复变函数摘记1

\quad 本文摘自西安交通大学主编的《复变函数》。

1. 基本概念

\quad 复变函数是自变量为复数的函数，与一元实函数类似，可以定义映射、反函数等概念，也可以定义复变函数的极限，并通过极限来定义复变函数的连续性、导数和微分，从而引出解析函数的概念，解析函数是复变函数的主要对象。
\quad

1.1 复数、复变函数

$\bullet$复数
\quad 复数 $z=x+\text{i}y$ 定义在以横轴 $x$ 为实轴、纵轴 $y$ 为虚轴的复平面上。
\quad 由欧拉公式 $e^{\text{i}\theta }=\cos \theta +\text{i}\sin \theta$，可将复数 $z=x+\text{i}y$ 写成 $z=r{e}^{\text{i}\theta }=r(\cos \theta +\text{i}\sin \theta )$。
\quad 其中，复数的模 $r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$，幅角的主值 $\theta =\arctan \frac{y}{x}\in (-\pi ,\pi ]$。
\quad 复数 $z=x+\text{i}y$ 的实部表示为 $\text{Re}(z)$、虚部表示为 $\text{Im}(z)$，共轭复数表示为 $\bar{z}=x-\text{i}y$。
\qquad

$\bullet$复变函数
定义　设 $G$ 是一个复数 $z=x+\text{i}y$ 的集合，如果有一个确定的对应法则，使得 $\forall z\in G$，都有一个或几个复数 $w=u+\text{i}v$ 与之对应，就称复变数 $w$ 是复变数 $z$ 的函数（简称复变函数），记作 $w=f(z)$。
　　　 其中，集合 $G$ 称为 $f(z)$ 的定义集合，集合 G ∗ = { w ∣ w = f ( z ) , ∀ z ∈ G } G^\ast=\{w\ |\ w=f(z),\ \forall\ z\in G\} G∗={w ∣ w=f(z), ∀ z∈G} 称为函数值集合。

\quad 复变函数 $w=f(z)$ 可以表示为：
$z=x+\text{i}y\stackrel{f}{⟶}w=u+\text{i}v⟹\{\begin{array}{l}u=u(x,y)\\ v=v(x,y)\end{array}$

$▶$　如果 $z$ 的一个值对应着 $w$ 的一个值，称函数 $w=f(z)$ 是单值的。
$▶$　如果 $z$ 的一个值对应着 $w$ 的两个或两个以上的值，称函数 $w=f(z)$ 是多值的。

复变函数的对应法则可能是“一对多”，与一元实函数的对应法则“定义域中每个 $x$ 都有唯一的 $f(x)$ 与之对应”不一样

例. $w=z^2⟹u+\text{i}v=(x+\text{i}y{)}^2=x^2-y^2+2xy\text{i}⟹\{\begin{array}{l}u=x^2-y^2\\ v=2xy\end{array}$

$\bullet$复变函数的反函数
定义　假定函数 $w=f(z)$ 的定义集合为 $z$ 平面上的集合 $G$， 函数值集合为 $w$ 平面上的集合 $G^{\ast }$，那么 $\forall w\in G^{\ast }$，必定对应了集合 $G$ 中的一个（或多个）点。按照复变函数的定义，在集合 $G^{\ast }$ 上确定了一个单值（或多值）函数 $z=\phi (w)$，称为函数 $w=f(z)$ 的反函数。

\quad 显然，$\forall w\in G^{\ast }$，有 $w=f[\phi (w)]$。当反函数为单值函数时，有 $z=\phi [f(z)]$。
\quad

1.2 复变函数的极限、连续性

$\bullet$复变函数的极限
定义　设函数 $w=f(z)$ 定义在 $z_0$ 的去心邻域 $0<|z-z_0|<\rho$ 内，如果 $\exists A\in R$ ，$\forall \epsilon >0$，都有正数 $\delta (\epsilon )\in (0,\rho ]$，使得当 $0<|z-z_0|<\delta$ 时，有 $|f(z)-A|<\epsilon$，那么称 $A$ 为复变函数 $f(z)$ 当 $z\to z_0$ 时的极限，记作 $\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=A$。

