用最常用的孩子兄弟表示法

typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* firstkid;//第一个孩子的结点struct Node* Nextbrother;//指向下一个兄弟的结点DataType data;//数据域
};

它又是如何访问的呢？我们可以看下面的结构图：

二叉树的概念和结构：

二叉树有一个根节点和两颗左右子树的二叉树组成，子树有左右之分，次序不能颠倒

二叉树可能存在的情况：

特殊的二叉树：

满二叉树：每一个结点的层次都达到最大值，如果这个二叉树为k层，那它一共有2^k - 1个结点

完全二叉树：对于深度有为K，有N个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树编号为1至N的结点一一对应称之为完全二叉树，满二叉树是一种特殊的完全二叉树

注意：在完全二叉树中，若树为K，那么K-1层的结点必须是满的，第K层的结点可以不满，但必须是从左至右连续！

性质： 

1.若根结点层数为1，则一颗非空二叉树第i层有2^(i - 1)个结点

2.若根结点层数为1，则深度为h的二叉树最大结点数为2^h - 1

3.对任何一棵二叉树，如果度为0的叶结点个数为n0，度为2的分支结点个数为n2，则有n0 = n2+1

4.若规定根结点的层数为1，则具有N个结点的满二叉树的深度h = log2(N+1)。

5.对于具有N个结点的完全二叉树，如果按照从上至下、从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为i的结点：

若 i > 0，则该结点的父结点序号为：( i - 1) / 2；若 i = 0，则无父结点

若2i + 1 < N，则该结点的左孩子序号为：2i + 1；若2i + 1 >= N，则无左孩子

若2i + 2 > N，则该结点的右孩子序号为：2i + 2；若2i + 2 >= N，则无右孩子

二叉树的存储结构：

二叉树有两种存储结构：顺序结构和链式结构

顺序结构：

顺序结构使用数组来存储数据，一般只适合用来表示完全二叉树，二叉树的顺序存储在物理上是一个数组，但在逻辑上是一棵二叉树

链式结构：

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素之间的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来存储该结点左孩子和右孩子所在的结点的地址

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