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【数学建模】一致矩阵的应用及其在层次分析法(AHP)中的性质

news 来源：原创 2025/8/13 3:12:33

一致矩阵在层次分析法(AHP)中的应用与性质

在层次分析法(AHP)中，一致矩阵是判断矩阵的一种理想状态，它反映了决策者判断的完全合理性和一致性，也就是为了避免决策者认为“A比B重要，B比C重要，但是C又比A重要”的矛盾。

本文将详细介绍一致矩阵的定义、性质及其在AHP中的重要意义。

关于层次分析法(AHP)的介绍，可以参考：【数学建模】层次分析法(AHP)详解及其应用。

一、一致矩阵的定义

定义：设 $[a_{ij}]_{n \times n}$ 是判断矩阵，如果对于任意的 $\in \{1, 2, \ldots, n\}$ ，都有：

$a_{ij} \cdot a_{jk} = a_{ik}$

则称矩阵 $A$ 为一致矩阵。

这一定义表明，在一致矩阵中，元素 $i$ 对元素 $k$ 的重要性可以通过元素 $i$ 对元素 $j$ 的重要性与元素 $j$ 对元素 $k$ 的重要性的乘积来确定。

二、一致矩阵的基本性质

1. 倒数性

一致矩阵满足倒数性，即：

$a_{ji} = \frac{1}{a_{ij}}$

这表示元素 $j$ 相对于元素 $i$ 的重要性是元素 $i$ 相对于元素 $j$ 的重要性的倒数。

2. 传递性

一致矩阵满足传递性，即：

$a_{ij} \cdot a_{jk} = a_{ik}$

这表示判断的传递性，是一致矩阵的定义与核心特征。

3. 秩为1

一致矩阵 $A$ 的秩 $r ank (A) = 1$ ，即一致矩阵是一个秩1矩阵。

4. 特征值和特征向量

一致矩阵 $A$ 有且仅有一个非零特征值 $\lambda_{max} = n$ ，对应的特征向量正是权重向量 $W$ 。其余 $n - 1$ 个特征值均为0。

$\cdot W = n \cdot W$

5. 表示形式

任意一致矩阵 $A$ 都可以表示为：

$\begin{bmatrix} \frac{w_1}{w_1} & \frac{w_1}{w_2} & \cdots & \frac{w_1}{w_n} \\ \frac{w_2}{w_1} & \frac{w_2}{w_2} & \cdots & \frac{w_2}{w_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{w_n}{w_1} & \frac{w_n}{w_2} & \cdots & \frac{w_n}{w_n} \end{bmatrix}$