\quad 类似于多元实函数的极限定义（由于复平面是二维的），自变量的变化过程 $z\to z_0$ 的方式必须是任意的。

$\bullet$复变函数极限的计算
定理　设 $f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y)$， $A=u_0+\text{i}{v}_0$，$z_0=x_0+\text{i}{y}_0$，那么 $\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=A$ 的充分必要条件是，$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{y\to y_0}}{\lim }u(x,y)=u_0$，$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{y\to y_0}}{\lim }v(x,y)=v_0$。

定理　假设 $\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=A,\underset{z\to z_0}{\lim }g(z)=B$，那么有
$(1)\underset{z\to z_0}{\lim }[f(z)\pm g(z)]=A\pm B$
$(2)\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)g(z)=AB$
$(3)\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{A}{B}(B\ne 0)$

---

$\bullet$复变函数的连续性
定义　如果 $\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=f(z_0)$，那么复变函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 处连续。
　　　 如果 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处连续，就说$f(z)$ 在区域 $D$ 内连续。

区域是连通的开集 —— 开集 $D$ 内的任意两点，都可以用一条完全属于 $D$ 的折线连接起来。

定理　函数 $f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y)$ 在 $z_0=x_0+\text{i}{y}_0$ 处连续的充要条件是其实部、虚部同时连续，即 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 都在 $(x_0,y_0)$ 处连续。

定理　在 $z_0$ 处连续的两个复变函数 $f(z)$ 和 $g(z)$ 的和、差、积、商（分母不为零时）在 $z_0$ 处仍然连续。
　　　 如果 $h=g(z)$ 在 $z_0$ 处连续，$w=f(h)$ 在 $h_0=g(z_0)$ 处连续，那么复合函数 $w=f[g(z)]$ 在 $z_0$ 处连续。
　
$▶$　函数 $f(z)$ 在曲线 $C$ 上的点 $z_0$ 处连续 $⟺\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=f(z_0),z\in C$
$▶$　在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函数 $f(z)$ 在曲线上是有界的，即 $\exists M>0$，使得 $|f(z)|\le M$。
　
例. 有理整函数（多项式） $w=P(z)=a_0+a_{1}z+\cdots +a_n{z}^n$ 对复平面内所有的 $z$ 都是连续的。
　　有理分式函数 $\frac{P(z)}{Q(z)}$ 在复平面内使不含分母为零的点也是连续的。

\quad

1.3 复变函数的导数、微分

$\bullet$复变函数的导数
定义　设 $w=f(z)$ 定义于区域 $D$，且 $z_0,z_0+\Delta z\in D$，如果 $\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$ 存在，那么就说 $f(z)$ 在 $z_0$ 处可导，这个极限值称为 $f(z)$ 在 $z_0$ 处的导数，记作

$f^{\prime }(z_0)=\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}{|}_{z=z_0}=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$

定义中自变量的变化过程 $z_0+\Delta z\to z_0$ 的方式是任意的（与多元实函数的极限定义类似）

$▶$　如果 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处可导，就说 $f(z)$ 在区域 $D$ 内可导。

$▶$　求导法则也基本上与一元实函数类似：
$(1)(c{)}^{\prime }=0$，其中 $c$ 为复常数
$(2)(z^n{)}^{\prime }=n{z}^{n-1}$，其中 $n$ 为正整数
$(3)[f(z)\pm g(z){]}^{\prime }=f^{\prime }(z)\pm g^{\prime }(z)$
$(4)[f(z)g(z){]}^{\prime }=f^{\prime }(z)g(z)+f(z)g^{\prime }(z)$
$(5){\left[\frac{f(z)}{g(z)}\right]}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(z)g(z)-f(z)g^{\prime }(z)}{g^2(z)}$，其中 $g(z)\ne 0$
( 6 ) { f [ g ( z ) ] } ′ = f ′ ( w ) g ′ ( z ) \quad\ \ (6)\ \ \{f[g(z)]\}^\prime=f^\prime(w)g^\prime(z)   (6)  {f[g(z)]}′=f′(w)g′(z)，其中 $w=g(z)$
$(7)f^{\prime }(z)=\frac{1}{{\phi }^{\prime }(w)}$，其中 $w=f(z)$ 与 $z=\phi (w)$ 是两个互为反函数的单值函数，且 ${\phi }^{\prime }(w)\ne 0$

