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二叉树的性质和实现

news 来源：原创 2025/8/15 8:09:33

二叉树开端

我们要理解二叉树我们可以先看看什么是树，如图

这个树虽然没有什么叶子，不是很好看，但是用在这里刚刚好，我们从局部来看它，随便挑一根树枝，

大概是这样，由一根粗的的主干和一些细的支干构成（枝干和主干在一定条件下面是可以转换的，说一个最通俗的例子就是，有一颗大树，它只有一个主干对吧，我爬上去把他上面的一个小枝干折下来，种在地上，而这个小枝干就变为了一课树，这个枝干也就变为了主干），而这些枝干拼接再主干上面，这样就可以算一颗树，也可以算一颗树上面的一个小枝干（我们把这个主干看为一支粗一点的枝干，就好了）

这个是真实的树，而我们抽象到计算机里面来看

就是和一个树状图很像，而二叉树就是一种特殊的树，就是一个主干，在这个主干上面有且只有两个枝干就叫二叉树

二叉树

完全二叉树与满二叉树

这个就是青天大老爷画的二叉树，我们不看叶子的话，就和我们的定义（我们后面聊）一模一样了，我们把它抽象到计算机里面就是

这个我们也叫满二叉树，而右边少了一点的话，我们就叫完全二叉树而且不能少太多（最后一行），但是右边少几个无所谓，但是左边的一定要完全健在（而这个左边右边的区分，是随便你的，假如你想左边只有一个也可以，你想右边只有一个都是可以的）

二叉树的概念

现在我们再聊一聊二叉树的概念结点的度（别背，后面我们讲怎么理解）：

我们先说什么是度，就是一个主干上面有几个枝干，就有几个度，抽象一下就是有几条线连向节点，度就是几，而一棵树的度，就是在每个节点种找出度最大的节点，这个节点的度就是树的度。别的都很通俗易懂了，就不说了。

二叉树的性质

我们主要看3和5。这个3是怎么算的呢，我们首先要知道一个大前提，就是节点等于度加一，我们假设节点有n个，度为m，n = m+1，而因为是二叉树，使用我们节点的度的取值只有0，1，2。所以我们就可以计算一棵树全部的读，度*个数（我们设度为0有z，度为1有x，度为2有y），0*z+1*x+2*y = m，而z+x+y = n，所以z+x+y = 0*z+1*x+2*y+1，就可以得到z =y+1。

我们再看5，这个其实你自己画出来就可以看出来的，但是我要补充一点，如图

我假如我们是从1开始编号，这个二叉树的编号是不是就刚好等于节点的值（这个也是为了方便我们观察），我们可以很轻松的看出1的右节点是自己的2倍，左节点是自己的2倍+1。

接下来，我们来看看二叉树的结构

二叉树的结构

二叉树的结构有两种一种是顺序结构，还有一种是链式结构

顺序结构

顺序结构就是二叉树的数据，我们使用一个数组来存储，这里就有一道经典的面试题，就是106. 从中序与后序遍历序列构造二叉树 - 力扣（LeetCode），而这个是从数组构建二叉树，而从二叉树变为数组就是二叉树的层序遍历（我们再代码实现里面写）（本章出现的算法题，我们再下一篇一起写一写）

链式结构

链式结构就容易很多了（后面我们用二叉树的实现各种操作的时候，也都是用链式结构来实现的）所以现在我就说一个大概就是我创建一个类型他包括一个值，还有两个引用，一个引用指向左节点，另一个指向右节点就没了，就这么简单。现在我们就写一下代码

二叉树的代码实现前中后层序遍历

二叉树的构建，上面我们说了就是一个值，两个引用

    public static class Node{        public int data;public Node Left;public  Node Right;Node(int value){this.data = value;this.Right = null;this.Left = null;}

这个就是二叉树的构建

接下来我们，写前序遍历，但是在这之前我想要提一句，二叉树后面要用到递归，而我们为什么要使用递归，我认为递归是一个先进后出的思想，而我们还有别的办法可以实现先进后出那就是栈（Stack），所以我们二叉树的实现也可以使用栈来实现（在下一篇我会写一道使用栈来实现二叉树的遍历）

前序遍历其实，很简单就是我先把值取出来在递归左子树，最后是右子树

        public static void AheadOver(Node head){if(head == null){return;}System.out.println(head.data);AheadOver(head.Left);AheadOver(head.Right);}

而中序遍历就是先递归左子树，在遍历根节点，最后递归右子树，后序遍历就是先遍历左子树，再遍历右子树，最后遍历根节点，这个很简单就直接上代码了

       public static void BetweenOver(Node head){if(head == null){return;}BetweenOver(head.Left);BetweenOver(head.Right);System.out.println(head.data);}public static void Extremity(Node head){if(head == null){return;}Extremity(head.Left);System.out.println(head.data);Extremity(head.Right);}

现在我们就来写一写层序遍历了，我们再按照上面的思路就不行了，因为链式一般情况下是一直向链表下游前进，在二叉树里面就是（从主干朝向叶子），因此我们实现层序遍历就很复杂，所以就想要一个操作可以把我们遍历的数据记录下来，但是不输出，在我想要他的时候，他再输出。而我们想要存储数据一般是两种操作，栈和队列，那我们要选择那种呢恶魔就要零思考一下，这两种操作的有什么不一样的地方，栈是先进后出，而队列是先进先出，如果说我们使用栈（先进后出，是不是就和我们递归操作差不多了，既然我们递归都不好实现了，所以说我们把栈排除了），所以我们的选择应该是队列，那要实现层序，我们可不可以出一行，进一行呢（好像可以，因为我们只需要对出的那一行的每个元素进行访问，再把他的左右子树添加到队尾是不是就可以了），

        public static void ToString(Node head){Queue<Node> q = new LinkedList<>();q.offer(head);while (q.peek() != null){Node node = q.poll();System.out.println(node.data);q.offer(node.Left);q.offer(node.Right);}}//这个是层序遍历

这篇要写的就这么多，下一篇，我找一些二叉树的经典算法题，让我们来好好动动脑子。