其中 $(w_1, w_2, \ldots, w_n)^T$ 是权重向量。

三、一致矩阵的判定

1. 定义法判定

检验矩阵 $A$ 中的所有元素是否满足 $a_{ij} \cdot a_{jk} = a_{ik}$ 。

2. 特征值法判定

计算判断矩阵 $A$ 的最大特征值 $\lambda_{max}$ ，如果 $\lambda_{max} = n$ ，则 $A$ 为一致矩阵。

3. 一致性指标判定

计算一致性指标 $C I$ ：

$\frac{\lambda_{max} - n}{n-1}$

如果 $C I = 0$ ，则 $A$ 为一致矩阵。

四、一致矩阵的构造

1. 直接构造法

如果已知权重向量 $(w_1, w_2, \ldots, w_n)^T$ ，则可以直接构造一致矩阵：

$a_{ij} = \frac{w_i}{w_j}$

2. 从非一致矩阵导出

对于非一致矩阵，可以通过以下步骤构造最接近的一致矩阵：

计算非一致矩阵的权重向量 $W$
利用 $W$ 构造一致矩阵 $A^{'}$ ，其中 $a'_{ij} = \frac{w_i}{w_j}$

五、一致矩阵在AHP中的意义

1. 理想判断的标准

一致矩阵代表了决策者判断的完全一致性，是判断矩阵的理想状态。在实际决策过程中，由于人的认知限制，很难直接给出一致矩阵，但它是我们追求的目标。

2. 一致性检验的基础

在AHP中，通过比较实际判断矩阵与一致矩阵的差异，来评估判断的一致性程度。一致性比率 $CR$ 越小，表示判断矩阵越接近一致矩阵，判断的一致性越好。

3. 权重计算的理论依据

一致矩阵的特性为AHP中权重计算提供了理论依据。对于一致矩阵，其权重向量就是对应于最大特征值的特征向量。

六、一致矩阵与非一致矩阵的关系

在实际应用中，由于决策者认知的局限性，通常得到的是非一致矩阵。非一致矩阵与一致矩阵的关系可以通过以下方式表示：

$A = A^{'} + E$

其中 $A$ 是实际的判断矩阵， $A^{'}$ 是对应的一致矩阵， $E$ 是误差矩阵。

AHP的一致性检验就是评估误差矩阵 $E$ 的大小，判断实际矩阵 $A$ 与理想一致矩阵 $A^{'}$ 的接近程度。

七、一致矩阵的数学证明示例

命题1：一致矩阵的最大特征值等于矩阵的阶数

证明：
设 $A$ 是 $n$ 阶一致矩阵，权重向量为 $(w_1, w_2, \ldots, w_n)^T$ ，则：

$a_{ij} = \frac{w_i}{w_j}$

考虑 $\cdot W$ 的第 $i$ 行元素：

$\sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot w_j = \sum_{j=1}^{n} \frac{w_i}{w_j} \cdot w_j = w_i \sum_{j=1}^{n} 1 = n \cdot w_i$

因此， $\cdot W = n \cdot W$ ，即 $n$ 是 $A$ 的特征值，对应的特征向量是 $W$ 。

又因为 $r ank (A) = 1$ ，所以 $A$ 有且仅有一个非零特征值，即 $\lambda_{max} = n$ 。

命题2：一致矩阵的一致性指标CI为0

证明：
由命题1可知，一致矩阵的最大特征值 $\lambda_{max} = n$ ，因此：

$\frac{\lambda_{max} - n}{n-1} = \frac{n - n}{n-1} = 0$

八、一致矩阵的实例

例1：2阶一致矩阵

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ \frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix}$

验证：

$a_{12} \cdot a_{21} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 = a_{11}$
$a_{21} \cdot a_{12} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 = a_{22}$

权重向量： $W = (2/3, 1/3)^T$

例2：3阶一致矩阵

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 \\ \frac{1}{2} & 1 & 3 \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & 1 \end{bmatrix}$

验证：

$a_{12} \cdot a_{23} = 2 \cdot 3 = 6 = a_{13}$
$a_{21} \cdot a_{13} = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 = a_{23}$
$a_{31} \cdot a_{12} = \frac{1}{6} \cdot 2 = \frac{1}{3} = a_{32}$

权重向量： $W = (6/10, 3/10, 1/10)^T$

九、一致矩阵在实际决策中的应用

在实际决策过程中，一致矩阵主要有以下应用：

作为判断矩阵一致性的参考标准：通过计算一致性比率CR，评估实际判断矩阵与理想一致矩阵的接近程度。
修正不一致判断：当判断矩阵的一致性不满足要求时，可以利用一致矩阵的性质对原判断矩阵进行修正。
简化判断过程：利用一致矩阵的传递性，可以减少判断的次数。理论上，对于 $n$ 个元素，只需要 $n - 1$ 次判断就可以构造完整的一致矩阵。

十、结语

一致矩阵作为层次分析法中的理想判断状态，为我们提供了评估判断一致性的标准。虽然在实际决策中很难直接得到完全一致的判断矩阵，但通过一致性检验和必要的修正，我们可以使判断矩阵尽可能接近一致矩阵，从而提高决策的科学性和合理性。

理解一致矩阵的性质和意义，对于正确应用层次分析法、提高多准则决策的质量具有重要价值。

参考文献

Saaty, T. L. (1980). The Analytic Hierarchy Process. New York: McGraw-Hill.
徐泽水. (2002). 层次分析法原理. 天津: 天津大学出版社.
许树柏. (1995). 层次分析法. 北京: 中国人民大学出版社.
Saaty, T. L. (1977). A scaling method for priorities in hierarchical structures. Journal of Mathematical Psychology, 15(3), 234-281.