定理　复变函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 处可导$⟹f(z)$ 在 $z_0$ 处连续。
　
$\bullet$复变函数的微分
定义　设函数 $w=f(z)$ 在 $z_0$ 处可导，如果 $\Delta w=f(z_0+\Delta z)-f(z_0)=f^{\prime }(z_0)\Delta z+\rho (\Delta z)\Delta z$，其中 $\underset{z\to z_0}{\lim }\rho (\Delta z)=0$，将 $\mathrm{d}w=f^{\prime }(z_0)\Delta z$ 称为 $f(z)$ 在 $z_0$ 处的微分。
　　　 如果 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处可微，就说 $f(z)$ 在区域 $D$ 内可微。

定理　复变函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 处可导$⟺f(z)$ 在 $z_0$ 处可微。

\quad

1.4 解析函数、柯西-黎曼方程

$★$解析函数
\quad 在复变函数理论中，重要的不是只在个别点可导的函数，而是解析函数。
定义　如果函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 及 $z_0$ 的邻域内处处可导，那么称 $f(z)$ 在点 $z_0$ 处解析。
　　　 如果函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内每一点解析，那么称 $f(z)$ 是 $D$ 内的一个解析函数。
　　　 如果函数 $f(z)$ 在点 $z_0$ 处不解析，那么称点 $z_0$ 为 $f(z)$ 的奇点。

函数在一点处可导，不一定在该点处解析（函数在 $z_0$ 解析，必须是在 $z_0$ 及 $z_0$ 的邻域内处处可导）

$▶$　函数 $f(z)$ 在区域内解析$⟺f(z)$ 在区域内可导

定理　在区域 $D$ 内解析的两个函数 $f(z)$ 和 $g(z)$ 的和、差、积、商（除去分母为零的点）在 $D$ 内解析。
　　　 设函数 $h=g(z)$ 在 $z$ 平面上的区域 $D$ 内解析，函数 $w=f(h)$ 在 $h$ 平面上的区域 $G$ 内解析。如果 $\forall z\in D$，都有 $h=g(z)\in G$，那么复合函数 $w=f[g(z)]$ 在 $D$ 内解析。
　
例. 函数 $w=\frac{1}{z}$ 在复平面内除点 $z=0$ 外处处可导，且 $\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}=-\frac{1}{z^2}$，因此函数 $w=\frac{1}{z}$ 在除 $z=0$ 外的复平面内处处解析， $z=0$ 是其奇点。

\quad 　有理分式函数 $\frac{P(z)}{Q(z)}$ 在不含分母为零的点的区域内是解析函数，使分母为零的点为奇点。

---

$★$函数解析的充要条件：柯西-黎曼方程

定理　设函数 $f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y)$ 定义在区域 $D$ 内，那么 $f(z)$ 在点 $z=x+\text{i}y\in D$ 可导的充要条件是，实函数 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微，且满足柯西-黎曼方程
$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$

定理　函数 $f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y)$ 在其定义域 $D$ 内解析的充要条件是，实函数 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 在 $D$ 内可微，且满足柯西-黎曼方程。
　
例. 如果函数 $f^{\prime }(z)$ 在区域 $D$ 处处为零，那么$f(z)$ 在 $D$ 内是一个常数。

由 $f^{\prime }(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+\text{i}\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-\text{i}\frac{\partial u}{\partial y}=0⟹\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}=0$

因此 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 都是常数，$f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y)$ 在 $D$ 内是常数

\quad

2. 复变函数的积分

\quad 复变函数的积分，实际上是复平面上的曲线积分，与多元实函数的曲线积分区别比较大。

2.1 复变函数的曲线积分

$\bullet$复变函数的曲线积分
定义　设函数 $w=f(z)$ 定义在区域 $D$ 内，$C$ 为区域 $D$ 内起点为 $A$ 终点为 $B$ 的一条光滑的有向曲线弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$（沿曲线正方向移动，曲线内部始终在曲线左侧）。把曲线弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$ 任意分成 $n$ 个弧段（分点为 $z_k$, $k=1,2,\cdots$），在每个弧段 $\stackrel{⌢}{z_{k-1}{z}_k}$ 上任取一点 ${\zeta }_k$，记 $\Delta z_k=z_k-z_{k-1}$，则复变函数的曲线积分定义为

${\int }_{C}f(z)\mathrm{d}z=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\zeta }_k)\Delta z_k$

与多元实函数的第一类曲线积分相比，曲线积分的定义式都一样，差别在于 $f({\xi }_k)\Delta z_k$ 的计算方式
形式上，复变函数的曲线积分可看作 $f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y)$ 与 $\mathrm{d}z=\mathrm{d}x+\text{i}\mathrm{d}y$ 相乘后求积分

${\int }_{C}f(z)\mathrm{d}z={\int }_{C}u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y+\text{i}{\int }_{C}v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y$
　
$\bullet$曲线积分的计算方法
\quad 设复变函数 $f(z)=u(x,y)+\text{i}v(x,y)$，将有向曲线 $C$ 表示为参数方程：$z=z(t)=x(t)+\text{i}y(t)$，$\alpha \le t\le \beta$，那么

∫ C f ( z ) d z = ∫ α β { u [ x ( t ) , y ( t ) ] x ′ ( t ) − v [ x ( t ) , y ( t ) ] y ′ ( t ) } d t + i ∫ α β { v [ x ( t ) , y ( t ) ] x ′ ( t ) + u [ x ( t ) , y ( t ) ] y ′ ( t ) } d t \qquad\qquad\begin{aligned}\int_C{f(z)\mathrm{d}z}&=\int_\alpha^\beta\{u[x(t),y(t)]x^\prime(t)-v[x(t),y(t)]y^\prime(t)\}\mathrm{d}t\\&+\text{i}\int_\alpha^\beta\{v[x(t),y(t)]x^\prime(t)+u[x(t),y(t)]y^\prime(t)\}\mathrm{d}t\end{aligned} ∫C​f(z)dz​=∫αβ​{u[x(t),y(t)]x′(t)−v[x(t),y(t)]y′(t)}dt+i∫αβ​{v[x(t),y(t)]x′(t)+u[x(t),y(t)]y′(t)}dt​
\quad 或
${\int }_{C}f(z)\mathrm{d}z={\int }_{\alpha }^{\beta }f[z(t)]z^{\prime }(t)\mathrm{d}t$
　
$\bullet$积分的性质
$(1){\int }_{C}f(z)\mathrm{d}z=-{\int }_{C^{-}}f(z)\mathrm{d}z$

$(2){\int }_{C}kf(z)\mathrm{d}z=k{\int }_{C}f(z)\mathrm{d}z$，$k$ 为常数

$(3){\int }_C[f(z)\pm g(z)]\mathrm{d}z={\int }_{C}f(z)\mathrm{d}z\pm {\int }_{C}g(z)\mathrm{d}z$

$(4)$ 设曲线 $C$ 的长度为 $L$，函数$f(z)$ 在 $C$ 上满足 $|f(z)|\le M$，那么 $\left|{\int }_{C}f(z)\mathrm{d}z\right|\le {\int }_C\left|f(z)\right|\mathrm{d}z\le ML$

\quad 　
例. 计算积分${\int }_0^{3+i}{z}^2\mathrm{d}z$，积分路径为从原点到 $3+i$ 的直线段。
从原点到 $3+i$ 的直线段写成参数方程：$\{\begin{array}{l}x=3t\\ y=t\end{array},0\le t\le 1$
即 $z=3t+it,0\le t\le 1$，在该直线段上，$\mathrm{d}z=(3+i)\mathrm{d}t$
${\int }_0^{3+i}{z}^2\mathrm{d}z={\int }_0^1(3t+it{)}^2(3+i)\mathrm{d}t={\int }_0^1(3+i{)}^3{t}^2\mathrm{d}t=\frac{(3+i{)}^3}{3}$

---

例. 计算 ${\oint }_C\frac{\mathrm{d}z}{(z-z_0{)}^{n+1}}$，其中 $C$ 是以 $z_0$ 为中心、$r$ 为半径的正向圆周。
解：圆周 $C$ 的参数方程为：$z=z_0+r{e}^{\text{i}\theta },0\le \theta \le 2\pi$，且 $\mathrm{d}z=\text{i}r{e}^{\text{i}\theta }\mathrm{d}\theta$
$\begin{array}{r}{\oint }_C\frac{\mathrm{d}z}{(z-z_0{)}^{n+1}}={\int }_0^{2\pi }\frac{\text{i}r{e}^{\text{i}\theta }\mathrm{d}\theta }{(r{e}^{\text{i}\theta }{)}^{n+1}}={\int }_0^{2\pi }\frac{\text{i}}{r^n{e}^{\text{i}n\theta }}\mathrm{d}\theta =\frac{\text{i}}{r^n}{\int }_0^{2\pi }{e}^{-\text{i}n\theta }\mathrm{d}\theta \end{array}$
$⟹{\oint }_C\frac{\mathrm{d}z}{(z-z_0{)}^{n+1}}=\{\begin{array}{ll}2\pi \text{i}& ,n=0\\ 0& ,n\ne 0\end{array}$
或者说，${\oint }_{|z-z_0|=r}\frac{1}{z-z_0}\mathrm{d}z=2\pi \text{i}$
\quad

2.2 柯西-古萨基本定理、复合闭路定理

$★$柯西-古萨基本定理
定理　如果函数 $f(z)$ 在单连通域 $B$ 内处处解析，那么 $f(z)$ 沿 $B$ 内的任何一条封闭曲线 $C$ 的积分为零，即 ${\oint }_{C}f(z)\mathrm{d}z=0$。

没有重复点（不会交叉）的连续曲线 $C$，称为简单曲线。
如果区域 $B$ 中任意作一条简单闭合曲线，曲线的内部总属于区域 $B$，那么称 $B$ 为单连通域。

$▶$　如果曲线 $C$ 是区域 $B$ 的边界，且函数 $f(z)$ 在闭区域 $\bar{B}=B+C$ 上解析，${\oint }_{C}f(z)\mathrm{d}z=0$ 仍然成立。
$▶$　如果曲线 $C$ 是区域 $B$ 的边界，且函数 $f(z)$ 在 $B$ 内解析、在闭区域 $\bar{B}$ 上连续，${\oint }_{C}f(z)\mathrm{d}z=0$ 仍然成立。
　
$★$复合闭路定理
\quad 作为柯西-古萨基本定理的推广，复合闭路定理将单连通域扩展为多连通域。

定理　设 $C$ 为多连通域 $D$ 内的一条简单闭曲线，$C_1,C_2,\cdots ,C_n$ 是闭曲线 $C$ 内部的简单闭曲线，它们互不包含、也互不相交，并且以 $C_1,C_2,\cdots ,C_n$ 为边界的区域都包含在 $D$ 中（如下图左，$C,C_1^{-},C_2^{-},C_3^{-}$ 构成多连通域）。如果 $f(z)$ 在多连通域 $D$ 内解析，那么
$(1){\oint }_{C}f(z)\mathrm{d}z=\sum _{k=1}^n{\oint }_{C_k}f(z)\mathrm{d}z$，其中 $C,C_1,C_2,\cdots ,C_n$ 都取正方向
$(2){\oint }_{\Gamma }f(z)\mathrm{d}z=\sum _{k=1}^n{\oint }_{C_k}f(z)\mathrm{d}z$，其中 $\Gamma$ 是由 $C,C_1,C_2,\cdots ,C_n$ 组成的复合闭路

\qquad

例. 计算 ${\oint }_{\Gamma }\frac{2z-1}{z^2-z}\mathrm{d}z$，其中 $\Gamma$ 是包含圆周 $|z|=1$ 的任何正向简单闭曲线。
解：显然 $f(z)=\frac{2z-1}{z^2-z}$ 在复平面上除了奇点 $z=0$ 和 $z=1$ 之外处处解析（如上图右）
由于 $\Gamma$ 包含圆周 $|z|=1$，这两个奇点都在 $\Gamma$所围的单连通域中。
以 $z=0$ 为圆心作正向圆周 $C_1$，以 $z=1$ 为圆心作正向圆周 $C_2$，那么 $\Gamma$ 与 $C_1^{-},C_2^{-}$ 形成复连通域，且 $f(z)$ 在此复连通域中处处解析，因此可以应用复合闭路定理：

$\begin{array}{rl}{\oint }_{\Gamma }\frac{2z-1}{z^2-z}\mathrm{d}z& ={\oint }_{C_1}\frac{2z-1}{z^2-z}\mathrm{d}z+{\oint }_{C_2}\frac{2z-1}{z^2-z}\mathrm{d}z\\ & ={\oint }_{C_1}\frac{1}{z-1}\mathrm{d}z+{\oint }_{C_1}\frac{1}{z}\mathrm{d}z+{\oint }_{C_2}\frac{1}{z-1}\mathrm{d}z+{\oint }_{C_2}\frac{1}{z}\mathrm{d}z\\ & =0+2\pi \text{i}+2\pi \text{i}+0\\ & =4\pi \text{i}\end{array}$
此处，由柯西-古萨基本定理可得 ${\oint }_{C_1}\frac{1}{z-1}\mathrm{d}z=0$ 和 ${\oint }_{C_2}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=0$；
　　　由例5可得 ${\oint }_{C_1}\frac{1}{z}\mathrm{d}z={\oint }_{C_2}\frac{1}{z-1}\mathrm{d}z=2\pi \text{i}$
\quad

2.3 复变函数的不定积分

$\bullet$复变函数的不定积分
定理　如果 $f(z)$ 在单连通域 $B$ 内处处解析，那么 ${\int }_{C}f(z)\mathrm{d}z$ 与连接起点和终点的路线 $C$ 无关。

\qquad

上图中，${\int }_{C_1}f(z)\mathrm{d}z={\int }_{C_2}f(z)\mathrm{d}z={\int }_{z_0}^{z_1}f(z)\mathrm{d}z$

定理　如果 $f(z)$ 在单连通域 $B$ 内处处解析，那么函数 $F(z)$ 必为 $B$ 内的一个解析函数，且 $F^{\prime }(z)=f(z)$。

上图中固定 $z_0$，让 $z_1$ 在 $B$ 内变动，令 $z_1=z$，则 ${\int }_{z_0}^{z}f(z)\mathrm{d}z$ 在 $B$ 内确定了一个单值函数 $F(z)={\int }_{z_0}^{z}f(\zeta )\mathrm{d}\zeta$

定义　如果在区域 $B$ 内有 $F^{\prime }(z)=f(z)$，那么 $F(z)$ 是 $f(z)$ 在区域 $B$ 内的一个原函数。
　　　 因此，复变函数 $f(z)$ 的不定积分定义为 $\int f(z)\mathrm{d}z=F(z)+C$。

$▶$　类似于一元实函数的积分上限函数，可知 $F(z)={\int }_{z_0}^{z}f(\zeta )\mathrm{d}\zeta$ 是 $f(z)$ 的一个原函数。

定理　如果 $f(z)$ 在单连通域 $B$ 内处处解析，那么 $F(z)$ 是 $f(z)$ 在 $B$ 内的一个原函数，那么
　　　${\int }_{z_0}^{z_1}f(z)\mathrm{d}z=F(z_1)-F(z_0)$
　
例. 求积分 ${\int }_0^{\text{i}}z\cos z\mathrm{d}z$ 的值。
函数 $z\cos z$ 在整个复平面内解析，且有 $(z\sin z+\cos z{)}^{\prime }=z\cos z$
${\int }_0^{\text{i}}z\cos z\mathrm{d}z=[z\sin z+\cos z]{|}_0^{\text{i}}=\text{i}\sin \text{i}+\cos \text{i}-1=e^{-1}-1$
\quad

2.4 柯西积分公式、高阶导数

$★$柯西积分公式
\quad 设 $B$ 为单连通域，$z_0\in B$，如果 $f(z)$ 在 $B$ 内解析，那么函数 $\frac{f(z)}{z-z_0}$ 在 $z_0$ 不解析，所以在 $B$ 内沿围绕 $z_0$ 的一条闭曲线 $C$ 的积分 ${\oint }_C\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z$ 一般不为零，且积分值沿任何一条围绕 $z_0$ 的简单闭曲线都是相同的。

定理　如果 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处解析，$C$ 为 $D$ 内的任何一条正向简单曲线，且 $C$ 的内部完全包含于区域 $D$ 中， $z_0$ 为 $C$ 内任一点，那么
　　　$f(z_0)=\frac{1}{2\pi \text{i}}{\oint }_C\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z$　或　${\oint }_C\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z=2\pi \text{i}f(z_0)$

柯西积分公式，把 $f(z)$ 在 $C$ 内部任一点的函数值用它在边界上的值来表示
或者说，只要 $f(z)$ 在区域边界上的值确定了，那么 $f(z)$ 在区域内部任一点处的函数值也就确定了

$▶$　如果 $C$ 是圆周 $z=z_0+R{e}^{\text{i}\theta }$，那么柯西积分公式就变成 $f(z_0)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(z_0+R{e}^{\text{i}\theta })\mathrm{d}\theta$

由 $\mathrm{d}z=\text{i}R{e}^{\text{i}\theta }\mathrm{d}\theta$，可得 $f(z_0)=\frac{1}{2\pi \text{i}}{\oint }_C\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z=\frac{1}{2\pi \text{i}}{\int }_0^{2\pi }\frac{f(z_0+R{e}^{\text{i}\theta })}{R{e}^{\text{i}\theta }}\text{i}R{e}^{\text{i}\theta }\mathrm{d}\theta =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(z_0+R{e}^{\text{i}\theta })\mathrm{d}\theta$

例. 求积分 ${\oint }_C\left(\frac{1}{z+1}+\frac{2}{z-3}\right)\mathrm{d}z$ 的值，其中 $C$ 为正向圆周 $|z|=4$。

${\oint }_C\left(\frac{1}{z+1}+\frac{2}{z-3}\right)\mathrm{d}z={\oint }_C\frac{1}{z+1}\mathrm{d}z+{\oint }_C\frac{2}{z-3}\mathrm{d}z=2\pi \text{i}\cdot 1+2\pi \text{i}\cdot 2=6\pi \text{i}$

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$★$高阶导数
\quad 一个解析函数不仅有一阶导数，还有高阶导数，高阶导数的值也可以用函数在边界上的值通过积分来表示。

定理　解析函数 $f(z)$ 的导数仍然是解析函数，它的 $n$ 阶导数为
　　　 $f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi \text{i}}{\oint }_C\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^{n+1}}\mathrm{d}z,n=1,2,\cdots$
　　　 其中，$C$ 为在 $f(z)$ 的解析区域 $D$ 内围绕 $z_0$ 的任何一条正向简单闭曲线，且它的内部全含于$D$。
　
例. 求积分 ${\oint }_C\frac{\cos \pi z}{(z-1{)}^5}\mathrm{d}z$ 的值，其中 $C$ 为正向圆周 $|z|=r>1$。

函数 $\frac{\cos \pi z}{(z-1{)}^5}$ 在 $C$ 内 $z=1$ 处不解析，但是函数 $\cos \pi z$ 在 $C$ 内处处解析
由高阶导数公式可得 ${\oint }_C\frac{\cos \pi z}{(z-1{)}^5}\mathrm{d}z=\frac{2\pi \text{i}}{(5-1)!}(\cos \pi z{)}^{(4)}{|}_{z=1}=-\frac{{\pi }^5\text{i}}{12}$